Gauss列主元消去法程序設(shè)計(jì)

1、Gauss 列主元消去法實(shí)驗(yàn)報(bào)告實(shí)驗(yàn)名稱： Gauss列主元消去法程序設(shè)計(jì)成績(jī)： _專業(yè)班級(jí)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)1202 班姓名：王曉陽(yáng)學(xué)號(hào)：實(shí)驗(yàn)日期：2014年11月10日實(shí)驗(yàn)報(bào)告日期：2014 年11月 10日一實(shí)驗(yàn)?zāi)康?. 學(xué)習(xí) Gauss 消去法的基本思路和迭代步驟 .2. 學(xué)會(huì)運(yùn)用 matlab 編寫高斯消去法和列主元消去法程序， 求解線性方程組 .3. 當(dāng) akk k 絕對(duì)值較小時(shí)，采用高斯列主元消去法.4. 培養(yǎng)編程與上機(jī)調(diào)試能力 .二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容用消去法解線性方程組的基本思想是用逐次消去未知數(shù)的方法把原線性方程組 Ax b 化為與其等價(jià)的三角形線性方程組， 而求解三角形線性方程組可用

2、回代的方法求解 .1. 求解一般線性方程組的高斯消去法.(1) 消元過程：設(shè) akkk0 ，第 i 個(gè)方程減去第 k 個(gè)方程的 mikaikk / akkk 倍，(i k 1,n) ，得到 A k 1 x b k 1 .aijk 1aijkmik akjk , i , j k 1, , nbik 1bikmik bkk經(jīng)過 n-1 次消元，可把方程組A 1 xb 1 化為上三角方程組A n xb n .(2) 回代過程：xnbn n/ ann nini xj / aiii , i n 1, ,1xibiaijj i1以解如下線性方程組為例測(cè)試結(jié)果.10x17 x273x12x26x345x1x

3、25x362. 列主元消去法由高斯消去法可知，在消元過程中可能出現(xiàn)akk k0 的情況，這是消去法將k無法進(jìn)行，即使主元素akk0 但很小時(shí)，用其作除數(shù)，會(huì)導(dǎo)致其他元素?cái)?shù)量級(jí)的嚴(yán)重增長(zhǎng)和舍入誤差的擴(kuò)散，最后也使得計(jì)算解不可靠. 這時(shí)就需要選取主元素，假定線性方程組的系數(shù)矩陣A 是菲奇異的 .(1) 消元過程：對(duì)于 k1,2, n1 ，進(jìn)行如下步驟：1) 按列選主元，記apkmax aikkin2) 交換增廣陣 A 的 p,k 兩行的元素。A(k,j)=A(p,j) (j=k, ,n +1)3) 交換常數(shù)項(xiàng) b 的 p,k 兩行的元素。b(k)=b(p)4) 計(jì)算消元aijk 1aijkmik

4、akjk , i , j k 1, , nbik 1kkbimik bk(2) 回代過程xnbn n/ ann nini xj / aiii , i n 1, ,1xibiaijj i 1(3) 以解如下線性方程組為例測(cè)試結(jié)果 .0.00001x1x212x1x22三、實(shí)驗(yàn)環(huán)境MATLAB R2014a四、實(shí)驗(yàn)步驟1. 高斯列主元消去法流程圖：開始輸入系數(shù)陣a和常數(shù)項(xiàng)b按列選主元交換元素計(jì)算消元回代輸出線性方程組的解結(jié)束2. 程序設(shè)計(jì)：( 一) 高斯消去法：a=input( ' 請(qǐng)輸入系數(shù)陣： ' );b=input( ' 請(qǐng)輸入常數(shù)項(xiàng)： ' );n=lengt

5、h(b);A=a,b;x=zeros(n,1);%初始值for k=1:n-1for i=k+1:n%第 k次消元m(i,k)=A(i,k)/A(k,k);for j=k+1:nA(i,j)=A(i,j)-A(k,j)*m(i,k);endb(i)=b(i)-m(i,k)*b(k);endendx(n)=b(n)/A(n,n);%回代for i=n-1:-1:1;s=0;for j=i+1:n;s=s+A(i,j)*x(j);endx(i)=(b(i)-s)/A(i,i)end( 二) 高斯列主元消去法：a=input(b=input(' 請(qǐng)輸入系數(shù)陣： ' );' 請(qǐng)

6、輸入常數(shù)項(xiàng)： ' );n=length(b);A=a,b;x=zeros(n,1);%初始值for k=1:n-1ifabs(A(k,k)<10(-4);%判斷是否選主元y=1elsey=0;endify;%選主元for i=k+1:n;ifabs(A(i,k)>abs(A(k,k)p=i;else p=k;endendifp=k;for j=k:n+1;s=A(k,j);A(k,j)=A(p,j);%交換系數(shù)A(p,j)=s;endt=b(k);b(k)=b(p);%交換常數(shù)項(xiàng)b(p)=t;endendfor i=k+1:nm(i,k)=A(i,k)/A(k,k);for

7、 j=k+1:nA(i,j)=A(i,j)-A(k,j)*m(i,k);endb(i)=b(i)-m(i,k)*b(k);endendx(n)=b(n)/A(n,n);%回代for i=n-1:-1:1;%第k次消元s=0;for j=i+1:n;s=s+A(i,j)*x(j);endx(i)=(b(i)-s)/A(i,i)end五、實(shí)驗(yàn)結(jié)果Gauss1請(qǐng)輸入系數(shù)陣： 10,-7,0;-3,2,6;5,-1,5請(qǐng)輸入常數(shù)項(xiàng)： 7;4;6x =0-1.00001.0000x =-0.0000-1.00001.0000X=（0，-1 ， 1）Gauss2請(qǐng)輸入系數(shù)陣： 10(-5),1;2,1請(qǐng)輸入常數(shù)項(xiàng)： 1;2y =1x =0.50001.0000X=（0.5 ，1）六、實(shí)驗(yàn)討論、結(jié)論本實(shí)驗(yàn)通過matlab程序編程實(shí)現(xiàn)了高斯消去法及高斯列主元消去法的求解，能加深對(duì)高斯消去法基本思路與計(jì)算步驟的理解。當(dāng)主元素特別小時(shí)， 需要選取主元，否則會(huì)影響結(jié)果，這時(shí)就需要采用高斯列主元消去法。七、 參考資料1