【全程復(fù)習(xí)方略】廣東省2013版高考數(shù)學(xué) 3.5兩角和與差的正弦、余弦和正切公式配套課件 理 新人教A版

1、第五節(jié) 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 三年三年9 9考考 高考指數(shù)高考指數(shù): :1.1.會用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式會用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式. .2.2.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式. .3.3.能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式式, ,導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式, ,了解它們的內(nèi)在聯(lián)系了解它們的內(nèi)在聯(lián)系. .1.1.利用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式進行三角函數(shù)式的利用兩角和與差的正弦、

2、余弦、正切公式進行三角函數(shù)式的化簡、求值是高考的常考點化簡、求值是高考的?？键c. .2.2.公式逆用、變形應(yīng)用是高考熱點公式逆用、變形應(yīng)用是高考熱點. .3.3.在選擇題、填空題、解答題中都有所考查在選擇題、填空題、解答題中都有所考查. .1.1.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式兩角和與差的正弦、余弦和正切公式公式名公式名公式公式兩角和與兩角和與差的正弦差的正弦兩角和與兩角和與差的余弦差的余弦兩角和與兩角和與差的正切差的正切sin()_ sin coscos sincos()_ cos cossin sintan()_ tantan1tan tan【即時應(yīng)用【即時應(yīng)用】(1)(1)判斷下列式子

3、的正誤判斷下列式子的正誤.(.(請在括號內(nèi)打請在括號內(nèi)打“”或或“”)”)cos15cos15=cos(45=cos(45-30-30)=cos45)=cos45-cos30-cos30 ( ) ( )sin15sin15=sin(45=sin(45-30-30)=cos45)=cos45sin30sin30-sin45-sin45cos30cos30( )( )cos15cos15=cos(60=cos(60-45-45)=cos60)=cos60cos45cos45+sin60+sin60sin45sin45( )( )cos15cos15=cos(60=cos(60-45-45)=cos

4、60)=cos60cos45cos45-sin60-sin60sin45sin45( )( ) (2)(2)計算計算sin72sin72cos18cos18+cos72+cos72sin18sin18=_.=_.(3)(3)計算計算cos72cos72cos12cos12+sin72+sin72sin12sin12=_.=_.【解析【解析】(1)cos15(1)cos15=cos(45=cos(45-30-30)=)=cos45cos45cos30cos30+sin45+sin45sin30sin30, ,故故錯誤；錯誤；sin15sin15= =sin(45sin(45-30-30)=sin

5、45)=sin45cos30cos30-cos45-cos45sin30sin30，故故錯誤錯誤; ;正確，正確，cos15cos15=cos(60=cos(60-45-45) )=cos60=cos60cos45cos45+sin60+sin60sin45sin45, ,故故錯誤錯誤. .(2)(2)原式原式=sin(72=sin(72+18+18)=sin90)=sin90=1.=1.(3)(3)原式原式=cos(72=cos(72-12-12)=cos60)=cos60= =答案：答案：(1)(1) (2)1 (3) (2)1 (3)121.22.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的

6、正弦、余弦、正切公式公式名公式名公式公式二倍角的正弦二倍角的正弦二倍角的余弦二倍角的余弦二倍角的正切二倍角的正切sin2_ 2sincoscos2_ 22cossin_22cos1_212sintan2_ 22tan1tan【即時應(yīng)用【即時應(yīng)用】(1)(1)思考：二倍角公式思考：二倍角公式tan2= tan2= 中對任意的中對任意的都成立都成立嗎？嗎？提示：提示：不一定不一定, ,當當 (kZ(kZ) )時，公式成立時，公式成立. .22tan1tank,2k22 (2) (2) 的值等于的值等于_._.【解析【解析】答案：答案：1sin15 cos15211sin15 cos152sin15

7、 cos1524 11sin30.48 18(3)(3)若若tantan= ,= ,則則tan2=_.tan2=_.【解析【解析】答案：答案：1222122tan142tan2.131tan31 ( )24 43 三角函數(shù)的化簡三角函數(shù)的化簡 【方法點睛【方法點睛】三角函數(shù)化簡的技巧、方法和要求三角函數(shù)化簡的技巧、方法和要求(1)(1)尋求角與角之間的關(guān)系，化非特殊角為特殊角；尋求角與角之間的關(guān)系，化非特殊角為特殊角；(2)(2)正確靈活地運用公式，通過三角變換消去或約去一些非特殊正確靈活地運用公式，通過三角變換消去或約去一些非特殊角的三角函數(shù)值；角的三角函數(shù)值；(3)(3)一些常規(guī)技巧：一些

8、常規(guī)技巧：“1”1”的代換、正切化弦、和積互化、異角的代換、正切化弦、和積互化、異角化同角，異名化同名，特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化等化同角，異名化同名，特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化等(4)(4)化簡要求：化簡要求：能求出值的應(yīng)求出值；能求出值的應(yīng)求出值；使三角函數(shù)種數(shù)盡使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；量少；使項數(shù)盡量少；使項數(shù)盡量少；盡量使分母不含三角函數(shù)；盡量使分母不含三角函數(shù)；盡量盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)使被開方數(shù)不含三角函數(shù). .【提醒【提醒】公式的逆用、變形用十分重要，特別是公式的逆用、變形用十分重要，特別是1+cos2=1+cos2=2cos2cos2 2,1-cos2=2sin,1-co

9、s2=2sin2 2,形式相似，容易出錯，應(yīng)用時要加形式相似，容易出錯，應(yīng)用時要加強強“目標意識目標意識”. .【例【例1 1】化簡下列各式：】化簡下列各式：(1) =_.(1) =_.(2) =_.(2) =_.11113cos2(,2 )22222 222cossin2tan()cos ()44【解題指南【解題指南】(1)(1)若注意到化簡式是開平方根和若注意到化簡式是開平方根和22是是的二的二倍，倍，是是 的二倍，以及其范圍不難找到解題的突破口；的二倍，以及其范圍不難找到解題的突破口；(2)(2)由由于分子是一個平方差，分母可通過二倍角公式化簡，若注意到于分子是一個平方差，分母可通過二倍

10、角公式化簡，若注意到這兩大特征，不難得到解題的切入點這兩大特征，不難得到解題的切入點. .2【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)因為因為所以所以又因為又因為所以所以所以，原式所以，原式= =32 ,2 11cos2|cos| cos ,22 3,42 11cos|sin| sin,2222 sin.2(2)(2)原式原式= =答案：答案：(1) (2)1(1) (2)12cos22tan()cos ()44cos22sin()cos()44cos2cos21.cos2sin(2 )2 sin2【互動探究【互動探究】把本例中的把本例中的(2)(2)改為改為 =_.=_.221cos22tan()s

11、in ()44【解析【解析】原式原式= =答案：答案：21cos2122sin()42cos ()4cos()411cos2cos2222sin()cos()sin(2 )4421cos212.cos22 12【反思【反思感悟感悟】1.1.在二倍角公式中，兩個角的倍數(shù)關(guān)系，不僅在二倍角公式中，兩個角的倍數(shù)關(guān)系，不僅限于限于22是是的二倍，要熟悉多種形式的兩個角的倍數(shù)關(guān)系，同的二倍，要熟悉多種形式的兩個角的倍數(shù)關(guān)系，同時還要注意時還要注意 三個角的內(nèi)在聯(lián)系，三個角的內(nèi)在聯(lián)系，cos2=cos2= 是常用的三角變換是常用的三角變換. .2 ,44sin(2 )2sin() cos()244 2.2

12、.化簡題一定要找準解題的突破口或切入點，其中的降次、消化簡題一定要找準解題的突破口或切入點，其中的降次、消元、切化弦、異名化同名、異角化同角是常用的化簡技巧元、切化弦、異名化同名、異角化同角是常用的化簡技巧. .3.3.常用的公式變形：常用的公式變形：2sin21cos2coscos,2sin2 ，21 cos2sin.2 【變式備選【變式備選】不查表求不查表求的值的值. .22sin 20cos 803sin20 cos80【解析【解析】22sin 20cos 803sin20 cos8011(1 cos40 )(1cos160 )3sin20 cos8022111cos40cos1603s

13、in20 cos(6020 )22111cos40(cos120 cos40sin120 sin40 )223sin20 (cos60 cos20sin60 sin20 )11cos402 21333cos40sin40sin40sin 2044423311cos40(1 cos40 ).444 三角函數(shù)的求值三角函數(shù)的求值 【方法點睛【方法點睛】三角函數(shù)的求值主要有兩種類型，即給角求值，給值求值三角函數(shù)的求值主要有兩種類型，即給角求值，給值求值. .(1)(1)給角求值的關(guān)鍵是正確地選用公式，以便把非特殊角的三角給角求值的關(guān)鍵是正確地選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)相消，從而化為特殊角的三

14、角函數(shù)函數(shù)相消，從而化為特殊角的三角函數(shù). .(2)(2)給值求值的關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的給值求值的關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異差異. .一般可以適當變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)一般可以適當變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用，同時也要注意變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代用，同時也要注意變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達到解題的目的入，從而達到解題的目的. .【例【例2 2】(2012(2012深圳模擬深圳模擬) )已知已知為鈍角為鈍角, ,求求:(1)tan:(1)tan的值的值; ;(2) (2) 的值的值. .【解題

15、指南【解題指南】(1)(1)利用利用 或者或者= 求求tantan. .(2)(2)由由(1)(1)求出求出sinsin、coscos進而求進而求sin2sin2、cos2,cos2,再求再求1tan(),47 cos(2)4tan1tan()41tan(),44cos(2).4【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)方法一方法一: :由由得得tantan= =方法二方法二: :tantantan114tan(),41tan71tan tan4 4.3tantan44 ()11tan()tan4744.131tan()tan1() 1447 (2)tan= sin(2)tan= sin2 2+cos

16、+cos2 2=1=1且且為鈍角為鈍角, ,得得4,3243sin,cos.55724cos22cos1,sin22sin cos,2525 cos(2)cos2 cossin2 sin4447224217 2().25225250 【反思【反思感悟感悟】1.1.解決解決(1)(1)問運用方程思想問運用方程思想, ,或運用拆角、拼角或運用拆角、拼角的方法的方法, ,這是解三角函數(shù)給值求值問題時常用的思想方法這是解三角函數(shù)給值求值問題時常用的思想方法, ,常見常見的拆角技巧還有的拆角技巧還有2=(+)+(-),2=(+)-(-2=(+)+(-),2=(+)-(-),=(-)+),=(-)+等等.

17、 .2.2.解答有條件限制的求值問題時，要善于發(fā)現(xiàn)所求的三角函數(shù)解答有條件限制的求值問題時，要善于發(fā)現(xiàn)所求的三角函數(shù)的角與已知條件的角的聯(lián)系，一般方法是拼角與拆角的角與已知條件的角的聯(lián)系，一般方法是拼角與拆角. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】已知已知sin(+)= ,sin(-sin(+)= ,sin(-)= ,)= ,求求的值的值. .12110tantan【解析【解析】方法一：由題設(shè)：方法一：由題設(shè)：從而：從而：1sin coscos sin21sin coscos sin10 3sin cos10,1cos sin5 tansin cos335.tancos sin102方法二：令方法二：令x

18、=x=x= x= 即即tansin(),5,tansin()sin()tan1tantanx1cos costan5,sin()tantantanx11cos costan3,2tan3.tan2【變式備選【變式備選】已知已知 求求sin(+sin(+) )的值的值. .33,0,cos(),44445 35sin(),413 【解析【解析】又又又又3,4424 34cos(),sin(),4545 330,444 35sin(),413 312cos(),413 sin(+sin(+)=-sin)=-sin+(+(+) )3sin()()4433sin()cos()cos()sin()444

19、44123563().51351365 三角函數(shù)的給值求角三角函數(shù)的給值求角 【方法點睛【方法點睛】1.1.三角函數(shù)的給值求角問題的一般思路三角函數(shù)的給值求角問題的一般思路(1)(1)求出該角的某一三角函數(shù)值；求出該角的某一三角函數(shù)值；(2)(2)確定角的范圍；確定角的范圍；(3)(3)根據(jù)角的范圍寫出角根據(jù)角的范圍寫出角. .2.2.三角函數(shù)給值求角時應(yīng)注意的問題三角函數(shù)給值求角時應(yīng)注意的問題求角的某一三角函數(shù)值時求角的某一三角函數(shù)值時, ,盡量選擇在該角所在范圍內(nèi)是單調(diào)的盡量選擇在該角所在范圍內(nèi)是單調(diào)的函數(shù)，這樣函數(shù)，這樣, ,由三角函數(shù)值才可以唯一確定角由三角函數(shù)值才可以唯一確定角. .

20、(1)(1)若角的范圍是若角的范圍是 選正、余弦皆可選正、余弦皆可; ;(2)(2)若角的范圍是若角的范圍是(0,),(0,),選余弦較好選余弦較好; ;(3)(3)若角的范圍為若角的范圍為 則選正弦則選正弦. .(0,),2(,),2 2 【例【例3 3】已知】已知cos= cos(-cos= cos(-)= )= 且且0 0(1)(1)求求tan2tan2的值；的值；(2)(2)求求.【解題指南【解題指南】(1)(1)利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求出利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求出sin,tansin,tan, ,再再求出求出tan2tan2；(2)(2)把把寫成寫成-(-(-) )，根據(jù)已知條件求出

21、，根據(jù)已知條件求出的的正弦，正弦，-的正弦，求出的正弦，求出coscos，根據(jù)范圍確定角，根據(jù)范圍確定角. .1,713,14.2【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)(1)由由得得于是于是tan2=tan2=1cos,0,72 2214 3sin1 cos1 ( ).77 sin4 37tan4 3.cos71 222tan2 4 38 3.1tan471 (4 3) (2)(2)由由0 0 得得0 0-又又cos(-cos(-)=)=由由=-(-=-(-),),得得cos=coscos=cos-(-(-) )=coscos(-)+sinsin(-=coscos(-)+sinsin(-) ),2.21

22、3,1422sin()1 cos ()133 31 ().1414 1134 33 31,7147142.3 【反思【反思感悟感悟】根據(jù)三角函數(shù)值求角時，一定要先確定角的范根據(jù)三角函數(shù)值求角時，一定要先確定角的范圍圍. .另外，也可運用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，在等式另外，也可運用同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，在等式sinBcosAsinBcosAsinAcosBsinAcosB兩端同除以兩端同除以cosAcosBcosAcosB得得tanB=tanAtanB=tanA等變化技巧也經(jīng)常等變化技巧也經(jīng)常用到用到. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】已知已知 、均為銳均為銳角，求角，求+的值的值. .113tan,

23、tan,tan,3511 【解析【解析】tan(+tan(+)=)=tantan= = 1 1且且為銳角，為銳角，同理同理0 0,tantantan()1tan tan 11435,117135tan()tan1tan()tan 437111.431711130,4 ,430,.44 三角函數(shù)的綜合應(yīng)用三角函數(shù)的綜合應(yīng)用【方法點睛【方法點睛】三角函數(shù)公式和三角函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系三角函數(shù)公式和三角函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系(1)(1)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往往滲透在研究三角函數(shù)性質(zhì)中往滲透在研究三角函數(shù)性質(zhì)中. .需要利用這些公式需

24、要利用這些公式, ,先把函數(shù)解先把函數(shù)解析式化為析式化為y =Asin(x+y =Asin(x+) )的形式的形式, ,再進一步探討定義域、值域再進一步探討定義域、值域和最值、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等性質(zhì)和最值、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等性質(zhì). .(2)(2)注意特殊角三角函數(shù)值、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用，主要注意特殊角三角函數(shù)值、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用，主要考查基本運算能力考查基本運算能力【例【例4 4】已知函數(shù)】已知函數(shù)f(xf(x)=2sin(-x)cosx.)=2sin(-x)cosx.(1)(1)求求f(xf(x) )的最小正周期；的最小正周期；(2)(2)求求f(x

25、f(x) )在區(qū)間在區(qū)間 上的最大值和最小值上的最大值和最小值. .【解題指南【解題指南】先利用誘導(dǎo)公式和倍角公式進行恒等變換，再求先利用誘導(dǎo)公式和倍角公式進行恒等變換，再求三角函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì). . ,6 2 【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1)f(x)=2sin(-x)cosx=2sinxcosx=sin2x,(1)f(x)=2sin(-x)cosx=2sinxcosx=sin2x,函數(shù)函數(shù)f(xf(x) )的最小正周期為的最小正周期為.(2)(2)由由f(xf(x) )在區(qū)間在區(qū)間 上的最大值為上的最大值為1 1，最小值為，最小值為3x2x,sin2x1,6232 ,6 2 3.2【反思

26、【反思感悟感悟】利用三角函數(shù)公式進行三角恒等變形，要求熟利用三角函數(shù)公式進行三角恒等變形，要求熟練掌握公式和變換技巧，強化運算能力練掌握公式和變換技巧，強化運算能力. .以基本三角函數(shù)的性質(zhì)以基本三角函數(shù)的性質(zhì)為基礎(chǔ)求為基礎(chǔ)求y=Asin(x+y=Asin(x+) )的性質(zhì)，有時給出角的范圍時要注意的性質(zhì)，有時給出角的范圍時要注意x+x+的范圍的變化的范圍的變化. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(xf(x)= cos)= cos2 2x+sinxcosx+a(x+sinxcosx+a(其中其中0,aR),0,aR),且且f(xf(x) )的圖象在的圖象在y y軸右側(cè)的第一個最高點的橫坐

27、標為軸右側(cè)的第一個最高點的橫坐標為(1)(1)求求的值；的值；(2)(2)如果如果f(xf(x) )在區(qū)間在區(qū)間 上的最小值為上的最小值為 ，求，求a a的值的值. .65,3633【解析【解析】(1)f(x)=(1)f(x)=依題意得依題意得313cos2 xsin2 xa222 3sin(2 x)a.32 12.6322 (2)(2)由由(1)(1)知，知，f(xf(x)=)=又當又當x x 時，時，故故 從而從而f(xf(x) )在區(qū)間在區(qū)間 上的最小值為上的最小值為 故故3sin(x)a.325,367x0,36 ，1sin(x)1,235,36133a,22 31a.2【變式備選【變

28、式備選】已知函數(shù)已知函數(shù)f(xf(x)=)=(1)(1)求函數(shù)求函數(shù)f(xf(x) )的最小正周期和圖象的對稱軸方程的最小正周期和圖象的對稱軸方程; ;(2)(2)求函數(shù)求函數(shù)f(xf(x) )在區(qū)間在區(qū)間 上的值域上的值域. .cos(2x)2sin(x)sin(x).344,12 2 【解析【解析】(1)(1)周期周期T=T=由由 (kZ(kZ),),得得x= (kZx= (kZ),),函數(shù)圖象的對稱軸方程為函數(shù)圖象的對稱軸方程為x= (kZx= (kZ).).f(x)cos(2x)2sin(x)sin(x)3442213cos2xsin2x(sinxcosx)(sinxcosx)2213

29、cos2xsin2xsin xcos x2213cos2xsin2xcos2xsin(2x),2262,2 2xk62 k23k23(2)(2)f(xf(x)= )= 在區(qū)間在區(qū)間 上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間 上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞減，當當x= x= 時，時，f(xf(x) )取最大值取最大值1.1.又又當當x= x= 時，時，f(xf(x) )取最小值取最小值函數(shù)函數(shù)f(xf(x) )在區(qū)間在區(qū)間 上的值域為上的值域為5x,2x,12 2636 sin(2x)6,12 3 ,3 2 331f()f( ),12222 123,2,12 2 3,1 .2【滿分指導(dǎo)【滿分指導(dǎo)】三角函數(shù)主觀

30、題的規(guī)范解答三角函數(shù)主觀題的規(guī)范解答 【典例】【典例】(12(12分分)(2011)(2011廣東高考廣東高考) )已知函數(shù)已知函數(shù)f(xf(x)=)=xRxR. .(1)(1)求求 的值的值; ;(2)(2)設(shè)設(shè)，求求cos(+cos(+) )的值的值. .12sin( x),365f()41060,f(3),f(32 ),22135 【解題指南【解題指南】(1)(1)把把x= x= 代入解析式直接求解；代入解析式直接求解；(2)(2)由題目條件由題目條件可求出可求出sinsin及及coscos的值，然后利用同角三角函數(shù)關(guān)系，求出的值，然后利用同角三角函數(shù)關(guān)系，求出coscos及及sinsi

31、n的值，再利用兩角和的余弦公式求解的值，再利用兩角和的余弦公式求解. .54【規(guī)范解答【規(guī)范解答】(1) (1) 3 3分分(2)(2)由由 得得2sin= ,2sin= ,即即sinsin= = 6 6分分由由f(3+2)= f(3+2)= 得得從而從而coscos= = 8 8分分、 1010分分cos(+)=coscos-sinsincos(+)=coscos-sinsin 1212分分515f()2sin()2sin2.4346410f(3)21310135,136562sin(),2535，0,22251234cos1 (),sin1 ( ),131355 1235416.13513

32、565【閱卷人點撥【閱卷人點撥】通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得到以下失分警示和備考建議：得到以下失分警示和備考建議：失失分分警警示示 在解答本題時有兩點容易造成失分：在解答本題時有兩點容易造成失分：(1)(1)忽略角忽略角,的范圍，求解的范圍，求解cos,sincos,sin的值時出的值時出錯；錯；(2)(2)在利用兩角和的余弦公式時由于對公式記憶不準在利用兩角和的余弦公式時由于對公式記憶不準確導(dǎo)致出現(xiàn)錯誤確導(dǎo)致出現(xiàn)錯誤. .備備考考建建議議解決三角函數(shù)問題時，還有以下幾點容易造成失分，解決三角函數(shù)問題時，還有以下幾點容易造成失分，在備考時要高度關(guān)注：在備考時要高度關(guān)注：(1)