[文]階段質(zhì)量檢測(四)平面和量、數(shù)列的擴充與復(fù)數(shù)的引入doc

1、階段質(zhì)量檢測 (四 )平面向量、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入(時間 120 分鐘，滿分150 分 )第卷(選擇題，共50 分)一、選擇題 (本大題共 12小題，每小題5 分，共 60 分 .在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)221.設(shè) z 1 i(i 是虛數(shù)單位 )，則 z z ()A. 1 iB. 1 IC.1 iD.1 i解析： 2 z22 (1 i) 2 2(1 i) 1 i2 2i 1 i.zi21答案： D2.有下列四個命題： (a·b)2 a2·b2 ； |a b|>|a b|； |a b|2 ( a b)2；若 a b，則 a·b

2、|a| ·|b|.其中真命題的個數(shù)是()A.1B.2C.3D.4解析： (a·b)2 |a|2·|b|2·cos2 a， b |a|2·|b|2 a2·b2； |ab|與|a b|大小不確定；正確； ab，則 a b( R) ，a·b·b2 ，而 |a| |b|· | ·|b| ·|b| |b2，不正確 .答案： A3.設(shè) P1(2， 1)，P2(0,5)，且 P 在 P1P2的延長線上，使 | p p | 2| p p |，則點 P 為 ()12A.( 2,11)B.(3， 3)C.

3、( 2， 3)D.(2 ， 7)43解析： 由題意知 p1 p2 p2 p ，設(shè) P(x， y)，則 ( 2,6) (x， y 5)，x2x2, ,y56y11點 P 的坐標為( 2,11).答案：4.設(shè)i，j 是平面直角坐標系(坐標原點為O)內(nèi)分別與x 軸、y 軸正方向相同的兩個單位向量，且 OA 4i 2j， OB 3i 4j，則OAB的面積等于()A.15B.10D.5解析： 由已知：A(4,2)， B(3,4).則 OA OB 12820，|OA |2 5，|OB |5.cosAOBOA OB202 5OA OB2 5 5,5sinAOB5,5S OAB1 OAOB sinAOB212

4、5555.25答案： D5.在 ABC 中， D 為 BC 的中點，已知AB a， AC b，則在下列向量中與AD 同向的向量是()A. a bB. a ba bD.|a|a |b|bC.|a|b|a| |b|a b|解析： a b 是 a b 的單位向量， a b 與向量是 AD 同向 .|a b|答案： C6.已知向量 p (2，x 1)，q (x， 3)，且 p q，若由 x 的值構(gòu)成的集合A 滿足 A? x|ax 2，則實數(shù) a 構(gòu)成的集合是()2C.?2A.0B. 3D.0 ， 3解析： p q，2x 3(x 1) 0，即 x 3，A 3. 又 x|ax 2? A，x|ax 2?或

5、x|ax2 3 ，2a0 或 a3，2實數(shù) a 構(gòu)成的集合為 0 ，3.答案： D7.設(shè) x、 y 均是實數(shù)， i 是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)x yi i 的實部大于0，虛部不小于0，則復(fù)數(shù) z1 2i x yi 在復(fù)平面上的點集用陰影表示為下圖中的()解析： 因為xx 2y 2x y 5 i55i，1 2ix2 y0,所以由題意得5即2 x y 5 0,5x2 y0.2 xy5 0畫出不等式組表示的平面區(qū)域即可知應(yīng)選A.答案：A黃·岡模擬)已知A、 B、 C 是銳角的三個內(nèi)角，向量p (1sinA,1 cosA)，q (1 sinB， 1 cosB)，則p 與q 的夾角是()A.銳角B.鈍角

6、C. 直角D.不確定解析： 銳角ABC 中， sinA cosB 0， sinB cosA0，故有p·q (1 sinA)(1 sinB) (1 cosA)(1 cosB) 0，同時易知p 與q 方向不相同，故 p 與q 的夾角是銳角.答案：A9.在 ABC中，若對任意t R，恒有 | BA t BC| AC|，則()A. A 90°B. B 90°C. C 90°D. A B C 60°解析： 如圖，設(shè)t BCBDBAt BCDA, AD AC ,由于上式恒成立，ACBCC90.答案： C10.在 ABC 中，若 BC2AB BCCB CAB

7、C BA, 則 ABC 是()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形解析:AB BCCB CABC BABC ( ABBA)CB CACB CA,BC 2CB CABC (BCCA)BCBA0,B, ABC 為直角三角形 .2答案： B第 卷(非選擇題，共100 分 )二、填空題(本大題共5 小題，每小題 5 分，共 25 分.請把正確答案填在題中橫線上)11.已知復(fù)數(shù)a i i的對應(yīng)點在復(fù)平面坐標系第二、四象限的角平分線上，則實數(shù)ai.a i解析： 已知復(fù)數(shù) i 1(a1)i，i由題意知a 1 1，解得 a 2.答案： 212.已知復(fù)數(shù)z1 4 2i， z2 k i，且 z

8、1·z 2 是實數(shù)，則實數(shù)k.解析：z 2 k i，z1·z 2 (4 2i)( k i) (4k 2) (2k4)i，又 z1 ·z 2 是實數(shù)，則2k 4 0，即 k 2.答案： 213.已知向量 a 與 b 的夾角為 120 °，若向量c a b，且 c a，則|a|.|b|解析： 由題意知 a·b |a|b|cos120°1|a|b|.2又c a，(a b) ·a 0，a2 a·b 0，21|a|1即 |a| a·b2|a|b|，|b|2.答案： 1214已知 | OA | 1，| OB |3，

9、OA ·OB 0，點 C 在 AOB 內(nèi)，且 AOC 30°，設(shè) OC m OA n OB (m、 nR) ，則 m _. n解析： 如圖所示，建立直角坐標系則 OA (1,0)， OB (0，3)， OC m OA n OB (m， 3n)， tan30° m3n 33， mn 3.答案： 315.(2009 四·川高考 )設(shè) V 是已知平面M 上所有向量的集合，對于映射f： V V ， a V ，記a 的象為 f( a).若映射 f：V V 滿足：對所有 a、b V 及任意實數(shù)、都有 f(a b) f(a) f(b)，則 f 稱為平面M 上的線性變換

10、.現(xiàn)有下列命題：設(shè) f 是平面 M 上的線性變換，a、 b V，則 f(a b) f( a) f(b)；若 e 是平面 M 上的單位向量，對a V ，設(shè) f(a) a e，則 f 是平面 M 上的線性變換；對 a V，設(shè) f( a) a，則 f 是平面 M 上的線性變換；設(shè) f 是平面 M 上的線性變換，a V，則對任意實數(shù)k 均有 f(ka) kf( a).其中的真命題是(寫出所有真命題的編號).解析： 當(dāng) 1 時， f(ab) f(a) f(b)成立 .f (a) ae，f (ab) ab e.f(a) f(b) (a e) (b e) a b ( )e.f (a b)f(a) f(b).

11、f 不是平面M 上的線性變換 .f (a) a，f(a b) ab，f(a) a， f(b) b.f(a b)f(a) f(b).f 是平面 M 上的線性變換 .f 是 M 上的線性變換， 當(dāng) k，0 時，有 f (ab) f( ka)kf(a) 0f(b) kf(a).答案： 三、解答題 (本大題共6 小題，共 75 分 .解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)16.(本小題滿分12 分 )設(shè) a ( 1,1)， b (4,3) ， c (5， 2)，(1) 求證 a 與 b 不共線，并求a 與 b 的夾角的余弦值；(2) 求 c 在 a 方向上的投影 .解： (1) a( 1,1

12、)， b (4,3)，且 1×31×4，a 與 b 不共線 .又 a·b 1 ×4 1 ×3 1， |a|2， |b|5，cosa， ba·b 12|a|b|5 2 10.(2) a·c 1×5 1×( 2) 7，c 在 a 方向上的投影為a·c 772.|a| 2 217.(本小題滿分12 分 )已知 |a| 1，|b|2，(1) 若 a 與 b 的夾角為 3，求 |a b|；(2) 若 a b 與 a 垂直，求a 與 b 的夾角 .解： (1)|a b|2 |a|2 2a·b |b

13、|2 1 2 ×1 × 2 ×cos3 2 3 2.|a b|32.(2) a b 與 a 垂直， (a b) ·a 0.|a|2a·b 0，a·b |a|2.設(shè) a 與 b 的夾角為 .2a·b|a|12cos.|a|b|a|b|1× 22又 0 ， 4.所以向量 a 與 b 的夾角為 4.18.(本小題滿分 12 分 )已知 ABC 的角 A、 B、 C 所對的邊分別是a、b、 c，設(shè)向量 m (a，b)， n (sinB， sinA)， p (b 2， a 2).(1) 若 m n，求證： ABC 為等腰三角

14、形；(2) 若 m p，邊長 c 2，角 C，求 ABC 的面積 .3解： (1) 證明： m n， asinA bsinB，a b即 a· b· ，2R2R其中 R 是 ABC 外接圓半徑，a b. ABC 為等腰三角形.(2) 由題意可知m·p 0，即 a(b 2) b(a2) 0. a b ab.由余弦定理可知，4 a2 b2 ab (a b) 2 3ab，即 (ab)2 3ab 4 0. ab 4(舍去 ab 1)，11 SabsinC×4×sin 3.22319.(本小題滿分12 分 )已知復(fù)數(shù) z1 cos isin， z2cos

15、isin， |z1 z2|25.5(1) 求 cos( )的值；5 ，求 sin的值 .(2) 若 0 ，且 sin2213解： (1) z1 z2 (cos cos) i(sin sin)，1 z2 2，|z|55 (coscos)2 (sin sin)2255，42 53cos() 2 5.(2) 2 0 2，30 .由 (1) 得 cos( ) 5，4512sin( ) 5.又 sin 13，cos13.sin sin( ) sin()coscos( )sin4123×(5)33. ×1365513520.(本小題滿分13 分 )已知 A( 1,0)， B(0,2)，

16、 C( 3,1)， AB AD 5, AD210.(1) 求 D 點坐標；(2) 若 D 點在第二象限，用AB ， AD 表 AC ；(3) AE (m,2)，若 3 AB AC 與 AE 垂直，求 AE 坐標 .解： (1) 設(shè) D (x， y)， AB (1,2)， AD (x1， y).由題得AB ADx 12 y5,AD 2( x1)2y210,x2y4,即1)2y210,( x x 2,或 x 2,y3y1.D 點坐標為 ( 2,3)或 (2,1).(2) D 點在第二象限， D( 2,3). AD ( 1,3).AC ( 2,1)，設(shè) AC m AB n AD ，則 ( 2,1) m(1,2) n( 1,3)，2 m n,m 11 2m 3n. n 1. AC AB AD .(3) 3 AB AC 3(1,2) ( 2,1) (1,7) ，AE (m,2)，(3 AB AC ) ·AE 0.m 14 0.m 14. AE ( 14,2).21.(本小題滿分14 分 )已知夾角為 .ABC的面積S 滿足3S 3，且AB·BC6，AB與BC的(1) 求 的取值范圍；(2) 求函數(shù) f() sin2 2sincos 3cos2的最小值 .解： (1