高二數(shù)學(xué)圓錐曲線方程知識復(fù)習(xí)

1、高二數(shù)學(xué) 第八章 圓錐曲線方程 知識復(fù)習(xí)二次曲線系（一）共焦點圓錐曲線系當(dāng)t>0時，表示共焦點（±c,0）的橢圓系；當(dāng)-c2<t<0時，表示共焦點（±c,0）的雙曲線系；當(dāng)t<-c2時無軌跡。例1已知橢圓的焦點坐標(biāo)是（0，），（0，-），且經(jīng)過點（1，-2），求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。解：。 又焦點坐標(biāo)為（0，），（0，-），曲線為橢圓，故設(shè)所求方程為橢圓過點（1，-2），?；喺淼?t2-2t-3=0。t=3或t=-1（舍去）故所求橢圓方程為。說明 運用共焦點曲線系建立方程時，一是要注意焦點所在的坐標(biāo)軸，二是應(yīng)注意參數(shù)t的取值范圍。例2 求以橢圓的焦點為

2、焦點，以直線為漸近線的雙曲線方程解 由橢圓方程知a2=13，b2=3，則c2=10，焦點在x軸上。 設(shè)共焦點的雙曲線系方程為 其漸近線方程為已知雙曲線的漸近線方程為，解得t=2。故所求雙曲線方程為說明 這里由于出現(xiàn)參數(shù)t的二次根式，所以設(shè)t>0，但要改變共焦點的二次曲線系方程中相應(yīng)的符號。與橢圓共焦點的二次曲線系方程也可以設(shè)為（0<b<a，則a2>kb2，k為參數(shù)）。（二）具有相同離心率的圓錐曲線系例3已知橢圓的離心率是，焦點在x軸上，且被直線截得的弦長為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。解：，又其焦點在x軸上， 設(shè)橢圓方程為 即 將 代入，整理得 由韋達(dá)定理可知：x1+x2=-2,

3、x1x2=4-3 由弦長公式，有 = = 解得。 故所求橢圓方程為，即說明 應(yīng)用具有相同離心率的圓錐曲線系方程時，同樣要注意其焦點所在的坐標(biāo)軸及圓錐曲線的類型。（三）共漸近線的雙曲線系顯然，它們的公共漸近線為例4求與雙曲線共漸近線且與直線x-y-1=0相切的雙曲線方程。解：設(shè)此雙曲線方程為由方程組消去x得3y2-2y+（-1）=0。由雙曲線與直線相切知將代入方程組得所求的雙曲線方程為3x2-12y2=4。求軌跡的幾種方法求軌跡方程是解析幾何中主要類型題之一，求軌跡的方法通常有：定義法、參數(shù)法、交軌法、轉(zhuǎn)化法、待定系數(shù)法。下面我們逐一介紹。（一）定義法利用圓和圓錐曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知

4、條件，直接定出軌跡方程的方法叫做定義法。例1過原點O的一條直線交圓x2+(y-1)2=1于點Q，在直線OQ上取一點P，使點P到直線y=2的距離等于|PQ|，當(dāng)直線PQ繞點O旋轉(zhuǎn)時，求動點P的軌跡方程。解：如圖所示，設(shè)動點P的坐標(biāo)為(x,y)，作PD垂直于直線y=2，垂足為D。（1）當(dāng)點P不在y軸上時， 從而1=2。 又PDOA，1=3。從而2=3。 |OP|=|OA|=2。 這時，點P的軌跡方程為 x2+y2=4(x0)。（2）當(dāng)點P在y軸上時，點Q與D重合于點A，y軸上任一點P都滿足|PD|=|PQ|。這時，點P的軌跡方程為x=0。于是由（1），（2）可知，動點P的軌跡方程為x2+y2=4(

5、x0)或x=0。（二）參數(shù)法例2 已知MON=120°，長為的線段AB的兩段A，B分別在OM，ON上滑動，求AB中點P的軌跡方程。分析 中點P依賴于A，B兩點，設(shè)A，B的橫坐標(biāo)為參數(shù)，利用|AB|=消去參數(shù)，便可得到P的軌跡方程。解：如圖所示，以O(shè)為原點，MON的平分線為x軸的正方向，則射線ON，OM的方程分別為。設(shè)，則 即(x1-x2)2+3(x1+x2)2=12把式代入式中，得 即 解方程組 故動點P的軌跡方程為 。（三）交軌法當(dāng)動點P是兩條動直線（或動曲線）的交點時，求動點P的軌跡方程，可選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)，表示這兩條動直線（或動曲線）的方程，從而解方程組消去參數(shù)，便得動點P的軌跡

6、方程。例3如圖824所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知矩形OABC的邊長|OA|=a,|OC|=b，點D在AO的延長線上，且|DO|=a，設(shè)M，N分別是OC，BC邊上的動點，且，求直線DM與AN的交點P的軌跡方程。解 如圖所示，點A，D的坐標(biāo)分別為(a,0),(-a,0)。設(shè)，則點N的坐標(biāo)為(a-t,b)。，從而 。 直線DM的方程為直線AN的方程為設(shè)動點P的坐標(biāo)為(x,y)，則從式中消去參數(shù)t，得P的軌跡方程為（四）代入法對于已知曲線C:F(x,y)=0上的各點M，按照某種法則，同一平面上的點P與它對應(yīng)，當(dāng)點M在曲線C上移動時，點P的軌跡是曲線，則稱為C的伴隨曲線。求伴隨曲線的方程一般用代入法

7、。其步驟如下：設(shè)點P，M的坐標(biāo)分別為(x,y),(x1,y1)，則F(x1,y1)=0。由點M與點P的關(guān)系，求得x1=f(x,y),y1=g(x,y),然后用代入法，即可得到點P的軌跡方程為F(f(x,y,),g(x,y)=0。例4 從原點O作圓(x-2)2+y2=4的動弦OP，把OP延長到M，使，求動點M的軌跡方程。解 如圖所示，設(shè)點M，P的坐標(biāo)分別為(x,y),(x1,y1)，則從而即把式代入式中，得于是，動點M的軌跡方程為（五）待定系數(shù)法當(dāng)曲線的議程的類型已知時，求這曲線方程的具體表達(dá)式，可用待定系數(shù)法。例5 求以直線和為漸近線，焦點在直線上且焦距是的雙曲線方程。解 如圖所示，解方程組

8、得 即兩直線的交點坐標(biāo)為（5，-4）。 又雙曲線的中心為O（5，-4）。 由已知條件可設(shè)這雙曲線的方程為 為 即： 結(jié)合已知漸近線方程從而可設(shè) 。 于是a=10，b=8。故所求的雙曲線方程為 求最值方法總結(jié)解析幾何中的最值涉及代數(shù)、三角、幾何諸方面的知識，問題復(fù)雜，解法靈活。現(xiàn)把這類問題的解法總結(jié)如下：（一）利用綜合幾何法求最值利用平面幾何中的極值定理求解最值問題的方法叫做綜合幾何法。這種解法如果運用得當(dāng)，往往顯得非常簡捷、明快。例1如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B是y軸正方向上給定的兩點，試在x軸正方向上求一點C，使ACB取得最大值。解：如圖所示，過A，B兩點作圓與x軸正方向相切于

9、點C。設(shè)C是x軸正方向上異于點C的任一點，連結(jié)BC，AC，BC，AC，則由平面幾何知識，易得ACBACB，從而點C即為所求。設(shè)，則由切割線定理，得 ，。即所求的點C的坐標(biāo)為。（二）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值例2過點B（0，-b）作橢圓的弦，求這些弦長的最大值。解：如圖所示，設(shè)點M(x,y)是橢圓上任一點，則，即 從而 于是，（1）若時，|BM|取得最大值；（2）若，即，則當(dāng)y=b時，|BM|取得最大值 。（三）利用判別式法求最值例3 過點A（1，4）作一直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都為正，且其和為最小，求這直線的方程。解 設(shè)所求的直線為，則，從而。即。b是實數(shù)，即 。由b4，可知s1,s9。當(dāng)s=9時

10、，易得b=6,a=3。即當(dāng)a=3,b=6時，s有最小值9。故所求的直線方程為，即 2x+y-6=0。（四）利用不等式法求最值例3中， 取最小時，解得。（以下略）（五）利用三角求最值例2中，設(shè)橢圓上任一點為參數(shù)。則|BM| 當(dāng)即時取得當(dāng)即時取得例3中，設(shè)直線傾斜角的補角為（如圖），橫縱截距分別為a、b由銳角三角函數(shù)，則（正值已舍去）故所求直線方程為：解題方法總結(jié)：（1）恰當(dāng)選擇坐標(biāo)系，以簡化計算。（2）重視圓錐曲線的定義，曲線的幾何性質(zhì)在解題中的作用。定義是運用數(shù)形結(jié)合思想方法解題的重要依據(jù)，定義解題可簡化運算，提高速度。（3）三種圓錐曲線的統(tǒng)一定義揭示了圓錐曲線都是“一個動點到一個定點和一條定

11、直線的距離之比為一個常數(shù)”的動點軌跡這一本質(zhì)屬性，因此，在三種圓錐曲線的計算和證明中，當(dāng)題中涉及到離心率、定點、定直線時，要不失時機地運用統(tǒng)一定義解題。（4）要判斷動點的軌跡，往往需要先求出它的軌跡方程，然后根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特點，再確定是何種曲線。求軌跡方程的主要方法見前一章總結(jié)。在求軌跡方程時要注意根據(jù)數(shù)形結(jié)合，檢驗軌跡的完備性和純粹性。（5）涉及到直線與圓錐曲線的問題，要注意方程思想和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。（6）求圓錐曲線中的最值問題，一方面注意定義和有關(guān)性質(zhì)的運用，另一方面可考慮轉(zhuǎn)化為一定的函數(shù)關(guān)系。然后運用函數(shù)求最值的各種方法求解，這里在特別注意代數(shù)、三角、平面幾何知識的綜合靈活應(yīng)用。（7）求

12、解有些圓錐曲線綜合問題，常常要引入適當(dāng)?shù)妮o助參數(shù)。因此，適當(dāng)?shù)剡x擇參數(shù)，設(shè)而不求，可化難為易，減小計算量。試題選析如圖，已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，點E分有向線段所成的比為，雙曲線過C、D、E三點，且以A、B為焦點。當(dāng)時，求雙曲線離心率e的取值范圍。解法1 如圖所示，以AB的垂直平分線為y軸，直線AB為x軸，建立直角坐標(biāo)系xOy，則CDy軸。因為雙曲線經(jīng)過點C、D，且以A、B為焦點，由雙曲線的對稱性性C、D關(guān)于y軸對稱。依題意，記其中為雙曲線的半焦距，h是梯形的高。由定比分點坐標(biāo)公式得。設(shè)雙曲線的方程為，則離心率。由點C、E在雙曲線上，將點C、E的坐標(biāo)和代入雙曲線方程得 ， 由式得 將式代入式，整理得，故。由題設(shè)得，。解得。所以雙曲線的離心率的取值范圍為。解法2：如圖，過