密碼學(xué)課后習(xí)題

1、第三章：3-1 使用密鑰字為common的代換密碼方案，列出字母代換表解：去除后來(lái)重復(fù)的字母后，真正的密鑰字為comn 明文密文COMNABDEFGHIJ明文密文KLPQRSTUVWXYZ3-2 解密下面的一段愷撒密碼密文（明文單詞間留空，以便閱讀）：EHVWWLPHRIWKHBHDULVVSULQJZKHQIORZHUVEORRP解：將密文字母在英文字母表上前移3個(gè)位置，即可得到這段愷撒密碼密文對(duì)應(yīng)的明文如下： best time of the year is spring when flowers bloom3-3 利用仿射密碼算法加密下面的明文，假設(shè)k1=7，k2=3（要求首先列出明文字

2、母-密文字母代換表，然后給出對(duì)應(yīng)的密文，并以字母t的加密為例給出計(jì)算過(guò)程）：解：因?yàn)閗1=7，k2=3，因此仿射密碼的加密公式為字母t（19）被加密為完整的明文字母-密文字母代換表如下表所示： 明文密文DKRYFMTAHOVCJ明文密文QXELSZGNUBIPW3-4 解密3-3題所得仿射密碼密文，并以密文字母F的解密為例說(shuō)明計(jì)算過(guò)程。解：因?yàn)閗1=7，k2=3，因此，根據(jù)仿射密碼的解密公式，有密文字母F（5）解密為： 密文ABCDEFGHIJKLM明文 hwlapetixmbqf密文NOPQRSTUVWXYZ明文ujyncrgvkzods3-5 使用密鑰字student 對(duì)明文cryptog

3、raphy進(jìn)行維吉尼亞密碼加密和解密，要求仿照表3-7（P51）給出其加密和解密過(guò)程，并說(shuō)明相同明文字符的加密結(jié)果。解：去除密鑰字student中后來(lái)重復(fù)的字母后，真正的密鑰為studen。因此，應(yīng)將明文、密文按照6位長(zhǎng)度進(jìn)行分組，每組使用同樣的密鑰studen加密、解密。 3-6 選擇希爾密碼的加密密鑰矩陣k為：試以明文love為例解：將明文字符love變換為數(shù)字，分別為11、14、21、4。 因?yàn)榧用苊荑€矩陣k為2階矩陣，所以應(yīng)將明文分成和兩組分別進(jìn)行加密。 （1）確定解密密鑰矩陣k-1 （見(jiàn)表2-2（P21）（2）加密因此，明文字符love的加密密文為ZQFS。（3）解密 因此，密文字符

4、ZQFS的解密明文為love，即解密后恢復(fù)了原來(lái)的明文。3-7 使用每行5個(gè)字符的格子和密鑰字money，將下面的明文置亂為密文（多余的空格內(nèi)依次填入字母a、b、c）：cryptography is the science and study of secret writing提示：將密鑰字money變換為數(shù)字（字母表上最靠前的密鑰字母用0表示，然后依次遞增），即是讀出列的順序。解：置亂密碼的格紙表如下表所示： 列行012340crypt1ograp2hyist3hesci4encea5ndstu6dyofs7ecret8writi9ngabc根據(jù)密鑰字money，得到讀出列的順序?yàn)?、3、2

5、、0、4。按照此順序讀出各列，得到置亂密文如下：RGYENDYCRG PASCETFETB YRISCSORIA COHHENDEWN TPTIAUSTIC3-9 用頻數(shù)法破譯下面的一段仿射密碼密文（不含空格）：FMXVE DKAPH FERBN DKRXR SREFM ORUDS DKDVS HVUFE DKAPR KDLYE VLRHH RH解：（1）密文字母頻數(shù)統(tǒng)計(jì)該段仿射密碼密文一共有57個(gè)密文字符，密文字母出現(xiàn)的頻數(shù)如下表所示：字母ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ頻數(shù)21075405005221120830240210從上表可見(jiàn)頻數(shù)比較高的密文字母：R：8 ； D

6、：7； E、H、K：5 ； F、V：4而明文字母頻數(shù)比較高的幾個(gè)英文字母依次為e、t、a、o、i、n、s、h、r。（2）假設(shè)與推論、證實(shí) 第一次假設(shè)：頻數(shù)最高的密文字母R（17）對(duì)應(yīng)頻數(shù)最高的明文字母e（4）, 頻數(shù)次高的密文字母D（3）對(duì)應(yīng)頻數(shù)次高的明文字母t（19）。第二次假設(shè)：頻數(shù)最高的密文字母R（17）對(duì)應(yīng)頻數(shù)最高的明文字母e（4）, 頻數(shù)第三高的密文字母E（4）對(duì)應(yīng)頻數(shù)次高的明文字母t（19）。第三次假設(shè)：頻數(shù)最高的密文字母R（17）對(duì)應(yīng)頻數(shù)最高的明文字母e（4）, 頻數(shù)并列第三的密文字母H（7）對(duì)應(yīng)頻數(shù)次高的明文字母t（19）。第四次假設(shè)：頻數(shù)最高的密文字母R（17）對(duì)應(yīng)頻數(shù)最高的

7、明文字母e（4）, 頻數(shù)并列第三的密文字母K（10）對(duì)應(yīng)頻數(shù)次高的明文字母t（19）。根據(jù)仿射密碼的加密公式，列出密文和明文的關(guān)系方程組如下： -得：解得：由于，因此存在乘法逆元，且，說(shuō)明第四次假設(shè)正確。將代入式，得：因此，破譯得到該仿射密碼的加密密鑰為，。將它們代入仿射密碼的解密公式，得到： 將密文字母代入式，得到對(duì)應(yīng)的明文字母，如下表所示： 密ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ明hqzirajsbktcludmvenwfoxgpy例如，密文字母U（20）代入式，得到明文字母為 對(duì)照題上表，將密文變換為明文，得到如下的一段具有明確意義的明文： algorithms are

8、quite general definitions of arithmetic processes第四章： 4-5 分別使用（4-14）式和表4-1的S盒查找表，求16進(jìn)制數(shù)5c和e2的字節(jié)代換結(jié)果。已知5c-1=51，e2-1=d6。解 由于5c-1=51=（01010001）而根據(jù)表4-1的S盒查找表，可以直接得到5c的字節(jié)代換結(jié)果為4a，可見(jiàn)二者結(jié)果相同。同理，由于e2-1=d6=（11010110），根據(jù)（4-14）式，有而根據(jù)表4-1的S盒查找表，可以直接得到e2的字節(jié)代換結(jié)果為98，可見(jiàn)二者結(jié)果也相同。4-6 AES的中間態(tài)如題4-6圖所示。求AES對(duì)其執(zhí)行行移位運(yùn)算ShiftRo

9、ws后的結(jié)果。e55f18ae C30698311A5275d 627C41c0b4eCbfE1e7b8De02d47305e58f1Cae65235dA98711641Cb4c0bfeC27E1e7b8De02d47解 AES對(duì)其執(zhí)行行移位運(yùn)算ShiftRows后的結(jié)果如題4-6圖2所示。4-7 分別用多項(xiàng)式乘法、移位相加法和表操作法計(jì)算下列字節(jié)乘法運(yùn)算：（1） （2）解 （1），。 多項(xiàng)式乘法計(jì)算字節(jié)乘法運(yùn)算 移位相加法計(jì)算字節(jié)乘法運(yùn)算由于，且因此，有 表操作法計(jì)算字節(jié)乘法運(yùn)算查表4-2的對(duì)數(shù)表，有：，。因此，查表4-3的反對(duì)數(shù)表，有：。因此，。4-9 利用的已知結(jié)果，證明域上的元素。解4

10、-10 利用表操作法，計(jì)算域上的元素和的乘法逆元。解：，根據(jù)表4-2，有，因此，根據(jù)表4-3，得到4-11 分別用移位相加法和表操作法計(jì)算AES的下列字運(yùn)算：（1）（2）解（1） 移位相加法計(jì)算 表操作法計(jì)算（2） 移位相加法計(jì)算 表操作法計(jì)算4-12 假設(shè)128比特種子密鑰k為：k=ab 7e 15 16 28 ae d2 a6 ab f7 15 88 09 cf 4f 3c試仿照表4-6列表給出輪密鑰字的密鑰擴(kuò)展過(guò)程及結(jié)果。解 輪密鑰字的密鑰擴(kuò)展過(guò)程及結(jié)果如題4-12表所示。0ab7e1516128aed2a62abf71588309cf4f3c409cf4f3ccf4f3c098a84e

11、b01010000008b84eb01ab7e151620fafe17520fafe1728aed2a608542cb1608542cb1abf71588a3a339397a3a3393909cf4f3caa6c76058aa6c76056c7605aa50386bac0200000052386bac20fafe1772c295bb972c295bb08542cb17a96b90a4-20 畫(huà)出題4-20圖所示4級(jí)序列產(chǎn)生器的全狀態(tài)圖，從最小的非0狀態(tài)開(kāi)始寫(xiě)出一個(gè)周期的輸出序列，并說(shuō)明它是否是m序列產(chǎn)生器。題4-20圖 4級(jí)序列產(chǎn)生器解：該4級(jí)序列產(chǎn)生器的全狀態(tài)圖如題4-20圖2所示。由圖可見(jiàn)

12、，從最小的非0狀態(tài)開(kāi)始，一個(gè)周期的輸出序列為100011110101100，其周期為15，因此它是m序列產(chǎn)生器。0000000110001100111011110111101101011010110101100011100101000010題4-20圖2 4級(jí)序列產(chǎn)生器的全狀態(tài)圖4-23 檢驗(yàn)周期序列“100011110101100”的平衡特性、游程特性和自相關(guān)特性。其中，自相關(guān)特性直接通過(guò)（4-57）式和（4-58）式的計(jì)算來(lái)進(jìn)行檢驗(yàn)。解：（1）平衡特性檢驗(yàn)。該序列的周期為15 ，且一個(gè)周期中有8個(gè)“1”、7個(gè)“0”，因此符合戈龍?zhí)岢龅碾S機(jī)性公設(shè)中的平衡特性。如用頻數(shù)法檢驗(yàn)，將、代入（4-5

13、9）式，有顯然，它遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1自由度的分布表中5%顯著性水平值3.84，所以通過(guò)頻數(shù)檢驗(yàn)。（2） 游程特性檢驗(yàn)。該序列的一個(gè)周期中，有兩個(gè)長(zhǎng)度為1的“1”游程，有1個(gè)長(zhǎng)度為2的“1”游程，有1個(gè)長(zhǎng)度為4的“1”游程，“1”游程的總數(shù)為4。除了長(zhǎng)度為4的“1”游程外，長(zhǎng)度為1的“1”游程數(shù)為“1”游程總數(shù)的1/2，長(zhǎng)度為2的“1”游程數(shù)為“1”游程總數(shù)的1/4，因此基本符合游程特性。同樣，該序列的一個(gè)周期中，有兩個(gè)長(zhǎng)度為1的“0”游程，有1個(gè)長(zhǎng)度為2的“0”游程，有1個(gè)長(zhǎng)度為3的“0”游程，“0”游程的總數(shù)為4。除了長(zhǎng)度為3的“0”游程外，長(zhǎng)度為1的“0”游程數(shù)為“0”游程總數(shù)的1/2，長(zhǎng)度為2的

14、“0”游程數(shù)為“0”游程總數(shù)的1/4，因此也基本符合游程特性。（3）自相關(guān)特性檢驗(yàn)。檢驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)題4-23表。從該表可見(jiàn)： 該序列的自相關(guān)函數(shù)值符合（4-58）式的特性，即時(shí)，；時(shí)，。因此該序列具有很好的自相關(guān)特性。 自相關(guān)函數(shù)具有周期性，其周期與要檢驗(yàn)序列的周期相同。題4-23表 自相關(guān)特性檢驗(yàn)序列相同位數(shù)A不同位數(shù)D01000111101011001501100011110101100178-1/15200111101011001078-1/15301111010110010078-1/15411110101100100078-1/15511101011001000178-1/1561101

15、0110010001178-1/15710101100100011178-1/15801011001000111178-1/15910110010001111078-1/151001100100011110178-1/151111001000111101078-1/151210010001111010178-1/151300100011110101178-1/151401000111101011078-1/15151000111101011001501第5章： 5-5在RSA體制中：（1）若,，求、和。（2）若，求。該計(jì)算結(jié)果說(shuō)明了什么問(wèn)題？解 （1），（2）由于，因此,。該結(jié)果說(shuō)明， 、太小

16、是不安全的，攻擊者容易通過(guò)因式分解從分解出、，并進(jìn)而根據(jù)和計(jì)算出私鑰。5-6使用快速計(jì)算法計(jì)算下列模指數(shù)，要求列表給出計(jì)算過(guò)程。（1）1613 mod 4661 （2）432159 mod 4661解（1）b=13=（1101），a=16，n=4661，計(jì)算過(guò)程如下表所示31211001 因此，。（2）b=59=（111011），a=4321，n=4661，計(jì)算過(guò)程如下表所示。514131201101 因此，。5-7假設(shè)Alice和Bob采用RSA密碼體制進(jìn)行保密通信。已知Alice的公鑰為（eA，nA）=(13，115)，私鑰為（dA，nA）=（62，115）；Bob的公鑰為（eB，nB）=

17、(7，119)，私鑰為（dB，nB）=（55，119）。（1）若Alice想將明文加密后傳送給Bob，試計(jì)算密文。（2）若Bob要解密密文，試計(jì)算明文。解（1）（2）5-8 假設(shè)Alice和Bob采用RSA密碼體制進(jìn)行保密通信。已知Alice的公鑰為（eA，nA）=(13，115)，私鑰為（dA，nA）=（62，115）；Bob的公鑰為（eB，nB）=(1223，2867)，私鑰為（dB，nB）=（167，2867）。字符代換規(guī)則為：字母az分別用0126表示，空格用00表示。（1) 若Alice想將明文“rsa algorithm”秘密地發(fā)送給Bob，幫Alice計(jì)算密文。（2）Bob收到A

18、lice發(fā)來(lái)的密文后，幫Bob計(jì)算明文，并將明文替換回英文字符。（3）若Bob想將明文“rs”秘密地發(fā)送給Alice，幫Bob計(jì)算密文。解（1）由于Bob的模數(shù)nB=2867，因此Alice可以一次加密兩個(gè)字符。將明文“rsa algorithm”替換為數(shù)字，并按兩個(gè)字符分組為：1819 0100 0112 0715 1809 2008 1300。各組明文加密如下：因此，Alice加密后的密文為：2756 2001 0542 0669 2347 0408 1815。（2）Bob收到Alice發(fā)來(lái)的密文后，分組解密得到各組明文：因此，Bob解密后的明文為：1819 0100 0112 0715

19、1809 2008 1300。替換回英文字符后，明文為：rsa algorithm。（3）由于Alice的模數(shù)nA=115，因此Bob只能一次加密一個(gè)字符。將明文“rs”替換為數(shù)字，為：18 19。各組明文加密如下：因此，Bob加密后的密文為：48 99。5-9 假設(shè)Alice采用EIGamal密碼體制，并選擇素?cái)?shù)，私鑰， 且已知的一個(gè)生成元。（1） 計(jì)算Alice的公鑰y。（2） 若Bob想秘密發(fā)送消息給Alice，且他選擇的隨機(jī)數(shù)，試給出Bob和Alice的加密和解密過(guò)程。（3）若Bob發(fā)送上述密文時(shí)，不慎將密文交換了位置，會(huì)出現(xiàn)什么問(wèn)題？解（1）Alice的公鑰。（2）Bob和Alice

20、的加密和解密過(guò)程Bob加密：Alice解密：（3）若Bob發(fā)送上述密文時(shí)，不慎將密文交換了位置，Alice將無(wú)法正確解密。此時(shí)，Alice的解密結(jié)果為：5-10 說(shuō)明實(shí)數(shù)域上的橢圓曲線能否構(gòu)成一個(gè)阿貝爾群。解 由于、，因此，不滿足（5-37）式關(guān)于的要求，所以實(shí)數(shù)域上的橢圓曲線不能構(gòu)成一個(gè)阿貝爾群。5-11找出素域上的橢圓曲線即上的所有點(diǎn)。解 對(duì)于、的所有可能值010，列一張方表如題5-11表所示，逐對(duì)驗(yàn)證、值是否素域上橢圓曲線即上的點(diǎn)（注意，數(shù)值運(yùn)算時(shí)要進(jìn)行mod 11運(yùn)算）。若是，對(duì)應(yīng)表格內(nèi)劃；若不是，對(duì)應(yīng)表格內(nèi)不做記號(hào)。題5-11表 尋找素域上橢圓曲線即上的所有點(diǎn)012345678910

21、012345678910根據(jù)題5-11表，得到素域上橢圓曲線即上的所有點(diǎn)（不含無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)）為：（2,4）,（2,7）,（3,5）,（3,6）,（5,2）,（5,9）,（7,2）,（7,9）, （8,3）, （8,8）, （10,2）,（10,9）。5-13 由不可約多項(xiàng)式定義的有限域有一個(gè)生成元，非0元素與生成元的關(guān)系參見(jiàn)表5-4。已知上的橢圓曲線為，其上的兩個(gè)點(diǎn)分別為和。計(jì)算：（1） （2）（3） （4）解 ，。（1）由于，因此Q與R為互逆點(diǎn)。根據(jù)互逆點(diǎn)規(guī)則和（5-61）式，有因此，有。（2）。因?yàn)?，所以P、R是非互逆點(diǎn)。根據(jù)（5-65）式，有將代入（5-63）、（5-64）式，得到因此，有（

22、3） 。根據(jù)倍點(diǎn)規(guī)則，有將代入（5-67）和（5-68）式，得到 因此，有（4）。首先計(jì)算。根據(jù)倍點(diǎn)規(guī)則，有將代入（5-67）和（5-68）式，得到 因此，有再計(jì)算。因?yàn)?，所以P、W是非互逆點(diǎn)。根據(jù)（5-65）式，有將代入（5-63）、（5-64）式，得到因此，有5-15 由不可約多項(xiàng)式定義的有限域有一個(gè)生成元，非0元素與生成元的關(guān)系參見(jiàn)表5-4。已知上的橢圓曲線為，以其上階的點(diǎn)構(gòu)造橢圓曲線的子群。假設(shè)Alice和Bob使用基于上述參數(shù)的橢圓曲線密碼體制進(jìn)行保密通信。（1） 若Bob選擇私鑰，計(jì)算Bob的公鑰。（2） 若Alice要秘密發(fā)送消息m=（01101011）給Bob，給出Alice的加密過(guò)程。假設(shè)她隨機(jī)選擇整數(shù)，滿足。（3） 給出Bob的解密過(guò)程。（4） 該題的參數(shù)選擇是否有問(wèn)題？為什么？解 ，。（1）計(jì)算Bob的公鑰：根據(jù)（5-80）式，Bob的公鑰為：假設(shè)：則有：現(xiàn)在，首先計(jì)算。根據(jù)倍點(diǎn)規(guī)則，有將代入（5-67）和（5-68）式，得到 因此，有然后，計(jì)算Bob的公鑰。由于，因此不是互逆點(diǎn)。根據(jù)（5-65）式，有 將代入（5-63）、（5-64）式，得到因此，有（2）Alice要秘密發(fā)送消