拋物線(xiàn)的性質(zhì)歸納與證明

1、拋物線(xiàn)的常見(jiàn)性質(zhì)及證明概念焦半徑：拋物線(xiàn)上一點(diǎn)與其焦點(diǎn)的連線(xiàn)段；焦點(diǎn)弦：兩端點(diǎn)在拋物線(xiàn)上且經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)線(xiàn)段稱(chēng)為焦點(diǎn)弦性質(zhì)及證明過(guò)拋物線(xiàn)y2= 2px (p>0)焦點(diǎn)F的弦兩端點(diǎn)為 A(Xi, yj, B(X2,y2)傾斜角為，中點(diǎn)為C(xo,yo),分別過(guò)A、B、C作拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為A'、B'、C'.1.求證焦半徑|AF| X1 I廠(chǎng)詈焦半徑|BF| X2P1 cos弦長(zhǎng)| AB | = X1 + X2 + p= 2P ;特別地，當(dāng)sinX1 =X2( =90 )時(shí)，弦長(zhǎng)|AB|最短，稱(chēng)為通徑，長(zhǎng)為2p :厶AOB的面積 Sa2pOAB =.2si n

2、證明：根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，| AF | = | AD | = X1+ 2, | BF | = | BC | = X2 + p,I RF| Pp+1 + cos2psin2同理，1 BF匸吋=二pr AB 1T AF 1 +1 BF 1 = rs111 pSaoab= Saoaf+ Saobf= OF 11 yi 丨 + OF 11 yi 丨= (| yi 1 + 丨 yi |)yiy2 = - p2,則yi、y2異號(hào),因此，Iyi| + |yi| = | yi -y2|P'Sa oab = ；| yi y24(yi + y2)2 4yiy2 =p22sinii +| AF | BF |2

3、2.求證：xxs p :yy24當(dāng)AB丄x軸時(shí)，有AF BFp,成立；當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)焦點(diǎn)弦AB的方程為：yk X衛(wèi).代入拋物線(xiàn)方程22k2 x號(hào)2px化簡(jiǎn)得222.2p |2八k x p k 2 x k 04方程（1）之二1 根為 Xi, X2，二 x111111AFBFAAiBBiXix4X2P1XiPPpXiX22_P_22X1X224XiX2pXiX2p2p4Xi2p4x1x2p3.求證： AC'B A'FB' Rt Z先證明：ZAMB = Rt Z證法一】延長(zhǎng)AM交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于 E,如圖3,則 ADM 進(jìn) ECM,I AM | = | EM |, |

4、 EC| = | AD |I BE | = | BC | + | CE |= | BC | + | AD |=| BF | + | AF | = | AB | ABE為等腰三角形，又M是AE的中點(diǎn)，BM 丄AE,即 ZAMB = Rt Z證法二】取AB的中點(diǎn)N ,連結(jié)MN ,貝U111| MN | = _(| AD | + | BC |) = _(| AF | + | BF |) = _| AB | ,.| MN | = | AN | = | BN |222 ABM為直角三角形，AB為斜邊，故ZAMB = Rt Z.ppp yi + y2證法三】由已知得C(y2)、D(-, yi),由此得M(

5、).yi + y2yi2yi y2p(yi y2)p2p(yi )yipp同理kBM=y2Kam=pXi +一2yi =2+ p 2py2 + p2yi+p2 =yi'2 2PPP p，kAM kBM= = 1yi y2 yiy2 p2BM 丄AE,即 ZAMB = Rt 乙證法四】由已知得 C( p, y2)、D( 2, yi),p yi + y22')由此得.TMapyiy2 t2 )，mbp=(X3+ ，y2 yip p (yi y2)(y2 yi)MAMB =(Xi+；)(X2+ 2)+廠(chǎng)2 2pp_(yiy2)=XiX2 + (Xi + X2)+244p2 p yi

6、y2p2 yi + y2 2yiy2=4+忑+廠(chǎng) 42 2 2p2 yiy2 p2 p2=+= += o2 2 2 2Ma 丄 Mb ,故 zamb = Rtz證法五】由下面證得/DFC= 90 ,連結(jié)FM,則FM= DM.又 AD = AF,故厶 ADMAFM ,如圖 4/ =Z2 ,同理 Z3 =Z41+ /3 = -x180 = 902 zAMB = Rt 乙接著證明：/DFC= Rt Z證法一】如圖5,由于| AD | = | AF |, AD /RF,故可設(shè) ZAFD=ZADF=ZDFR=同理，設(shè)/BFC=ZBCF=ZCFR= 而 ZAFD+/DFR+/BFC+ZCFR= 180 2

7、( + )= 180，即 + = 90 ,故/DFC= 90p y1 + y證法二】取CD的中點(diǎn)M ,即M ( ,)p y2 y2p由前知 kAM = , kcF=y1p ppy1+ _+ _2 2Ram= kcF, AM /CF,同理,BM /DFzDFC=ZAMB = 90 .證法三】.DF = (p, y1), CF = (p, y2),.-"Df Cf = p2+ y1 y2 = 0"Df 丄"Cf ,故/DFC= 90 .| DR| RF |證法四】由于 | RF |2= p2 = -y"2=| DR | RC |,即 =,且/DRF=/FRC

8、=| RF | RC |90 DRFsFRCzDFR=/RCF,而 ZRCF+ZRFC= 90zDFR+ZRFC= 90zDFC= 90DD1/y1)M<O(RTxCB(x2, y2)圖8證法ppyi】畑=y;, AM的直線(xiàn)方程為y-yi=/-辦4.C'A、C'B是拋物線(xiàn)的切線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程y2= 2px聯(lián)立消去x得p y2 y222y-yi =(亦一亦)，整理得 y2-2yiy+ y2= 0故直線(xiàn)AM與拋物線(xiàn)y2= 2px相切,可見(jiàn) = (2yi)2- 4yi = 0 ,同理BM也是拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，如圖8.證法二】由拋物線(xiàn)方程y2= 2px,兩邊對(duì)x求導(dǎo)，(y2)x= (2

9、px)x，=y1 =p得 2yyx= 2p , g y,故拋物線(xiàn)y2= 2px在點(diǎn)A(xi, yi)處的切線(xiàn)的斜率為k 切=yj yy1又kAM = P,*切=kAM ,即AM是拋物線(xiàn)在點(diǎn) A處的切線(xiàn)，同理BM也是拋物線(xiàn) yip yi + y證法三】過(guò)點(diǎn)A(xi, yi)的切線(xiàn)方程為yiy = p(x+ Xi),把M(-)代入2 2 2yi + y2 yi + yiy22pxi pp左邊=yi = pxi 2 2 2 22pp2右邊=p( 2+xi) = + pxi,左邊=右邊，可見(jiàn)，過(guò)點(diǎn)A的切線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn) M ,即AM是拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，同理BM也是拋物 線(xiàn)的切線(xiàn)5. C'A、C'B

10、分別是ZA'AB和/B'BA的平分線(xiàn).證法一】延長(zhǎng)AM交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于E,如圖9,則厶 ADMECM,有 AD /BC, AB =BE,/DAM =ZAEB=ZBAM ,即AM平分/DAB,同理BM平分/CBA證法二】由圖9可知只須證明直線(xiàn) AB的傾斜角 是直線(xiàn)AM的傾斜角 的2倍即可，即p yi + y2=2 .且 M （ 2,廠(chǎng)）y2 yiy2 yi2ptan = kAB=2廠(chǎng)=x2 xiy2y2yi+y22p 2ptan'tan 2yi 一yi + y2=kAM =Pxi + 一2yi y22 L+ p2p2pp(yi y2)P2p(yi)yi2 , yi + p

11、yf+ p2yi2ta ni tan 2yii - (P)2yi2pyi2 2 y2 p2pyi 2p2= tany + yi y2 yi + y2共點(diǎn)，=2 ,即AM平分/DAB,同理BM平分ZCBA.6. AC'、A'F、y軸三線(xiàn)共點(diǎn)，BC'、B'F、y軸三線(xiàn)共點(diǎn)證法一】如圖i0,設(shè)AM與DF相交于點(diǎn)Gi,由以上證明知| AD |=| AF |，AM平分ZDAF，故AGi也是DF邊上的中線(xiàn)，.Gi是DF的中點(diǎn).設(shè)AD與y軸交于點(diǎn)Di, DF與y軸相交于點(diǎn) G,易知，| DDi |=| OF |, DDi /OF,故厶 DDiG2 FOG2'| DG2

12、 | = | FGb |,則 G2也是 DF 的中點(diǎn).Gi與G2重合（設(shè)為點(diǎn)G）,則AM、DF、y軸三線(xiàn)同理BM、CF、y軸也三線(xiàn)共點(diǎn)證法二】AM的直線(xiàn)方程為py2y -yi=嚴(yán) 2P），°koA= koc,則 A、0、C 三點(diǎn)共線(xiàn),令x= 0得AM與y軸交于點(diǎn) G（0, J）,yipyi又DF的直線(xiàn)方程為y p（x-?令x= 0得DF與y軸交于點(diǎn)G（o，?）yi'AM、DF與y軸的相交同一點(diǎn) G（0，）,則AM、DF、y軸三線(xiàn)共點(diǎn)，同理BM、CF、y軸也三線(xiàn)共點(diǎn)H .由以上證明還可以得四邊形MHFG是矩形7. A、0、B'三點(diǎn)共線(xiàn),B、0、A '三點(diǎn)共線(xiàn)證法

13、一】如圖11, koA=-xi2pyi2py22y22py22py22pkoc=2 = _=ppp2 yiy2 yi2同理D、0、B三點(diǎn)也共線(xiàn)證法二】設(shè)AC與x軸交于點(diǎn) 0 ,tAD /RF/BC|R0 | C0 | BF | 0 F|CB|AD | = | CA | = | AB |， | AF | = | AB又 | AD |=| AF |, | BC | = | BF |,I R0 |I AF |0F | AF |0、B三點(diǎn)也| RO | = | OF |,則0與0重合，即C、0、A三點(diǎn)共線(xiàn),同理D、I OF | AF |證法三】設(shè)AC與x軸交于點(diǎn)0 , RFBC，両=芮,| CB |

14、|-AF | | BF | |AF |1p 0 F | =見(jiàn)證】|AB| AF | + | BF |112I AF 廣| BF |0與0重合，則即C、0、A三點(diǎn)共線(xiàn),同理D、0、B三點(diǎn)也共線(xiàn)證法四= (-2，y2), "0a = (xi, yi),2 2ppyipyiyiy2yipyip yi yi xi y2= yiy2=-=+= 0222p22p22p0C /OA，且都以0為端點(diǎn) A、0、C三點(diǎn)共線(xiàn),同理B、0、D三點(diǎn)共線(xiàn).過(guò)A、 B兩點(diǎn)B、0、M 三推廣】過(guò)定點(diǎn)P(m , 0)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)y2= 2px (p > 0)相交于點(diǎn)A、B, 分別作直線(xiàn)I: x= m的垂線(xiàn)，垂

15、足分別為M、N,則A、0、N三點(diǎn)共線(xiàn)， 點(diǎn)也共線(xiàn)，如下圖：m n8. 若| AF |: | BF | = m : n ,點(diǎn)A在第一象限，為直線(xiàn)AB的傾斜角.則cos =m + n過(guò)B作BEX AD于證明】如圖14 ,過(guò)A、B分別作準(zhǔn)線(xiàn)I的垂線(xiàn)，垂足分別為 D, C,E,設(shè) | AF | = mt, | AF | = nt,則| AD | = | AF |, | BC | = | BF |, | AE | = | AD | | BC | = (m n)t| AE |(m n)t m n在 Rt ABE 中，cos ZBAE=-| AB |(m + n)t m + nm n/cos = cos ZBAE=.m + n例6】設(shè)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)y2 = 2px的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于兩點(diǎn)A、B,且| AF |: | BF | = 3 : 1,則直線(xiàn)AB的傾斜角的大小為.答案】60或120 .y軸相切；以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線(xiàn)9. 以AF為直徑的圓與y軸相切，以BF為直徑的圓與相切;A ''為直徑的圓與焦點(diǎn)弦 AB相切.說(shuō)明】如圖15,設(shè)E是AF的中點(diǎn)，P 一+ Xi2則E的坐標(biāo)為（=yi，2），P一 + Xi2則點(diǎn)E到y(tǒng)軸的距離為d =1=2I AFI故以AF為直徑的圓與y軸相切，同理以BF為直徑