淺談向量在中學(xué)幾何中的應(yīng)用

1、【精品文檔】如有侵權(quán)，請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除，僅供學(xué)習(xí)與交流淺談向量在中學(xué)幾何中的應(yīng)用.精品文檔.淺談向量在中學(xué)幾何中的應(yīng)用摘要：向量是新教材中的新增內(nèi)容，以向量為載體的解中學(xué)幾何問題是新課程高考中出現(xiàn)的新趨勢(shì)，本文就有關(guān)向量在中學(xué)幾何中的應(yīng)用談?wù)勛约旱目捶?。關(guān)鍵詞：向量；向量的模；向量的加法和減法；向量與解析幾何；向量與立體幾何一.平面向量在解析幾何中的應(yīng)用 1.向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)是不同的，設(shè)，則，但當(dāng)向量是以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)時(shí)，向量坐標(biāo)就是點(diǎn)的坐標(biāo)，即.例1（01天津）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，拋物線與過焦點(diǎn)的直線交于A、B兩點(diǎn)，則解：設(shè)、，則， ，又拋物線的焦點(diǎn)為，可設(shè)直線AB方

2、程為代入得，故。2.利用向量的數(shù)量積求夾角由可知,向量的數(shù)量積在解決與長(zhǎng)度、角度有關(guān)的問題時(shí)非常有效.例2（04全國(guó)）給定拋物線C：y2=4x，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線與C相交于AB兩點(diǎn)，設(shè)的斜率為1，求與的夾角的大??；解：拋物線的焦點(diǎn)為F（1，0），直線的斜率為1，所以的方程為將，代入方程，并整理得 設(shè)，則有， 夾角的大小為3.利用處理解析幾何中有關(guān)垂直的問題例3（04重慶）設(shè)是一常數(shù)，過點(diǎn)的直線與拋物線交于相異兩點(diǎn)A、B，以線段AB為直經(jīng)作圓H（H為圓心）.試證拋物線頂點(diǎn)在圓H的圓周上；并求圓H的面積最小時(shí)直線AB的方程.分析: 證拋物線頂點(diǎn)在圓H的圓周上,即證,即證解：由題意，直線不能

3、是水平線，故可設(shè)直線方程為：.設(shè)，則其坐標(biāo)滿足消去可得 ，則 因此，故O必在圓H的圓周上.又由題意圓心H是AB的中點(diǎn)，故由前已證，OH應(yīng)是圓H的半徑，且.從而當(dāng)a=0時(shí)，圓H的半徑最小，亦使圓H的面積最小.xBACyO例4（04安徽 春季）如圖（1）,A、B、C是長(zhǎng)軸為4的橢圓上的三點(diǎn)，點(diǎn)A是長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，BC過橢圓的中心，求橢圓的方程.解:建立如圖（1）的直角坐標(biāo)系,則,設(shè)橢圓方程為,點(diǎn)C的坐標(biāo)為,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為.即, 圖 （1） ,即, 將m=1代入,得n=1,代入橢圓方程得, , 故所求的橢圓方程為4.利用平行向量的等量關(guān)系式得到點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系例5（04全國(guó)）設(shè)雙曲線C：，相交于兩個(gè)

4、不同的點(diǎn)A、B，設(shè)直線l與y軸的交點(diǎn)為P，且求的值.分析:設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由就得到了A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)的等量關(guān)系，再利用韋達(dá)定理，通過解方程組得的值。解：由雙曲線與直線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，故知方程組 有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,消去y并整理得：設(shè)由于都是方程的根，且, 例6（04江蘇）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率為 ，一個(gè)焦點(diǎn)是F（-m,0）(m是大于0的常數(shù)).()求橢圓的方程； ()設(shè)Q是橢圓上的一點(diǎn)，且過點(diǎn)F、Q的直線與y軸交于點(diǎn)M. 若，求直線的斜率. 解：（I）設(shè)所求橢圓方程是 由已知，得 所以. 故所求的橢圓方程是 （II）設(shè)Q，直線當(dāng) ，則，得， ， 同理得，于是，故直線的斜率是0，.5

5、從直線的方向向量中得到直線的斜率在直線上任取兩點(diǎn)，則為直線的方向向量，當(dāng)時(shí)，而k即為直線的斜率.例7（03 全國(guó)）已知常數(shù)>0，向量=（0，）， =（1，0），經(jīng)過原點(diǎn)O以 +為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn)A（0，）以2為方向向量的直線相交于點(diǎn)P，其中R.試問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)E、F，使得|PE|+|PF|為定值.若存在，求出E、F的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.分析：本題的關(guān)鍵是從直線的方向向量中求得過點(diǎn)P的兩條直線方程，用交軌法求得點(diǎn)P的軌跡方程,據(jù)此再判斷是否存在兩定點(diǎn)，使得點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離的和為定值.解：=（1，0），=（0，）， ，,因此，直線OP和AP的方程分別為和,消去參數(shù)，得點(diǎn)的

6、坐標(biāo)滿足方程,整理得 因?yàn)樗缘茫?（i）當(dāng)時(shí)，方程是圓的方程，故不存在合乎題意的定點(diǎn)E和F； （ii）當(dāng)時(shí)，方程表示橢圓，焦點(diǎn)和為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn)； （iii）當(dāng)時(shí)，方程也表示橢圓，焦點(diǎn)和為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn). 向量與解析幾何的融合充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想,解決這類問題的關(guān)鍵是利用向量的坐標(biāo)表示,將問題中的形轉(zhuǎn)化為數(shù)的關(guān)系,是解析幾何新的解題思想. 二.空間向量與立體幾何用傳統(tǒng)的綜合推理法解立體幾何問題往往需要較強(qiáng)的空間想象力，在解決角度、距離問題時(shí)技巧性較強(qiáng)，一旦思路受阻就只能放棄，新課程增加的空間向量利用代數(shù)的方法，為解決這些問題提供了通用方法。其顯著優(yōu)點(diǎn)是減弱了推理論證的成份，

7、用計(jì)算來代替論證，其缺點(diǎn)是計(jì)算量加大。如果在解決問題的過程中推理論證與向量運(yùn)算綜合運(yùn)用，則不失為一種好辦法！方式的選擇 用向量解題有兩種方式可供選擇，一種是直接用向量代數(shù)式運(yùn)算，一種是向量的坐標(biāo)運(yùn)算。一般來說，用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，思維及運(yùn)算技巧更容易掌握，因而我們盡可能采用坐標(biāo)運(yùn)算方式。坐標(biāo)運(yùn)算方式的弱點(diǎn)是要精確的寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，準(zhǔn)確無(wú)誤地寫出相關(guān)向量的坐標(biāo)，坐標(biāo)一錯(cuò)則全盤皆錯(cuò)，另外，有些情況下可能并不是很方便建立直角坐標(biāo)系，此時(shí)不妨考慮用代數(shù)式運(yùn)算，只是運(yùn)算技巧相對(duì)要強(qiáng)一些。1. 代數(shù)式運(yùn)算方式 用代數(shù)式運(yùn)算方式的要點(diǎn)是在空間圖形中選擇一組合適的基底，一般選其起點(diǎn)的三個(gè)不共面的向量構(gòu)成基底，

8、這樣圖形中任何其他向量總可以用這一組基來表示，把相關(guān)向量表示出來以后，就可用向量?jī)?nèi)積運(yùn)算來討論向量所成的角，特別是通過內(nèi)積為零來證明線線垂直，用向量共線來說明線線平行等等。例8.證明：若四面體的兩對(duì)對(duì)棱垂直，則第三對(duì)對(duì)棱也垂直。 已知：四面體中求證：證明:選取從點(diǎn)出發(fā)的三條棱的方向向量構(gòu)成一組基底，令向量，兩式相減得： 圖（2） 所以 即有命題得證。 例9.已知邊長(zhǎng)為的正三角形的中線與中位線相交于點(diǎn)，將此三角形沿折成二面角，(1)求平面平面；(2)當(dāng)二面角為多大時(shí)，異面直線與互相垂直？ 解:（1）因?yàn)镈E為中位線，所以=。 圖（3）又G為DE中點(diǎn)，所以而所以DE平面，又平面經(jīng)過，所以平面平面（

9、）選取以作為始點(diǎn)的三個(gè)向量構(gòu)成一組基底，則令得因?yàn)樗越羌炊娼堑拇笮?。?0.是二面角棱上的一點(diǎn)，分別在平面上引射線如果那么二面角的大小為_解:在上取作向量并設(shè)其模長(zhǎng)為，在上取作向量，使其模長(zhǎng)為分別過作垂直于于點(diǎn)，則所成的角即二面角 的平面角。 圖（4）所以二面角的大小為。評(píng)析：此題和前兩題比較起來說，似乎沒有明確選擇基底，實(shí)際上是以點(diǎn)為始點(diǎn)的三個(gè)向量作為基向量了。2. 向量坐標(biāo)運(yùn)算方式用向量坐標(biāo)運(yùn)算方式，(1).建立空間直角坐標(biāo)系，注意盡可能利用已經(jīng)存在的過同一個(gè)點(diǎn)的兩兩垂直的三線，如果沒有三線垂直，也可找兩線垂直，然后作出第三線和兩線垂直。一般軸應(yīng)是右手系空間直角坐標(biāo)系。事實(shí)上坐標(biāo)系是右

10、手系還是左手系不是問題的關(guān)鍵，重要的是所寫的點(diǎn)的坐標(biāo)須與所建立的坐標(biāo)系相一致。(2).寫出需要用到的點(diǎn)的坐標(biāo)。此步一定要仔細(xì)，不能有一點(diǎn)的差錯(cuò)。(3).寫出所要用到的向量。特別注意是用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)！(4).通過計(jì)算解決具體問題；1).求異面直線所成的角設(shè)異面直線和的方向向量分別為、，兩直線所成的角設(shè)為，則有，注意異面直線所成角的范圍，所以分子對(duì)內(nèi)積取絕對(duì)值。2).證直線和平面平行要證直線和平面平行，一種方法是看平面上是否有和向量共線的向量，若在平面上，且有，只須交待直線不在平面上，即可判定，第二種方法是求出平面的法向量，如果，即，即可判定/平面。（圖5） A B B n n 圖（5）

11、圖（6）3). 證直線和平面垂直要證直線和平面垂直，只須求出平面的法向量，然后判定是否等于，即它們是否共線，若共線則說明平面。（圖6）4). 證二平面平行要證平面平面，求出兩平面的法向量，若，則.（圖7） n m 圖（7） 圖（8）5).證二平面垂直要證平面平面，求出兩平面的法向量，若，則。（圖8）6).求斜線與平面所成的角求斜線與平面所成角，先求出平面的法向量，設(shè)線面角為，則有注意平面的法向量與所成的角與線面角之間的關(guān)系是,或者是（如圖9），不論是哪種情況，兩向量夾角的余弦的絕對(duì)值總是線面角的正弦（線面角的范圍是）。 7). 求二面角的平面角求二面角的平面角，只需 求出兩個(gè)半平面的法向量，則

12、有 圖（9）設(shè)二面角的平面角為，則與的關(guān)系是相等還是互補(bǔ)，至于具體到一個(gè)題目中它們是相等還是互補(bǔ)，取決于法向量的方向，一種相對(duì)準(zhǔn)確的判定方式圖示如下（圖10）： 當(dāng)兩個(gè)平面處于重合時(shí)，讓其法向量方向一致，則當(dāng)繞交線旋轉(zhuǎn)時(shí)，其法向量隨之一起旋轉(zhuǎn)，此時(shí)不論二面角是多大，總與之相等。 圖（10-1） 圖（10-2） 圖（10-3）8). 求點(diǎn)面距及線面距 點(diǎn)面距與線面距總是可以相互轉(zhuǎn)化的，如圖（11）求直線到平面的距離，也就是求點(diǎn)到平面的距離，它是在求斜線段與平面所成的線面角的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，利用6）中的方法求出了，即可得： 圖（11）9).求異面直線間的距離兩異面直線與之間的距離最終也要轉(zhuǎn)化為線面距

13、，過作的平行平面，則到平面距離即兩異面直線間的距離，進(jìn)一步可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距來求解，方法如8）所示。 實(shí)際求解時(shí)，平面是不用作出的，因 圖（12）為如圖12所示，只要向量能夠表示出來，則平面的法向量可通過解出，也可理解為兩異面直線公垂線的方向向量，知道了，在兩異面直線上分別選一點(diǎn)構(gòu)成線段，即平面的斜線段（如），它與平面的線面角的正弦，即所以兩直線間的距離為3.平面的法向量的求法在以上的解法中，求平面的法向量是關(guān)鍵，在高中階段只能用解方程的方式來求法向量。首先設(shè)平面的法向量為，在平面上任找兩個(gè)不共線且已知坐標(biāo)的向量如。建立方程組解出即可，如果方程無(wú)解，說明法向量的豎坐標(biāo)不可能為1，此時(shí)只需將所設(shè)法向量坐標(biāo)中的豎坐標(biāo)由1改為，相應(yīng)地將改為1，再解方程。例11.如圖13，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，側(cè)棱分別是與的中點(diǎn)，點(diǎn)在平面上的射影是的重心，（1）求與面所成的角的大小，（2）求點(diǎn)到平面的距離。解：（1）建立如圖(13)所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)底面的腰，則各點(diǎn)的坐標(biāo)為:，為中點(diǎn)，利用中點(diǎn)公式可求得，在底面上的射影為，而為的重心，利用重心公式可得。所以設(shè)平面ABD的法向量為則有方程即，解得 圖（13），即。設(shè)與平面所成角為，則有又點(diǎn)為在平面上的射影，由解得，代入上式得，即與平面所成角為。（2）平面的法向