立體幾何中的向量方法VIP

1、精品立體幾何中的向量方法適用學(xué)科高中數(shù)學(xué)適用年級高中二年級適用區(qū)域通用課時時長（分鐘）90知識點(diǎn)用空間向量處理平行垂直問題；用空間向量處理夾角問題.教學(xué)目標(biāo)1 .理解直線的方向向量與平向的法向量；2 .能用向量語百表述線線、線向、聞聞的垂直、平行關(guān)系；3 .能用向量方法證明肩關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）.4 .能用向量方法解決線線、線面、向間的夾角的計(jì)算問題，體會向量方法的作用.教學(xué)重點(diǎn)用向量方法解決立體幾何中的肩關(guān)問題教學(xué)難點(diǎn)用向量方法解決線線、線面、向間的夾角的計(jì)算問題感謝下載載教學(xué)過程一、課堂導(dǎo)入空間平行垂直問題1 .兩條直線平行與垂直；2 .直線與平面平行與垂直;3 .

2、兩個平面平行與垂直；空間夾角問題1 .兩直線所成角;2 .直線和平面所成角;3 .二面角的概念；空間距離問題精品、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)感謝下載載（1）空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：設(shè)rra（8田2,%），b（4力2力3）,則rb (ai b,a2 d,a3 b3)1bi,a2b2,a3h(rrrab(abi,a2d,%b3)arrrrabaibia2b203b3a/bra(ai,a2,a3)(R)rrR)abaibia2b2a3b3若a(xi，yi，zi),uuuB%,yzZ),則AB%xi,y2yiZzi)一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo).r（3）模長公式：若

3、a（科昌自），rr則|a|、，aa'a；22a2a3rrcos：,ab(4)夾角公式：-rr-|a|b|.a；a1bla2b2a3b322222a2a3*b2b3（5）兩點(diǎn)間的距離公式：若A（Xi,yi,z）,蛻4%2）,則AB，ABv(xiX2)2(yiy2)2(ziZ2)2.三、知識講解考點(diǎn)1平面法向量的求法r在空間平面法向量的算法中，普遍采用的算法是設(shè)n(x,y,z),它和平面內(nèi)的兩個不共線的向量垂直，數(shù)量積為0,建立兩個關(guān)于x,y,z的方程，再對其中一個變量根據(jù)需要取特殊值，即可得到法向量.還有幾種求平面法向量的辦法也比較簡便.求法一：先來看一個引理：若平面ABC與空間直角坐標(biāo)

4、系x軸、y軸、z軸的交點(diǎn)分別為A(a,0,0)、B(0,b,0)、C(0,0,c),定義三點(diǎn)分別在x軸、y軸、z軸上的坐標(biāo)值xa=a,yB=b,zc=c(a,b,c均不為0),則平面ABC的法向量為r111n(-,-,-)(0).參數(shù)的值可根據(jù)實(shí)際需要選取.abc證明：AB=(a,b,0),AC=(a,0,c),ruuurumrnAB0,nAC0,r111一n(一，一,一)是平面ABC的法向事.abc這種方法非常簡便，但要注意幾個問題：(1)若平面和某個坐標(biāo)軸平行，則可看作是平面和該坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值為，法向量對應(yīng)于該軸的坐標(biāo)為0.比r11如右和x軸平仃(父點(diǎn)坐標(biāo)值為)，和y軸、z軸父點(diǎn)坐標(biāo)值

5、分別為b、c,則平面法向重為n(0,-,-)；右平面和x,ybcr1軸平仃，和z軸父點(diǎn)的坐標(biāo)值為c,則平面法向重為n(0,0,-).c(2)若平面過坐標(biāo)原點(diǎn)O,則可適當(dāng)平移平面.求法二：求出平面方程，得到法向量.我們先求過點(diǎn)Po(Xo,yo,Zo)及以n=A,B,C為法向量的平面的方程.設(shè)P(x,y,z)是平面上的動點(diǎn)，于是有POPn=0,即A(xXo)B(yyo)C(zZo)0整理得AxByCz(AxoBy。Cz°)o令DAxoByoCzo，有AxByCzDo這就是平面的一般方程.平面的方程可用三元一次方程來表示.且x,y,z的系數(shù)組成該平面的法向量.注意：(1)有了平面的方程Ax

6、ByCzDo,就能得到平面的法向量A,B,C,可用平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)求出平面的方程.(2)一些特殊情形的平面，方程會更簡捷:通過原點(diǎn)的平面，D0,方程為AxByCz0;平行于x軸的平面，A0,方程為ByCzD0;通過x軸的平面，A0,D0,方程為ByCz0；既平行于x軸又平行于y軸的平面，也就是一個平行于xoy坐標(biāo)面的平面，方程為CzD0；類似地，可討論其它特殊情形.(3)兩平面：AixBiyCizDi0與xB2yC?zD20平行的充要條件是Ai:A2Bi:B2Ci。Di:D2求法三：用行列式求得法向量.若nxlz,n2x2,y2,z2是平面內(nèi)兩個不共線向量，ijk計(jì)算行列式xiyizi=ai

7、bjck,x2y2z2則平面的法向量為na,b,c.考點(diǎn)2用空間向量求解二面角（一）用法向量解二面角用法向量求解二面角時遇到一個難題：二面角的取值范圍是0,而兩個向量的夾角取值范圍也是0,那用向量法算出的角是二面角的平面角呢還是它的補(bǔ)角？如果是求解異面直線所成的角或直線與平面所成的角，只要取不超過一個那個角即可，但對二面角卻是個難題.筆者經(jīng)過思考，總結(jié)出一個簡單可行的方法，供讀者參考2用法向量解二面角首先要解決的問題就是：兩個法向量所夾的角在什么情況下與二面角大小一致？其次，如何去判斷得到的法向量是否是我們需要的那個方向?uruu對第一個問題，我們用一個垂直于二面角棱的平面去截二面角（如圖一）

8、，兩個平面的法向量,此則應(yīng)分別垂直于uruu該平面角的兩邊.易知，當(dāng),同為逆時針方向或同為順時針方向時，它們所夾的解即為.所以，我們只需要沿著二面角棱的方向觀察，選取旋轉(zhuǎn)方向相同的兩個法向量即可.或者可以通俗地理解，起點(diǎn)在半平面上的法向量，如果指向另一個半平面，則稱為向內(nèi)”的方向；否則稱為向外”的方向.兩個法向量所夾的角與二面角大小相等當(dāng)且僅當(dāng)這兩個法向量方向一個向內(nèi)”，而另一個向外”.對第二個問題，我們需要選取一個參照物.在空間直角坐標(biāo)系中，我們可以選擇其中一個坐標(biāo)軸（如z軸），通過前面的辦法，可以確定法向量的方向，再觀察該法向量與xOy平面的關(guān)系，是自下而上穿過xOy平面呢，還是自上而下、

9、.一一.r.一一.一.一一.一一一.穿過xOy平面？若是第一種情形，則n與OZ所夾的角是銳角，只需取法向量的z坐標(biāo)為正即可；若是第二種情形，r-則n與OZ所夾的角是鈍角，只需取法向量的z坐標(biāo)為負(fù)即可.若法向量與xOy平面平行，則可以選取其它如yOz平面、zOx平面觀察.（二）用半平面內(nèi)的向量解二面角由二面角的平面角定義，由棱上一點(diǎn)分別在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，這樣構(gòu)成的角即為二面角的平面角.如果分別在兩個半平面內(nèi)作兩個向量（如圖），起點(diǎn)在棱上且均垂直于棱，可以看出，這兩個向量所夾的角，與二面角的大小是相等的.這種方法與用法向量解二面角相比，其優(yōu)點(diǎn)是向量的方向已經(jīng)固定，不必考慮向量的不同方向給二

10、面角大小帶來的影響.考點(diǎn)3空間直線與空間平面的向量形式在平面解析幾何中，曲線上的動點(diǎn)可以用坐標(biāo)表示，通過對變量的運(yùn)算達(dá)到求值、證明的目的在立體幾何中借用向量，直線、平面上的點(diǎn)也可以用參數(shù)來表示，通過對參數(shù)的運(yùn)算，同樣可以達(dá)到求值、證明的目的1 空間直線：如果l為經(jīng)過已知點(diǎn)A且方向向量為a的直線，那么點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，滿足uuurr等式APta，或?qū)θ我稽c(diǎn)O（通常取坐標(biāo)原點(diǎn)），有uuuruuurrOPOAta這是空間直線的向量形式2 空間平面：空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對s、t，使uuuruuuruuurMPsMAtMB,或?qū)臻g任一定點(diǎn)O（通常取坐標(biāo)

11、原點(diǎn)），有uuuruuuuruuuruuurOPOMsMAtMB.這是空間平面的向量形式四、例題精析SC的中【例題1】如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD，底面ABCD,E、F分別是AB、(I)求證：EF/平面SAD;(H)設(shè)SD=2CD,求二面角A-EF-D的大小;【解析】(1)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系 D xyz.設(shè) A(a,0Q), S(0Q b),則 B(a, a,0) C(0, a,0),匚 aa b卅1 bE a, ,0 , F 0,一, , EF a,0,.22 22buur取SD的中點(diǎn)G0,0,一,則AG2a,0,b ,2uuuruuuEFAG,EF/A

12、G,AG平面SAD,EF平面SAD,所以EF/平面SAD.1 1(2)不妨設(shè)A(1,0,0),則B(1,1,0)C(0,1,0),S(0,0,2)E1,-,0,F0-1.2 2ur平面AEFG與x軸、z軸的交點(diǎn)分別為A(1,0,0)、G(0,0,1),與y軸無交點(diǎn)，則法向量r(1,0,1),在CD延長線上取點(diǎn)H,使DH=AE,則DH/AE,所以AH/ED,由(1)可知AG/EF,所以平面AHG/平面EFD,平面AHG與x軸、y軸、uuz軸的交點(diǎn)分別為 A(1,0,0)、H(0,- 2 ,0)、G(0,0,1),則法向量n2(1, 2,1),設(shè)二面角A EFD的大小為cosur uuUMUn2,

13、即二面角A EF D的大小為arccos33【例題2】已知四棱錐PABCD的底面為直角梯形，AB/DC,/DAB=90,PA，底面ABCD,且PA=AD=DC=1AB=1,M是PB的中點(diǎn).2(1)求二面角CAMB的大?。?2)求二面角AMCB的大小.【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則對二面角CAMB而言，AD是平面AMB的法向量(向內(nèi))，易知平面ACM一.一一.、一.符合向外萬向的法向量是自下而上穿過xOy平面，所以與AZ所夾的角是銳角.對二面角AMCB而言，平面ACM選取上述法向量，則為向外”的方向，平面BCM就應(yīng)選取向內(nèi)”的方向，此時是自上而下穿過xOy平面，與z軸正向所夾的角是鈍角.(1

14、)如圖，以AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則平面AMB的法向量為;=(1,0,0),設(shè)平面ACM的法向量為uu=(x,y,z).1由已知C(1,1,0),P(0,0,1),B(0,2,0),則M(0,1,2),AC=(1,1,0),AM1=(0,1,2).uu,n2由uun2uurACuuuuAM0,0.y1z20,0.urn2=(1,1.2).(滿足uu,AZ>0).設(shè)二面角CAMB的大小為ururnnur-uunin21J6,所求二面角的大小為arccos6(2)選取(1)中平面ACM的法向量uu% =(1,1,2),設(shè)平面BCM的法向量為uu%=(x,y,z)

15、.BC=(1,1,0),BM=(0,1,2),uruuirn3BC0,urujurn3BM0.xy0,1yz0.2取z=2,則y=1,x=1,uun3=(1,1,urur2),則%,%所夾的角大小即為二面角A-MCB的大小,設(shè)為cos=uruurn3所求二面角的大小為arccos3【例題3】如圖，已知長方體ABCDAiBiCiDi中，AB=BC=1,AAi=2,E是BBi的中點(diǎn).(1)求二面角EACiB的大??；(2)求二面角CiAEB的大小.GB一.一一.一.一.一一.一.一一【解析】在第(1)題中，只需在ACi上找到兩點(diǎn)G、H,使得GB、HE均與ACi垂直，則GB、HE的夾角即uuuuuuu

16、uuuuuruuuuuuuuuu一為所求二面角的大小.如何確定G、H的位置呢？可設(shè)GAACi,GBGAABAGAB,這樣向量GB就用參一.,>一.、,.數(shù)表小出來了，再由GBACi=0求出的值，則向量GB即可確定，同理可定出H點(diǎn).第(2)題萬法類似.以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC為x軸，BA為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B(0,0,0),A(0,1,0),C(1,0,0),Bi(0,0,2),Ci(1,0,2),E(0,0,1).ACi=(1,1,2),AB=(0,-1,0).uuuuuur(1)設(shè)GAACi(,2),則uuruuuuuuGBGAAB(,1,2),由GB-ACi=0+(+1)+4=0

17、,1解得：一，151,663一一11一一_圖K同理可得：HE=(,0),HEACi=0.22>一二.一一一二GB、HE的夾角等于二面角EACiB的平面角.cos < GBuur uuurGB HEutuuuur一,HE > =uur uuuruuur6GB-uuj2HE|GB HE6GB 2HE1 5_15. 30 . 25面角EACi B 的大小為 arccos(2) AE = (0, 1,1),在 AE 上取點(diǎn) M、uuuruurMA AE (0,),uur uuur uur則 MB MA AB (0,1,),，i由MBAE = 0得：+1+=0,解得:一MB(0, 2,

18、同理可求得：-NCi = ( 1, 1, -), "NCi E = 0.22.MB、 NCi的夾角等于二面角 CiAEB的平面角.cos< MB , NCi > =uuLr ujurMB NC1Lur juurMB NC1二面角CiAEB的大小為arccos五、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1.在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,/).若Si,S2,S3分別是三棱錐D-ABC在xOy,yOz,zOx坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則()A . Si = S2 = S3C. S3 = Si 且 S3 冷2B.S2=Si且S243

19、D.S3=S2且S36i【解析】設(shè)頂點(diǎn)D在三個坐標(biāo)平面xOy、yOz、zOx上的正投影分別為Di、D2、D3,則ADi=BDi=/,AB=2,111.Si=->2>2=2,S2=SOCD2=g>2=72,S3=SOAD3=j>2.選D.【答案】D.求過點(diǎn)M1(2,0,1),M2(1,1,0),M3(0,1,1)的平面的法向量【解析】方法一：由給定平面上的三個點(diǎn)的坐標(biāo)，可知平面上的兩個向量MiM21,1,1,M1M32,1,0,設(shè)平面的法向量為nx,y,z,由MiM2n0陽,行M1M3n0xy2x令x1,得平面的一個法向量n1,2,1.方法二：設(shè)過點(diǎn)Mi（2,0,1）,M

20、2（1,1,0）,M3（0,1,1）的平面的方程為AxByCz0,2A代入點(diǎn)的坐標(biāo)，得ABD3g,即3D32DWy0,所以平面白方程為x2y0,所以平面的一個法向量n1,2,1.方法三：由給定平面上的三個點(diǎn)的坐標(biāo)，可知平面上的兩個向量M1M21,1,M1M32,1,0,因?yàn)檫@兩個向量不平行，計(jì)算i2jk.故所求平面的一個法向量n1,2,1.3.已知正方體ACi的棱長為a,E是CCi的中點(diǎn)，O是對角線BDi的中點(diǎn)，(1)求證：OE是異面直線CCi和BDi的公垂線；(2)求異面直線CCi和BDi的距離.【解析】(1)解法一：延長EO交AiA于F,則F為AA的中點(diǎn)，EF/AC,.CC1AC,CQEF

21、,連結(jié)D1E,BE,貝UD1EBE,又O是BD1的中點(diǎn)，OEBD1,QE是異面直線CG和BD1的公垂線.解法二：以D為原點(diǎn)，分別以DA,DC,DDi為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,aaa-a于是有Di(0.0,a),C(0,a,0),Ci(0,a,a),B(a,a,0),Q(a,-，2),E(0,a,-),BD1(a,a,a),CCi(QQa),EO(|,|,0),BDiEO0,CCiEO0,所以O(shè)E是異面直線CC1和BD1的公垂線.(2)由(1)知，OE為異面直線CCi和BDi的距離.2所以。ER|a22a4【鞏固】1.已知正方體ABCDAiBiCiDi的棱長為a,求BC與BD間的距離

22、.【解析】解法一：(轉(zhuǎn)化為BQ到過BD且與RC平行的平面的距離)連結(jié)AQ,則ADBiC,.BiC/平面ADB,連AC1，可證得AC1BD,AC1AD,aAC1平面A1DB,平面ACi平面ADB,且兩平面的交線為AO,過C作CEAO,垂足為E,則CE即為B1c與平面A1DB的距離，也即BC與BD間的距離，在AOC中，1OCA1A-CEAO,/.CEa.故B1c與BD間的距離上3a.2233解法二：以D為原點(diǎn)，分別以DA,DC,DDi所在的直線分別為x軸，y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),Bi(a,a,a),A(a,0,a),D(0,0,0),由

23、(解法一)求點(diǎn)C到平面AiDB的距離CE,設(shè)E(x,y,z),.E在平面ADB上，uuuuuuuuuuur.AEAiDAiB,即(xa,y,za)(a,0,a)(0,a,a),解得:解法三:23直接求uuu.CEuuu.CEuuuuuumAiD,CE/11(a,a,33B1c與BD間的距離.uuurBD,.(x,y2,z)(a,0,a)0(x,y2,z)(a,a,0).CE旦.3B1c與BD的公垂線為OO1,0,且QB1C,OBD,uuir設(shè)O(x,y,z),設(shè)DOuuirBD,則(x,y,z)(a,a,0).yzO(a,a,0)同理O1(a,a,a),uuuu.OO1()a,aa,a),uu

24、uu.OO1uuruuuuBD,OO1uuunB1Cuuuuuuir.OO1BDuuumuuur0,OO1B1C0,解得:uuuuOOi111uuuu(-a,-a,-a),|OO1|333,3a.3AC = CCi =2.如圖所示，三棱柱ABC-AiBiCi中，點(diǎn)Ai在平面ABC內(nèi)的射影D在AC上，/ACB=90°,BC=1,2.(1)證明:ACiXAiB;設(shè)直線AAi與平面BCCiBi的距離為43,求二面角Ai-AB-C的大小.【解析】方法一：(1)證明：因?yàn)锳iD，平面ABC,A1D?平面AA1C1C,故平面AAiCiC，平面ABC.又BCLAC,所以BC，平面AA1C1C.連接

25、A1C,因?yàn)閭?cè)面AA1C1C為菱形，故AC11A1C,由三垂線定理得AC11A1B.(2)BC，平面AA1C1C,BC?平面BCC1B1,故平面AA1C1C，平面BCC1B1.作A1ELCC1,E為垂足，則A1E，平面BCC1B1.又直線AA1/平面BCC1B1,因而A1E為直線AA1與平面BCC1B1的距離，即A1E=、/3.因?yàn)锳1C為ZACC1的平分線，所以A1D=A1E=、/3.作DFAB,F為垂足，連接AF.由三垂線定理得A1FXAB,故/A1FD為二面角A1-AB-C的平面角.由AD='/aa2AD2=1,得D為AC中點(diǎn)，DF=m,tan久FD=)=55,所以cosZA1F

26、D=；5DF14所以二面角Ai-AB-C的大小為arccos4方法二：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線CA為x軸的正半軸，以CB的長為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz.由題設(shè)知AiD與z軸平行，z軸在平面AAiCiC內(nèi).(1)證明：設(shè)Ai(a,0,c).由題設(shè)有a或，A(2,0,0),B(0,1,0),則AB = (2, 1, 0), AC = (2, 0, 0), AAi = (a2,0, c), ACi = AC + AAi = (a 4, 0, c), BAi = (a, 1,c).由|AAi|=2,得j(a2)2+c2=2,即a24a+c2=0.又ACiBAi=a24a+c2=0,所

27、以ACiXAiB.(2)設(shè)平面BCCiBi的法向量m=(x,y,z),則m±CB,m±BBi,即mCB=0,mBBi=0.因?yàn)镃B=(0,i,0),BBi=AAi=(a2,0,c),所以y=0且(a2)x+cz=0.令x=c,則z=2a,所以m=(c,0,2-a),一一|CAm|故點(diǎn)A到平面BCCiBi的距離為|CA|cosm,CA=|m|2cc2+(2-a)2c,又依題設(shè)，A到平面BCCiBi的距離為、/3,所以c=電,代入，解得a=3(舍去)或a=1,于是aAi=(1,0,也)設(shè)平面ABAi的法向量n=(p,q,r),則nAAi,n±>AB,即nAAi=

28、0,nAB=0,-p+/3r=0,且一2p+q=0.令p=也則q=2V3,r=i,所以n=fV3,2V3,i).又p=(0,0,1)為平面ABC的法向量，故npicosn,p>=|n|p|4所以二面角Ai-AB-C的大小為arccos4【拔高】1.如圖，已知ABCD為邊長是4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2,求點(diǎn)B到平面EFG的距離.八一.、一,一.分別以CD、CB、CG為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2),B(0,4,0).EF=(2,2,0),EG=(2,4,2),設(shè)P是平面EFG上的

29、動點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)s,t,使得CP=CE+sEF+tEG=(2,4,0)+s(2,-2,0)+t(-2,-4,2)=(2s-2t+2,4-2s-4t,2t),P(2s-2t+2,4-2s-4t,2t),BP=(2s2t+2,-2s-4t,2t).當(dāng)且僅當(dāng)BP，EF且BP，EG時，BP,平面EFG,BP即為所求的點(diǎn)B到平面EFG的距離.BPEF=0由一一BPEG=02(2s-2t+2)2(-2s-4t)=0-2(2s-21+2)-4(-2s-4t)+4t=01131111>2BP=(一11點(diǎn)B到平面EFG的距離即為|BP211|二11解法二：因?yàn)槠矫鍱FG的豎截距為2,可設(shè)平面EFG的方程為

30、x _y z166 2AxByz1,將E(2,4,0),F(4,2,0)的坐標(biāo)分別代入，得2A4B1八八，解之6，所以平面EFG的方程為4A2B11B-6即xy3z60點(diǎn)B(0,4,0)到平面EFG的距離為04062,112.如圖，正三棱柱ABCAiBiCi的所有棱長都為2,D為CCi中點(diǎn)(I)求證：ABiXWAiBD;(H)求二面角AAiDB的大小；(m)求點(diǎn)C到平面AiBD的距離.BACD【解析】（I）取BC中點(diǎn)O,連結(jié)AO.QzABC為正三角形，AO±BC.Q在正三棱柱ABCA1B1G中，平面ABC，平面BCC1B1,AO平面BCGB.取BG中點(diǎn)Oi,以O(shè)為原點(diǎn)，Ouu, Ou

31、u ,B(1 Q,0),uuuOA的方向?yàn)閤,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則D(1,1,0),A(0,2,囪),A(0Q，B(1,2,0),uuurAB(1,2,芯),uuinuuur一BD(2,1,0),BA(1,2,V3).ABBD=2+2+0=0,AB1BA=T+43=0,.ABiBD,AB1BA，AB，平面A1BD.uuuu,則存在t R,使得(H)設(shè)P是直線AiD上的動點(diǎn)，由(I)可得DA(1,1,V3),uuruuruuuu_OPODtDA1(1,1,0)t(1,1,V3)(t1,t1,V3t),p(t1,t1,石)，PA(t1,t1,而內(nèi))。uuruum_當(dāng)PA，DASH,由PADA0(t1)(t1)V3(V3V3t)uuu282、3此時PA(2,IT)