高等數(shù)學(xué)-4_2換元法

1、第二節(jié)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 換元積分法 第四四章 二、第二類換元法二、第二類換元法一、第一類換元法一、第一類換元法引例引例. 求求3cossindxx x （難積）（難積）一、第一類換元法一、第一類換元法3sindsinxx 3duu 4334uc 433(sin )4xc3sin(sin ) dxxx 變形變形湊微分湊微分換元：換元：sinux 積出積出還代還代dxxCx111第一類換元法思路圖第一類換元法思路圖：( )dg xx ( )( )dxfxx ( ( )( )xfdx ( )ux ( ( )FxC ( )df uu ( )( )g xf 變形變形難積難積湊微分湊微分

2、換元換元易積易積( )F uC 積出積出還代還代特點(diǎn)：特點(diǎn)：被積函數(shù)被積函數(shù)()x ( )x 通常要求通常要求( )df uu 成為基本積分公式的形式成為基本積分公式的形式.例例1. （1）sin2dxx 1d43xx （2）解解(1) sin2d xx sin2dxx 212令令2x = u1cos2u c sin12du u 1cos22xc 1 d( )43xx 1d43xx (2)3134 1ln| |3uc 131duu 1ln|4 3 |3xc 令令4+3x = u常用湊微分方法常用湊微分方法1：()df axbx ()f axb d()axb 1ad()axb 1ad x （3）

3、12edxx 常用湊微分方法常用湊微分方法1：()df axbx ()f axb d()axb 1ad()a xb 1adx 12 ed( )xx 122exc （4）2d13 )xx （2d( ) 13 )xx （13 1 3 )cx （5）61(1) d2xx 61 (1) d( )2xx 72 1(1)7 2xc 12 2 3 13 12211 211(1d)xaxaa 例例2. 一組公式一組公式（推導(dǎo)過程不記，記住結(jié)論即可）（推導(dǎo)過程不記，記住結(jié)論即可）22d.xax 解解:22dxax 1arctanxCaa 想到公式想到公式2d1uu arctanuC機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回

4、結(jié)束 211()axa （1）求）求d()xa（2）求）求22d(0).xaax 2d1uu 想到想到arcsinuC 解解:2 1()dxaxa 21()xa arcsinxCa22dxax 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 （不記）（不記）d()xa（3）求）求22d.xxa 解解221xa ()()xaxa()()xaxa12a 111()2a xaxa 原式原式 =12adxxa 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 12a 1ln2xaCaxa 12a ln xa ln xa C dxxa d()xaxa d()xaxa 例例3. 求求（1）2sindxxx 2d1xxx （2 2）

5、dx x 2d()x1212a 2d()axb 常用湊微分方法常用湊微分方法2：2()df axb x x 2()f axb 2d()axb 12a解解21cos2xc (1) 原式原式(2)2211d(1)21xx 222111dxx 原式原式21ln(1)2xc 221d2sin xx dx x 2d()x1212a 2d()axb 2()df axb x x 2()f axb 2d()axb 12a233 edxxx （）232= ed1()2xx 24 d32xxx （ ）2211d232xx 2211 d( )232xx 233= e2xc 2231= ed ( )2xx 13 (

6、3) 32 13 21323xc 例例4. 求求325(42) dxxx 解解: 原式原式3531 (42) d( )3xx 361(42)72xC11dd() (n1)nnxxaxban 1()dnnf axb xx ()nf axb d()naxb 1an414 2 35 (42)x 31 d()3xd.(12ln )xxx 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. （1）lndxxx （2）ln x d(ln)x解解21ln2xC1dxx d(ln )x湊微分方法湊微分方法3：1( ln) df axbxx 1( ln)f axba d( ln)axb （1）原式原式 =12ln x

7、 d(ln )x（2） 12ln x d(12ln )x 1ln 12ln2xC原式原式 =121d( ln)axba cos(32ln )dxxx 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例5. 1dxx 1d(ln )d( ln)xaxba 湊微分方法湊微分方法3：1( ln) df axbxx ( ln)1f axab d( ln)axb （3）cos(32ln )x d(ln )x = cos(32ln )x d(32ln )x sin(32ln )2xC 12 例例6.（1）機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 （2）211dd()xxx 2211cotd xxx 211sind xxx

8、 1d()abax 原式原式1 sinx 1cosCx （2） 原式原式21 cotx 211(csc1)dxx 11cotcxx 1 dx 解（解（1）1 dx 1321edxxx 131ed()xx 13exC 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 （3）211(1) d()xdxx 1d()abax 2(2) ()1()d)1(daafbfbxxxxxaba 131ed( )xx 3 例例7. （1）解解 (1)2secx 2tanxc2secdxxx d(1)xxx 1d2 dxxx （2）2d()axba原式原式 = (2)1(1)x 2arctanxc原式原式 =12d x 2 dx

9、2 dx1 2()x3edxxx 3 ex 32 ed( )xx 32e3xC（3）1(1) d2dxxx 2d()axba2d(2) ()()1(d xf axbf axabbxxa 2 dx313 例例8. （1）tan d .x x 解解:sindcosxxx cos x ln cos xC cot dx x tan dx x 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 類似地類似地)cosd(xxxdsind(cos )x cosdsinx xx ln sin xC sinx dsin xcosdxx d(sin )xd(cos )x 常用湊微分方法常用湊微分方法4：sindxx 2secdx

10、x d(tan )xcosdaxx 1d(sin)axasindaxx 1d(cos)axa 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1 d (cos2)2x （2）3sin 2d.xx 解解:機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 原式原式=2sin22dsinx xx 2(1c os 2 )x 311(cos2cos 2 )23xxC 規(guī)律：規(guī)律：正弦或余弦奇數(shù)次方的積分，拆成正弦或余弦奇數(shù)次方的積分，拆成偶數(shù)次方與一次方的乘積。偶數(shù)次方與一次方的乘積。（3）45sincosdxxx 解解: 原式原式=579121sinsinsin579xxxC機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 468(sin2

11、sinsin)xxxd(sin )x44condossic sxxxx 422(1sn)siinxx d(sin )x （2）4secd .x x 解解(1): 原式原式 2(tan1)x 31tan3xtanx C 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例9. （1）3tandx x 22secsecdx xx 22(tan1) secdxxx xxdsec2)tan(dxd(tan )x（2）(2) 原式原式 2asecdt nxxx 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例9. 3tandx x 2tantandxxx 2(sec1)tandxx x xxdsec2)tan(dxcoss

12、indxxx ttan d anxx c sdcosoxx 21tan2xln|cos|x C 例例10*. 求求sec d.x x 解法解法1 sec dx x 2cosdcosxxx 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 211sind(sin )xx 21d(sin )sin1xx 1sin1ln2sin1xCx xxdcos)(sindxCaxaxaln2122dxxaln sectanxxC 即即sec dx x ln sectanxxC sectanxx 解法解法 2 sec dx x secdxx sectanxx (sectan )xx 2secsectandsectanxxxx

13、xx d(tansec )xx ln sectanxxC類似類似:csc dx x ln csccotxxC機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxdsec2)tan(dxsecsec tan dd()xxxx常用湊微分方法常用湊微分方法5：e dxx d(e )xe daxx 1d(e)a xa機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例11. (1)d2eexxx (2)d.1exx 解解(1)d2eexxx 22(e )edxxx 1earctan22x C 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxde)e (dx221( 2)(ede)xx 22d1arctanxxCaxaa 例例2例例1

14、1. (2)d.1exx (2)d1exx d1exx dx ed1exxx x 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxde)e (dxe(1) d1exxx (1e )x ex e ddexxx d(e1)xln(1e )xC 常用湊微分方法常用湊微分方法6：21d1xx d(arctan )x21d1xx d(arcsin )x2arctand1xxxx 例例12. (1)22d(arcsin)1xxx (2)2(arcsin)x 1arcsincx 2d1xxx 2arctand1xxx 22d(1)121xx d arctaannarctxx 21ln |1|2x 21arctan2

15、xc 21d1xx d(arctan )x21d1xx d(arcsin )xdarcsin x例例13. (1)2cos 2dxx 解解: 原式原式 =1cos4d2xx 降次公式降次公式221 cos2sin21cos2cos2c1d1s4d2oxxx 1(2 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 x 1sin44x)C 2sin 3dxx 想一想：想一想：如何求？如何求？規(guī)律：規(guī)律： 正弦或余弦偶數(shù)次方的積分，用降次公式。正弦或余弦偶數(shù)次方的積分，用降次公式。21(12cos2cos 2 )4xx (2)4sind .x x 解解:422sin(sin)xx 21cos2()2x 11co

16、s4(12cos2)42xx 1 31(2cos2cos4 )4 22xx 4sindxx 131(2cos2cos4 )d422xxx 38x 1sin24x 1sin432x C 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例14. (1)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 cotdlnsinxxx sin2cosd2sincosxxxxx 22tan1d1xxxx (2)(3)一般湊微分方法：一般湊微分方法：( ) dfxx d( ( )f x解解(1) 原式原式=sinlnsinxx dlns ncossinixxxx lnsinx ln|lnsin|xcdsin xdlnsinx例例14.

17、 sin2cosd2sincosxxxxx 22tan1d1xxxx (2)(3)(2)原式原式= d2sincosxxx d()2sinco2sinscosxxxx ln|2sincos|xxc 2sincos xx 例例14. 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 22tan1d1xxxx (3)(3)原式原式=22(1)1xxx 22ta1d)1(nxxx 2tan1x 例例8. d(cos )cosxx tan dx x ln cos xc 2ln|cos1 |xc 2d1x ()()()dfxfxfxx 例例15. 求求注：含注：含()()fxfx 、積分時，往往把積分時，往往把( )

18、( )fxfx 、湊入微分。湊入微分。解解原式原式=( )( )dffxxx ( )( )dxxfx f d()ff xx d( )fxfx 21( )2fx 21()2fxc 設(shè)設(shè)( )f x的一個原函數(shù)是的一個原函數(shù)是 求求(ln )dfxxx 例例16. 解解( )( e )xf xx lnux ( )f uc(ln )fxcln(1ln )exxcd n(ln ) lfxx 積分積分(1)exx(1ln )xxc( )dfuu e ,xx設(shè)設(shè)2( )d,f xxxc 2(1)d_xfxx 例例17.則則解解2(1)dx fxx 2(1)fx 221(1)2xc ( )d( ),f xx

19、F xc e(e)d_xxfx 設(shè)設(shè)則則例例18.解解(ee)dxxxf (e)xf ()exFc 21 d(1)2x dex 例例19設(shè)設(shè) 解解:( )F x為為( )f x的原函數(shù)的原函數(shù),0 x 2( )( )sin 2 ,f x F xx 且且(0)1 ,F ( )0,F x 求求( ).f x由由( )( ),Fxf x 得得2( )( )sin 2 ,F x Fxx 兩邊積分得兩邊積分得(d)FxF xx 2sin 2 dx x 機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 練練P30,四四時時, 有有當(dāng)當(dāng)即即2 ( )Fx( )d( )F xF x 1cos4d2x

20、x 1sin44xxC例例19(0)1 ,F ( )0,F x 求求 f (x).( )( ),f xFx (0)1 ,F 2(0)CF 1()sin414F xxx 從而從而( )( )f xF x 機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 21( )sin44FxxxC1, 22sin 24sin44xxx 12sin414xx 1cos4x 習(xí)題，習(xí)題，P1631641.2.思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 求積分求積分d(1)4xx 2(2)d4xxx 32(3)d1xxx d(4)4xx 221d(4)24xx 32d1xxxxx 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 21(

21、)dxxxx 101d(1)xx x 2. 求求10d.(1)xx x 解解:10d(1)xx x 10)x 10(x 作業(yè)作業(yè) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 9101()d1xxxx 101lnln(1)10 xxCsin7 cos3dxxx 解解:3. 求求機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注：注：1cos coscos() cos()2ABA BA B 1sincossin()sin()2ABABAB 1sinsincos()cos()2ABABAB 1(sin10sin4 ) d2xxx 111(cos10cos4 )2104xxC 原式原式 =二、第二類換元法二

22、、第二類換元法(難求難求)易求易求引例引例1dxxx 1xt222d1ttt 2(1arctan1)xxC 212 (1)d1tt 2(arctan )ttC積分積分=22112d1ttt 換元：換元：令令還代還代積出積出( )df xx ( )( )dfttt ( )xt 1( )FxC ( )xt 換元換元難積難積積出積出易積易積( )F tC 還代還代關(guān)鍵：關(guān)鍵：作一適當(dāng)?shù)淖儞Q作一適當(dāng)?shù)淖儞Q第二類換元法思路：第二類換元法思路：機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 變換：變換：(1) 類型一類型一(,)dnfa xbxx na xbt 可不出現(xiàn)可不出現(xiàn)一定出現(xiàn)一定出現(xiàn)1. 基本類型基本類型例

23、例1. 求求d121xx 解解: 令令21,xt 則則21(1) ,2xtddxtt 原式原式1 dttt(1)1d1ttt 1(1)d1tt ln(1)ttC21ln(121)xxC注注:作變量替換時作變量替換時, 被積表達(dá)式中所有被積表達(dá)式中所有 x 都要換為都要換為 t . 例例2. 求求3dxxx 解解: 令令3,xt 則則3,xt 2d3dxtt 原式原式 23t dt23d1ttt 3tt 21d(1)2t 2231d(1)21tt 23ln(1)2tC 233ln(1)2xC(2) 類型二類型二22(,)dfaxxx 令令sinxat 22(,)dfaxxx 令令令令tanxat

24、 secxat 22(,)dfxaxx 一定出現(xiàn)一定出現(xiàn)可不出現(xiàn)可不出現(xiàn)例例3. (1) 求求222d(0) .axxax 解解: 令令sin ,(,),2 2xatt 則則22axcosat dcos dxatt 原式原式2cotdtt cotttC ax22ax tarcsinxa 2(csc1)dtt C 22xa 令令taxsincosta2( sin )atcos datt222sinaat 22axx 可省略可省略!例例3. （2）求）求221d(0) .xaax 解解: 令令sin ,(,),22xatt 則則22axcosat dcos dxatt 原式原式1dt tCax22

25、ax tarcsinxa C 1 22xa 令令taxsincosatcos datt 222sinaat 例例4.（1） 求求22d(0).xaxa 解解: 令令tan ,xat 則則22xasecat 2dsecdxatt 原式原式 2secdattsecatsec dtt 1ln sectanttCax22xa t ln 22xa a xa 1C 22xa 令令taxtansec dx x ln sectanxxCcsc dx x ln csccotxxC1(ln )CCa 22lnxxaC222tanata 例例4.（2） 求求22d1xxx 解解: 令令tan,xt 則則2dsecd

26、xt t 原式原式 2cosdsinttt 1sinCt 1x21x t 22xa 令令taxtan2tan t sect2sec t d tcos ddsinttt 21xx C 例例5. 求求29dxxx 解解:令令3sec ,xt 則則29x 3|tan | t dx 3sec tan dttt 原式原式 d t 29sec tantt3sect23 tandtt 3x29x t23 (sec1)dtt 3()tantct 22xa令令secxat3( 293x 3arccosx )c 3tant 29sec9t 2. 其它類型其它類型例例6. 求求de1xx 解解令令e1,xt 則則2

27、ln(1)xt 原式原式22d(1)ttt t 2arctantC類似類似:d,e1xx 2e dxxx 例例7. 求求222d.xxxa 解解: 法二，令法二，令1,xt 得得原式原式2 2d1tta t 2 222 211d(1)2a taa t 22211a tCa 222xaCa x 注：注：1xt 稱為倒代換。稱為倒代換。當(dāng)分母中因子次數(shù)較高時當(dāng)分母中因子次數(shù)較高時, 可嘗試?？蓢L試。法一法一：令令x=a tant練習(xí)冊練習(xí)冊P27, 三三(8)2axbxc 先配方，再換元先配方，再換元:2bxta2224()24bacbaxbxca xaa 注注：例例8. 2d(1)45xxxx

28、當(dāng)被積函數(shù)含有當(dāng)被積函數(shù)含有223(2)d12xxxx 22d1d21ttttt 例例8. 2d(1)45xxxx 解：解： 原式原式2d(2)1x xx 22(2)d1xtttt 221d xxa 22ln()xxaC湊微分湊微分21t 22ln(1)ttc 22(2)12ln(2(2)1)xxxc例例8. (1)2d45x xxx 另解：原式另解：原式2d(2)1x xx 2 tanxt 22ax 令令tanxat secttan2t 2secdt tsec ta(2)dens ctttt sect2 ln|sectan |tt C ( 將變量變回將變量變回 x ）223(2)d12xxx

29、x 225d2ttt 223d2(1)xxx 機(jī)動機(jī)動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例8. 令令x-1=t22d2ttt 2d512tt 2ln|2|t 52ln|2 22tct 221d xxa 1ln2xaCaxa 2ln|2(1) |x 512ln|2 212xcx例例9. 求求2100d(21)xxx 解解令令21xt 則則1(1)2xt原式原式21001(1)d8ttt 2100121d8tttt 98991001121d8tttt （） 221(14)d xax 221(16)d xax 221(17)d xxa 221(15)d xxa 1arctanxCaa 1ln2xaCaxa arcsinxCa 22ln()xxaC221(18)d xxa 22ln xxaC機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 常用基本積分公式的補(bǔ)充常用基本積分公式的補(bǔ)充 (P162)2d.23xxx 解解: 原式原式21d(1)2xx 2( 2)d(1)x 12 arctan12x C 例例10. 求求221dxaxCaxaarctan1例例11. 求求2d.49xIx 解解:221d(2 )2(2 )3xx 21ln 2492xxC2d(2 )9xIx 221dxxaCaxx)ln(2