數(shù)學(xué)分析-各?？佳性囶}及答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2003南開(kāi)大學(xué)年數(shù)學(xué)分析一、 設(shè)其中有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求解：令u=x+y,v=x-y,z=x則；二、 設(shè)數(shù)列非負(fù)單增且，證明解：因?yàn)閍n非負(fù)單增，故有由；據(jù)兩邊夾定理有極限成立。三、 設(shè)試確定的取值范圍，使f(x)分別滿足：（1） 極限存在（2） f(x)在x=0連續(xù)（3） f(x)在x=0可導(dǎo)解：（1）因?yàn)?極限存在則2+知(2)因?yàn)?0=f(0)所以要使f(x)在0連續(xù)則（3）所以要使f(x)在0可導(dǎo)則四、設(shè)f(x)在R連續(xù)，證明積分與積分路徑無(wú)關(guān)解；令U=則=又f(x)在R上連續(xù)故存在F（u）使dF(u)=f(u)du=所以積分與路徑無(wú)關(guān)。 （此題應(yīng)感謝小毒物

2、提供思路）五、 設(shè)f(x)在a,b上可導(dǎo)，且,證明證：因f(x)在a,b可導(dǎo)，則由拉格朗日中值定理，存在即有六、設(shè)單減而且收斂于0。發(fā)散a) 證明b) 證明其中；證：（1）因?yàn)槎鴨螠p而且收斂于0據(jù)狄利克萊判別法知（2）因?yàn)檎?xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散則又由上題知故有七、設(shè)證明（1）在一致收斂（2） 在連續(xù)證：（1）因收斂（可由狄利克萊判別法判出）故在t>=0上一致收斂；又在x>=1,t>=0 單調(diào)且一致有界由阿貝爾判別法知一致收斂（2）由上題知，F(xiàn)（t）在一致收斂，且由在（x,t）上連續(xù)知F（t）在連續(xù)所以在連續(xù)，由的任意性得證八、令是a,b上定義的函數(shù)列，滿足（1）對(duì)任意是一個(gè)有

3、界數(shù)列（2）對(duì)任意，存在一個(gè)求證存在一個(gè)子序列在a,b上一致收斂證：對(duì)任意，是一個(gè)有界數(shù)列故由致密性定理存在一收斂子列，設(shè)為，又令U=則U為a,b的一個(gè)開(kāi)覆蓋集，由有限覆蓋定理，存在有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋a,b，不妨設(shè)為于是對(duì)>0，有令則由條件（2）知對(duì)上述于是+由柯西準(zhǔn)則得證。2004年南開(kāi)大學(xué)數(shù)學(xué)分析試題答案1. 2. ,=3.即證明，即證設(shè)，證完。4.= 5.設(shè)P=，Q=，積分與路徑無(wú)關(guān)，則6. ,又當(dāng)時(shí)，收斂，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，原題得證7.由拉格朗日定理，其中，原題得證8.（1）應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，當(dāng)時(shí)命題成立，若當(dāng)時(shí)命題也成立，則當(dāng)時(shí)，由歸納假設(shè)連續(xù)。（2）（3）由單調(diào)遞減趨于，與都連續(xù)，

4、由地尼定理，該收斂為一致收斂。9.(1)證明：取，代入式中得，即，所以函數(shù)單調(diào)遞增有下界，從而存在右極限，則；，由題設(shè)可得，即從而，所以導(dǎo)函數(shù)遞增。(2)參考實(shí)變函數(shù)的有關(guān)教材。2005年南開(kāi)大學(xué)數(shù)學(xué)分析試題答案2.，其中由 求出3.4.在上單調(diào)一致趨于0，則在上一致收斂，又在上連續(xù)，則在上連續(xù)。5.由泰勒公式，則，后者收斂，則原級(jí)數(shù)收斂。6.由拉格朗日中值定理，后者收斂，由魏爾特拉斯定理，原級(jí)數(shù)一致收斂。由一致收斂，則可以逐項(xiàng)求導(dǎo)，也一致收斂且連續(xù)，故連續(xù)可導(dǎo)7.反證：設(shè)存在有，不妨設(shè)，由連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性，知道存在一個(gè)鄰域當(dāng)時(shí)，則存在一個(gè)圓周與已知矛盾。8.當(dāng)時(shí)，時(shí)，綜上，若對(duì)任意的有，

5、則在時(shí)，不存在，矛盾。設(shè)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，兩邊對(duì)積分即可6. ，由在上有定義，則在上有界，則可以得到在上連續(xù)。，則，則 則單調(diào)遞增有下界，存在右極限，存在，同理存在，由極限的保不等式性可得2003年中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究院數(shù)學(xué)分析試題答案1. （1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（2）當(dāng)時(shí)，=（3）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，2. 當(dāng)時(shí)， ，從而連續(xù)；當(dāng)時(shí)，存在；當(dāng)時(shí)， ,3.即證：，當(dāng)時(shí)，設(shè)，所以，當(dāng)時(shí)，設(shè)，所以，4. 5.假設(shè)存在常數(shù)M，積分矛盾6.作代換=7.橢球面的切向量為，切點(diǎn)為和8. 當(dāng)時(shí)，相加：令，所以9由含參量積分的性質(zhì)，科院2006年數(shù)學(xué)分析試題參考解答1求a,b使下列函數(shù)在x=0處可導(dǎo):解：由

6、于函數(shù)在x=0處可導(dǎo)，從而連續(xù)，由得到b=1;又由得到a=0.即得。2 證明: 用反證法。 由知，均為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。假設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則，于是有，從而由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知級(jí)數(shù)收斂，矛盾，從而得證。3 解：從而即得解。（利用余元公式、換元、函數(shù)更為簡(jiǎn)單）4 證明：知,從而令有從而得證。 5證明: 6 證明: 我們先來(lái)證明一個(gè)不等式，一般的稱為Cauchy-Schwarz不等式，即定理1 7 證明：8 設(shè)曲線的周長(zhǎng)和所圍成的面積分別為L(zhǎng)和S，還令，則.證明：由對(duì)稱性知9 解： 為證明=I，我們先來(lái)證明一個(gè)定理：定理2 設(shè)在|x|<R內(nèi)收斂，若也收斂，則 回到題目，看數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，設(shè)=，|x|&l

7、t;1,由定理2即知 =I.10 解: 這是星形線，充分考慮到對(duì)稱性(x=0,y=0,x=y,x=-y)，有北京大學(xué)20051設(shè)，試求和.解: 當(dāng)然此上極限可以令.此下極限當(dāng)然可以令1. (1)設(shè)在開(kāi)區(qū)間可微，且在有界。證明在一致連續(xù).證明:由存在.這顯然就是(2) 設(shè)在開(kāi)區(qū)間可微且一致連續(xù)，試問(wèn)在是否一定有界。（若肯定回答，請(qǐng)證明；若否定回答，舉例說(shuō)明）證明:否定回答.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一致連續(xù).所以顯然此而3設(shè). (1)求的麥克勞林展開(kāi)式。(2)求。解: 這道題目要是直接展開(kāi)是很麻煩的.先對(duì)原式做一下變形.有 . 又由于 比較系數(shù)有：，接下來(lái)，若 中 ，此時(shí)令 有。 同理可得：， 。綜合得：

8、 4試作出定義在中的一個(gè)函數(shù)，使得它在原點(diǎn)處同時(shí)滿足以下三個(gè)條件： （1）的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在；（2）任何方向極限都存在；（3）原點(diǎn)不連續(xù) 解： 。顯然這個(gè)函數(shù)在 的時(shí)候，有偏導(dǎo)數(shù)存在 ，而對(duì)于的時(shí)候，有 ，此式在原點(diǎn)也成立。 對(duì)于任意方向極限，有。顯然沿任意方向趨于原點(diǎn)。 此函數(shù)的方向極限都存在。最后，因?yàn)檠夭煌较蜈呄蛟c(diǎn)。不妨設(shè)有不同的極限 。且其都不為0。所以該函數(shù)在原點(diǎn)不連續(xù)。5計(jì)算.其中是球面與平面的交線。 解：首先，曲線是球面與平面的交線。因?yàn)槠矫孢^(guò)原點(diǎn)，球面中心為原點(diǎn)。 所以它們的交線是該球面上的極大圓。再由坐標(biāo)的對(duì)稱性。易知有 。 因此有 =。6設(shè)函數(shù)列滿足下列條件：（1），在

9、連續(xù)且有（） （2）點(diǎn)點(diǎn)收斂于上的連續(xù)函數(shù)證明：在上一致收斂于 證法1：首先，因?yàn)閷?duì)任意。且有，所以，對(duì)于任意，有。 又因?yàn)樵邳c(diǎn)連續(xù)。所以可以找到，當(dāng) 時(shí)。有，以及 同時(shí)成立。因此，當(dāng)， 時(shí)，有 。 如此，令，所以有開(kāi)區(qū)間族 覆蓋了區(qū)間。 而在閉區(qū)間上連續(xù)。由Heine-Borel 定理，從開(kāi)區(qū)間族中可以選出有限個(gè)， 使 。由的選法?？捎上鄳?yīng)與，當(dāng)，且時(shí)，有。 取，當(dāng)時(shí)，且，有 成立。所以在上一致收斂于。 證畢。 證法2：反證法.設(shè)存在某，對(duì)于任意，有一，使得又有界，由Bolzano-Weierstrass定理，所以其必存在收斂子列收斂于中某值因?yàn)閷?duì)任意。且有，所以，當(dāng)時(shí)，有設(shè)某，由與連續(xù)性存

10、在一，當(dāng)時(shí)有同時(shí)成立顯然，又因?yàn)樗源嬖谥担?當(dāng)時(shí)， 成立最后，當(dāng)時(shí)，有這與假設(shè)矛盾所以在上，是一致收斂于證畢大連理工大學(xué)2005試題數(shù)學(xué)分析試題解答一、 計(jì)算題1、 求極限：解：2、求極限：解：3、證明區(qū)間（0，1）和（0，+）具有相同的勢(shì)。證明：構(gòu)造一一對(duì)應(yīng)y=arctanx。4、計(jì)算積分，其中D是x=0,y=1,y=x圍成的區(qū)域解：5、計(jì)算第二類曲線積分：，方向?yàn)槟鏁r(shí)針。解：6、設(shè)a>0,b>0,證明：。證明：二、 設(shè)f(x)為a,b上的有界可測(cè)函數(shù)，且證明：f(x)在a,b上幾乎處處為0。證明：反證法，假設(shè)A=x|f(x)0，那么mA>0。三、 設(shè)函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間

11、（0，+）內(nèi)連續(xù)且有界，是討論f(x)在（0，+）內(nèi)的一致連續(xù)性。討論：非一致連續(xù)，構(gòu)造函數(shù)：四、 設(shè)，討論函數(shù)的連續(xù)性和可微性。解：1）連續(xù)性：連續(xù)2）可微性：可微五、 設(shè)f(x)在（a,b）內(nèi)二次可微，求證：證明：六、 f(x)在R上二次可導(dǎo)，證明：f(x)在R上恰有兩個(gè)零點(diǎn)。證明：七、 設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在a,b內(nèi)可積，證明:對(duì)a,b內(nèi)任意分割證明：八、 求級(jí)數(shù)：解：九、 討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在(0,1)和(1,+)的一致收斂性討論：1） 0<x<12） x>1十、 計(jì)算為圓錐曲面被平面z=0,z=2所截部分的外側(cè)。解：十一、設(shè)f(x)在0,1上單調(diào)增加,f(0)>

12、;=0,f(1)<=1,證明：證明：十二、設(shè)f(x)在0,+上連續(xù)，絕對(duì)收斂，證明：證明：十三、設(shè)，證明：當(dāng)下極限時(shí)，級(jí)數(shù)收斂當(dāng)上極限時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散證明：（1）（2）蘇州大學(xué)2004年數(shù)學(xué)分析解答1.(20)2.(20')05蘇州大學(xué)8.(18分)設(shè)在上二次連續(xù)可微(其中),且在處的梯度,Hesse矩陣Q=為正定矩陣.證明：在處取到極小值；若是Q的最大特征值，是Q對(duì)應(yīng)于的特征向量，則從處沿著方向增長(zhǎng)浙江師范大學(xué)2005年研究生一（每小題8分，共48分）計(jì)算題1、 求極限 .解 原式 3分 5分 8分2、 求級(jí)數(shù) 的和.解 作，則 2分作，則 因此 5分于是 ，原式 8分3、 求級(jí)數(shù)

13、 的和. 解 因，故 2分為了求，作， 4分則 5分 6分因此，原式 8分4、求的值.解 原式 4分 8分5、 求極限 解 因的周期為， 2分故當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，存在正整數(shù)和整數(shù)使得，這時(shí)當(dāng)時(shí)， 4分而當(dāng)為無(wú)理數(shù)時(shí)， 6分因此，原式 8分6、求極限 解 原式 4分 8分二（14分）已知實(shí)數(shù)列收斂于，且，用定義證明也收斂于. 證記，則，使得, 3分因，故，使得， 8分令，則當(dāng)時(shí)，有 14分三（20分）設(shè)和為二次可微函數(shù)，證明證， 5分 ， 15分因此，左右 20分四（20分）設(shè)在上連續(xù)，證明若，且，則， 證 記 (1) 令，則因此，左右 10分（2）（用反證法）若不然，則使得，由極限的保號(hào)性，存在開(kāi)

14、區(qū)間使得，且當(dāng)時(shí)，有， 16分這與矛盾. 20分 五（16分）若不定積分為有理式，則應(yīng)滿足什么條件？解 因，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，不定積分為有理式. 16分六（16分）若在上可微，求證內(nèi)存在一個(gè)數(shù)列，使得單調(diào)，且.證法1 因在上可微，故，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，從而由拉格朗日中值定理知， 使，即 9分因，故由海涅歸結(jié)原則知，從而. 16分證法2 由知，使得當(dāng)時(shí)， 2分，使當(dāng)時(shí)，使當(dāng)時(shí)，使得當(dāng)時(shí)， 6分用數(shù)學(xué)歸納法，得到一個(gè)數(shù)列，在閉區(qū)間上應(yīng)用拉格朗日中值定理，使得 10分由知，數(shù)列單調(diào)增，由數(shù)列滿足和知 13分由知 16分七（16分）設(shè)，證明在上一致收斂.證法1 ，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由對(duì)稱性知 當(dāng)時(shí)， 6分因，

15、故對(duì)上述的，正整數(shù)使得當(dāng)時(shí)， 14分綜上，當(dāng)時(shí)，對(duì)中的一切成立，這表明在上一致收斂. 16分證法2當(dāng)時(shí) 3分由Dini定理，要證在上一致收斂.只需證明在上下面分，這四種情形來(lái)證明即知極限函數(shù)一定連續(xù). 7分而當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 當(dāng)或時(shí)，而當(dāng)時(shí)， 10分于是，有，即關(guān)于n單調(diào)， 16分武漢大學(xué)2003年一、 判斷下列命題是否正確（共5小題，每小題6分，共30分）：1）單調(diào)序列中有一子列收斂，則序列收斂。正確。不妨設(shè)收斂于a，利用單調(diào)性那么不難證明也收斂于a2）子列的子序列和收斂，則序列也收斂不正確。只要和收斂于不同的極限，A、B那么不收斂3）序列收斂，則序列收斂，其逆命題也成立不正確。序列收斂=序列收

16、斂，但反之命題不成立如4）收斂，則.不正確?？梢哉业饺R布尼茲級(jí)數(shù)5）函數(shù)序列，滿足對(duì)任意的自然數(shù)p和任意，有以下性質(zhì)：，則一致收斂。不正確。不妨設(shè)，。顯然并非一致收斂。二、 計(jì)算題（每小題8分，共32分）1）設(shè)（應(yīng)用LHospital法則）2）求極限：（應(yīng)用Taylor展開(kāi)）3）4）計(jì)算曲面積分，S為球面的外側(cè)三、 判斷級(jí)數(shù)與反常積分的斂散性（共4小題，每小題9分，共36分）1）2） 3） 4） 四、 設(shè)a>0,求曲線上的點(diǎn)到xy-平面的最大最小距離解1：解2：（初等數(shù)學(xué)的不等式方法）當(dāng)z取到最值，即xy取到最值五、 設(shè)0<c<1, 。證明收斂，并求其極限分析：只須滿足即可。

17、證明：六、 設(shè)f(t)在R上連續(xù)，證明：證明：（考慮在（0，1）趨近于0）七、 證明含參量非正常積分：，對(duì)任意一致收斂，而在上不是一致收斂的證明：1）2）武漢大學(xué)2004年攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題科目名稱：數(shù)學(xué)分析科目代碼：369一、 計(jì)算下列各題：1 2. 3. 4. 5.6. 二、 設(shè)，證明：存在，并求出極限證明：三、證明：（另外，還可以用上下確界的方法做）四、 討論在（0，0）點(diǎn)的連續(xù)性和可微性解：（1）連續(xù)性：（2）可微性五、 計(jì)算曲線積分，L的方向是：從x軸的正方向看過(guò)去為逆時(shí)針?lè)较?。解：六?計(jì)算曲面積分（h,R>0）及三個(gè)坐標(biāo)面所圍的第一卦限部分的外側(cè)。解：另外可以用

18、Stokes公式做七、 證明：解：八、 證明積分解：另外可以用積分判別法的Dirichlet定理做武 漢 大 學(xué)2005 年一、 設(shè)滿足: , ，證明收斂。證明：（分析：壓縮映像原理）二、 對(duì)任意 > 0。證明級(jí)數(shù)在(1,1+)上不一致收斂。證明：（利用反證法，Cauchy收斂準(zhǔn)則和定義證明。）三、 設(shè)解，（本題利用萊布尼茲求導(dǎo)法則：）四、 判斷級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性和相對(duì)收斂性解：（1）絕對(duì)收斂性：（主要使用放縮法）（2）相對(duì)收斂性：（A-D判別法）五、 計(jì)算，其中為曲線，從z軸的正方向看過(guò)去，是逆時(shí)針?lè)较蚪猓海ɡ闷媾夹宰觯┝?設(shè)，且為連續(xù)函數(shù)，求證：證明：（畫(huà)出函數(shù)圖像，分兩段討論：）

19、七、 證明含參變量反常積分上一致收斂，其中>0，但是在(0, )內(nèi)不一定一致收斂。證明：八、 在底面半徑為a，高為h的正圓錐內(nèi)作長(zhǎng)方體，其一面與圓錐地面重合，對(duì)面四個(gè)頂點(diǎn)在錐面上，求長(zhǎng)方體的最大體積。解：九、 設(shè)，,在（0，a）內(nèi)可導(dǎo)，以及在(0,a)內(nèi)取到最值，且滿足f(0)=0,f(a)=a。證明：1）； 2）證明：1）命題有問(wèn)題，取a=1/2,f(x)=5x-8x2f(0)=0,f(1/2)=1/2f(x)在5/16取到最值，但是f(x)-ax只在x=0,x=9/16等于0，與命題1矛盾。2004年上海交通大學(xué) 數(shù)學(xué)分析一（14）設(shè)，證明 證 因 ，故利用Stolz公式，得二（14

20、）證明在上不一致連續(xù).證 因， ，故在上不一致連續(xù).三（14）設(shè)在上連續(xù)，且，證明，使證 作（），則在上連續(xù)，因，故，情形1 若，則取，則，情形2 若，則因，故由介值定理知，存在，使得，即.四（14）證明不等式， 證 作，則因，故在上嚴(yán)格單調(diào)減少，而，因此，在上，有，即.五 (14) 設(shè)收斂,且在上一致連續(xù)，證明= 0.證 因在上一致連續(xù)，故，使得當(dāng)且時(shí)，有，令，則由積分第一中值定理得，使得.因收斂，故級(jí)數(shù)收斂，從而，即，也即，故對(duì)上述的，存在，使得當(dāng)時(shí)，.取，則當(dāng)時(shí)，因故存在惟一的，使得，易見(jiàn)，且，從而六（14）設(shè)，證明級(jí)數(shù)收斂.解. ，因，故只要證收斂即可.七（14）設(shè)在上連續(xù)，= 0 , ， 證明在上一致收斂.八（12）設(shè)在上連續(xù)，證明.證 （1）（令，則， （2）因在上連續(xù)，故，使得，（3），記，不妨設(shè)，則，（4） （5）因在上連續(xù)，故在上一致連續(xù)，故對(duì)上述的正數(shù)，當(dāng)且時(shí)，有（6）因，記，則存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有，（7）當(dāng)時(shí)，有，從而當(dāng)時(shí)，有（8）由（3）和（7）知，當(dāng)時(shí)，有九（12）設(shè)>0，證明1 證 （1）要證1 ，只要證，即只要證，即證（2）因，故， 因此只要證，即只要證（3）由知，單調(diào)增加，假如有上界，則必有極限，由知，因此，矛盾.這表明單調(diào)增加、沒(méi)有上界，因此. （證完）十（2