伴隨矩陣的若干性質(zhì)及應(yīng)用

1、伴隨矩陣的若干性質(zhì)及應(yīng)用摘要矩陣是學(xué)習(xí)高等代數(shù)中的一個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn)，而在矩陣的運(yùn)算和應(yīng)用中伴隨矩陣起著十分重要的作用.本篇文章運(yùn)用矩陣計(jì)算中的一些技巧和方法，證明了一般 n 階方陣和某些特殊矩陣的伴隨矩陣的一些性質(zhì).這些性質(zhì)的探討是基于矩陣的伴隨矩陣與原矩陣之間的關(guān)系，利用研究矩陣的方法來(lái)著手.通過(guò)這些性質(zhì)，對(duì)矩陣、伴隨矩陣有了更深一步地認(rèn)識(shí).而且，在以后的學(xué)習(xí)中遇到關(guān)于伴隨矩陣的問(wèn)題我們可以直接應(yīng)用這些性質(zhì)，使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單.關(guān)鍵詞矩陣伴隨矩陣特征值引言因?yàn)榘殡S矩陣是學(xué)習(xí)矩陣的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，在計(jì)算中經(jīng)常出現(xiàn)，把矩陣的伴隨矩陣看作一般的一個(gè)矩陣來(lái)研究.給出了伴隨矩陣的秩、伴隨矩陣的轉(zhuǎn)置、伴

2、隨矩陣的特征值、幾個(gè)特殊矩陣的伴隨矩陣的性質(zhì)，以及伴隨矩陣的其他性質(zhì).這些性質(zhì)能幫我們方便解決在計(jì)算矩陣時(shí)遇到的問(wèn)題.本文出現(xiàn)的矩陣A和B均為 n 階方陣.1.一般 n 階方陣其伴隨矩陣的一些性質(zhì)及應(yīng)用1.1AA=AA=AE,在求解A與A的乘積，A和A的有關(guān)的問(wèn)題時(shí)可以從這個(gè)性質(zhì)著手.常用的關(guān)系式如下:iA(1)當(dāng)A為可逆矩陣時(shí)，A也為可逆矩陣，由 AA=人人=|人可得(人丁=L；(2)當(dāng) A 為可逆矩陣時(shí)，由 AA*=A*A=|AE 可得 A*=AA，;142、一.-*、_._*-1例 1、已知A為一二階矩陣，且A=013，求(A).A的逆矩陣.解因?yàn)?A*A=AA*=AE,且A為可逆矩陣,

3、可得而A，A*41=8,A=(A，)AA,-1-3【55-1-1-15一3,所以（A*T=-1-355-1-1-15一3-15.*i“*本題用性質(zhì)6可直接得(AA=()=-3-15-11.3(kA*=knJ1A*(k 為常數(shù))證明因?yàn)樘崛」蜃觡,從而矩陣kA中每一元素 kaj的n-1階代數(shù)余子式就是 kn/Aj.所以故證之.321、*例 5、設(shè)A為一個(gè) 3 階矩陣，且已知A=1-12，求心 A.14）1n,當(dāng)秩（A尸n時(shí)；秩A*=1,當(dāng)秩A=n-1時(shí);、0,當(dāng)秩（A）n-M;kanka12*kanA11A21kA=ka21ka22ka2n_*A12A22-.A=,1kan2kann,1A1n

4、A2n%、An2Ann,所以kA的n-1階子式中每一個(gè)元素都是A中的相對(duì)應(yīng)元素的k倍，從每行中,nJ.kA11.n八kA21-1n、kAn1A11A21An1*knA12knA22-.nJkAn2.n_1A12A22-An2n(kA)=.=k.呼.-=kKA1nkF2nknAkAnnJlA1nA2n,.Ann；*AA21A31jz-135”A22A3215-5-5,A23A33)31-5；21-1JAn解因?yàn)锳=A12613-15,可見(jiàn)簡(jiǎn)單之處.一3所以1.4 伴隨矩陣的秩的性質(zhì)-135161555-51616，-.*AA=A 所以A#0故秩(An=n.（2）當(dāng)秩（A）=n1 時(shí)，A=0,由

5、AA=|AE 彳 4AA=0從而可知 A*的每一列都是方程組 AX=0 的解向量，故由此可得（A*）Wn-秩（A）=1,又因?yàn)榫仃?A 至少有一個(gè) n1 階子式不為零，故 A 至少有一個(gè)元素不為零，所以此時(shí)秩（A）=1.（3 當(dāng)秩（A）cn-1 時(shí)，矩陣 A 的所有 n-1 階子式全為零，故 A=0,所以秩 A*=0.性質(zhì) 4 在解關(guān)于矩陣的題目中用的很廣泛，以下的性質(zhì) 5、6、9、16 的證明過(guò)程中都有用到性質(zhì) 4,從而使證明簡(jiǎn)單、明了.例 6、設(shè) n（n2）階萬(wàn)陣 A,若秩（A）=n-2 時(shí)，則秩（A）=.解因?yàn)橹龋ˋ）=n-2,由以上性質(zhì)可得秩（A*）=0,故選 D.解因?yàn)橹龋ˋ）=3,

6、而 A 為 4 階矩陣,，一一、卡*、.,人*1所以秩(A)=12 時(shí)，秩（A*=0，所以（A*=0，所以此時(shí)有（A*）=AnA._*例 9、已知A為 n 階可逆矩陣，且 A=3,化簡(jiǎn)（A，-A）.*一一一,1*一一一解因?yàn)?AA=AA=AE,所以 A=LA,所以IA-A”*-A）A1P）（g）CA*M4）_*5AB=BA證明（1）當(dāng) AB=0 時(shí)，此時(shí)有 A#0,B#0;從而有 A*=|AA，B*=BB，可得（AB*=AB（ABf=ABB*A，=BB，AA，=B*A*（2 肖 AB=0 時(shí)，此時(shí)考察矩陣 AR“）=A-九 E,B）=B-九 E,因?yàn)榫仃嘇和B的特征值最多只有有限個(gè)，因此存在有

7、無(wú)窮多個(gè)九，使得1.6解 4A*B，=4nA*(A*=ABn?A(n2)“I4nJ14n二-2-2A1.7*tt*tt*由 1 悶結(jié)論可得，(A鳳九)*=BQuAQu),令(AJB(九=(hij損城 B(九 A3)=(kij5)晨則由上式得H0 伍)=%(九)，(i,j=1,2,n)因?yàn)橹袩o(wú)窮多個(gè)，.使式成立，從而也就有無(wú)窮多個(gè)工使 0 式成立，但是由于hj5)kij(K旃B是多項(xiàng)式，因此 O 式對(duì)一切，都成立；特別，當(dāng)令人=0 時(shí)有*.*.*AB=A0B0=B0A0=BA例 10、已知A和B為三階可逆矩陣，且13I111-410一一，一、t一，1*.-1解經(jīng)計(jì)算可得(B)=01-3001證

8、明由于 AA=AA=AE所以(A*TAT(AT*=(A*T|AT|E=AT|(A*T=|A(A*又(A*TAT(AT$=(AA*AT)=(|A|EF(AT)=|A(AT*TA(A*T=|A(AT)(1)當(dāng) A 可逆時(shí)，則IA#0,T1.8(AT=AT*因此有A*.*.*.所以AB)；=!BA913-2一412所以(2)當(dāng)A不可逆時(shí)，則A=0,此時(shí)用矩陣A-KE代替矩陣A,得=|A-九E|A九EF)因?yàn)榫仃?A 的特征值最多只有有限個(gè)，因此存在無(wú)窮多個(gè)人使得-一，,一九*TT:A九目第 0,從而有（A-AE）=（A-AE）一*T*令（A九 E）=（九（九）篇，A征）=（%（九）晨，所以有 hj=

9、kji,j=1,2,.,n由此可得存在無(wú)窮多個(gè)工使得上式成立，而 hj（九）kj伍）都是多項(xiàng)式，因此上式對(duì)一切 K 都成立，取九=0 代入式時(shí)，有.T_*（AT=（AT）.1.9 伴隨矩陣的特征值5設(shè)矩陣 A 有 n 個(gè)特征值兒，卜2,.,九n；（1&A 為滿秩矩陣時(shí)，伴隨矩陣的特征值為-iJA,2JIA,.,nJIA（2）當(dāng) A 為降秩矩陣時(shí)，那么伴隨矩陣 A 的 n 個(gè)特征值至少有 n-1 個(gè)為 0,而且另一個(gè)不等于零的特征值若存在，則等于 A11A22.Ann.5證明（1）因?yàn)?A 為滿秩矩陣，所以 A 為可逆矩陣也即|A=0A）=|AA，此時(shí)矩陣 A 的特征值均不為零，且 A的

10、 n 個(gè)特征值為九，九2,.，九n,再由A=|AA 可得，伴隨矩陣有 n 個(gè)特征值為K|A|,A,./n,|A；（2）當(dāng)秩（AAn-2 時(shí)，此時(shí)，秩（A）=0,所以 A=0因此可推得 0,0,。為伴隨矩陣 A*的特征值此時(shí)結(jié)論成立.當(dāng)秩（A）=n-1 時(shí)，此時(shí)，秩（A）=1,那么設(shè) A）的特征值為1,2,.,n由若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形知，存在可逆矩陣 T,使得T,AT=,其中兒，九 n 為A的全部特征值一,0）因?yàn)椋ˋ）=1,不妨設(shè)兀0,而12=.=hn=0,則上式為*九IT,A*T=0.0IJ*從而1=trA=A11A22.Ann.例 11、設(shè)A為 n 階可逆矩陣，A為A的伴隨矩陣，E為 n 階單位矩

11、陣，若A有特征值九，則（A*3+E 必有特征值什么？解由性質(zhì)知，A有特征值九，A*必有特征值1A,從而（A*3+E 必有特征值九1.10 如果A是可逆矩陣，且 AB,則 AB證明因?yàn)锳B,則存在可逆矩陣T,使得TAT=B把上式兩邊同時(shí)取行列式得T1A|T|=|B,又由于 A 可逆，故|A#0,從而 B#0,即 B 也是可逆的，所以，A*=|AA,B*=BB由 T,AT=B,則 CTATF=TA（T=TA,T=B，因止匕A，B，因?yàn)?AB,則|A=|B把 T“A，T=B兩端同時(shí)乘以 A 得，T“A*T=T，AA“T=|AB=|BB”=B*所以,TA*T=B*,A*B*.例 12、設(shè)A、B為三階相

12、似矩陣，A的特征值為 1,1,3,求B*.解因?yàn)?A 的特征值為 1,1,3,一*，.一、1所以A的特征值為1MA=3,1MA=3,/A=1,3又因?yàn)锳B,所以A*B*,所以 B 的特征值為 3,3,1,所以 B|=9.1.11 如果A是可逆矩陣，且 A 與 B 和合同，則 A*與 B*也合同證明由題中矩陣A與B合同，因此存在可逆矩陣C,使川CTAC=B,等式兩邊分別取行列式，得CT|A|C=B因?yàn)?A 是可逆矩陣，所以，A#0,從而|B=0,而 CA=B_111又因?yàn)?CTAC)=CA(CT)=B,令 T=(CT)T則T=C=)=(C)=C,從而TTA/T=B,故 A與 B是合同的，從而CA

13、TTAT=，BB即(CTTAACT=BB所以(CTTA*4CT)=B*,所以 A 與 B 也合同.某些特殊矩陣的伴隨矩陣的性質(zhì)4若A是可逆的對(duì)稱矩陣，則它的伴隨矩陣A也是可逆的對(duì)稱矩陣a.已知數(shù)量矩陣 kE(k#0),它的伴隨矩陣也是數(shù)量矩陣；b.若對(duì)角矩陣A是可逆的，則它的伴隨矩陣A*也是對(duì)角矩陣.2.2 若A是上(下)三角矩陣，且A是可逆的，則A*也是上(下)三角矩陣112、例 13、設(shè)A=031,故,A=3,所以A是可逆的，1001)2.30)當(dāng) n 階實(shí)矩陣A是半正定時(shí)，則它的伴隨矩陣A*也是半正定的證明由于A是半正定的，因此存在實(shí)矩陣C,使A_CTC_*._*.T_.T從而 A=(C

14、C)=C(CT)=C(C)=PTP 其中 P=(C)即有實(shí)矩陣P,使得A*=PTP所以A也半正定的.(2)當(dāng)n階實(shí)矩陣A是正定矩陣時(shí)，則它的伴隨矩陣A也是正定矩陣證明由于矩陣A是正定的，從而可知存在可逆矩陣T,使TTAT=.E所以 TTAT=TATT=TAT=E=E即有 T*A*(T*T=E所以A*也是正定矩陣.2.4 當(dāng)n階矩陣A為正交矩陣時(shí)，則其伴隨矩陣A*也為正交矩陣7證明由于 A 為正交矩陣，從而可知ATA=E,A=1,而 AA=AE,所以 A=AA=A而(A*TA*=(iA，T(A，)=E故A*也是正交矩陣.工例 14、設(shè)正交矩陣 A=，1A11A21A313-1-5A12A22A3

15、2二01-163A23A3303,所以A是可逆的，且為上三角矩陣.121五1而1寺2)*A從而可算的 A*(A*T=E,即A*也為正交矩陣.2.5 若 A 為幕等矩陣，也就是說(shuō)滿足 A2=A,當(dāng)秩（A）=n 或秩（A）n1 時(shí)，對(duì)應(yīng)可得矩陣 A*也是幕等矩陣4證明 0）當(dāng)秩（A）=n 時(shí)，由于 A2=A,左式兩邊同時(shí)取行列式，得|A2=A,所以|A=1,由 A2=A,又可得 A2=A,；而 AA*=俳，A*=|A|A，從而（A*2=（|AA。2=（A，f=A=A，=AA，=A*,即（A*2=A*所以，此時(shí) A 也是幕等矩陣.（2）當(dāng)秩（A）n-1 時(shí)，可得秩（A*）=0,所以*_A=0,當(dāng)然有

16、（A*2=A*,所以，此時(shí)A*也是幕等矩陣.小結(jié)本文運(yùn)用矩陣計(jì)算的有關(guān)方法和技巧，以及應(yīng)用已經(jīng)證明了的關(guān)于伴隨矩陣的性質(zhì)，進(jìn)一步證明了矩陣的伴隨矩陣的其它相關(guān)性質(zhì).這樣較廣泛深入的理解了伴隨矩陣， 從而能更好的把伴隨矩陣的性質(zhì)運(yùn)用到矩陣的學(xué)習(xí)中，不斷升華知識(shí).與伴隨矩陣有關(guān)的性質(zhì)還有很多，本文只是對(duì)其一部分性質(zhì)進(jìn)行說(shuō)明，需要不斷努力去挖掘找到它其它很有價(jià)值的性質(zhì).也可以把伴隨矩陣放到高等代數(shù)的其它章節(jié)中找到它相應(yīng)的性質(zhì)，這需不斷的去研究.參考文獻(xiàn):1北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)M.高等教育出版社，2003:177-2032賈云峰.矩陣與其伴隨矩陣的特征值J.陜西師范大學(xué)繼續(xù)

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18、陣的幾個(gè)討論J.渭南師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2003 年增刊：28-29SomePropertiesandApplicationsoftheAdjointMatrixName：YangTingStudentNumber:200740510647Advisor:GeXintongAbstractMatrixisaveryimportantpointinlearninghigheralgebra,whileinmatrixscalculationsandapplicationadjointmatrixplaysanextremelyimportantrole.Thispaperusingsometechniquesandmethodsinmatrixscalculatipns/edsomepropertiesofgeneralnorderphalanxandsomespecialmatrixadjointmatrix.Thesepropertiesarediscussedbasedontherelationship