例題講解_米勒問題之教學(xué)設(shè)計說明

1、例題講解：米勒問題教學(xué)設(shè)計數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 118 班蔡潔慧20110008008教材分析1 1 .本例題是在學(xué)習(xí)了直角三角形中角的正切值、基本不等式、圓的相關(guān)知識例如圓周角等等進(jìn)行講解的，因此知識基礎(chǔ)比較扎實。2 2 .本例題是著名的經(jīng)典題目,用于解決最大角問題,涉及到最大值問題,在今后的最值問題解決中有著重要的地位，為解決最大角問題提供有力的工具，省去很多繁瑣的步驟。3 3 . .本例題運用了數(shù)形結(jié)合的思想，引導(dǎo)學(xué)生善于把問題幾何和代數(shù)之間相互代換得以解決。4 4 .本課對學(xué)生的動手能力,觀察能力都有一定的要求,對培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維,提高學(xué)生解決實際問題的能力都有重要的意義。5 5 .本課內(nèi)容

2、安排上難度和強度不高，適合學(xué)生討論，可以充分開展合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的合作精神和團(tuán)隊競爭的意識。學(xué)情分析1 1 . .授課班級學(xué)生基礎(chǔ)較好，教學(xué)中應(yīng)給予充分思考的時間，并且以引導(dǎo)學(xué)生思考為主。2 2 .該班級學(xué)生在平時訓(xùn)練中已經(jīng)形成了良好的合作精神和合作氣氛，可以充分發(fā)揮合作的優(yōu)勢，兼顧效率和平衡。3 3 . .本班為自己任課的班級，平時對學(xué)生比較了解，在解決具體問題的時候可以兼顧不同能力的學(xué)生，充分調(diào)動學(xué)生的積極性。教學(xué)目標(biāo)知識與能力目標(biāo)1 1.了解米勒問題，并且理解米勒定理。2 2.學(xué)會解決米勒問題，并能夠運用一定的空間想象能力3 3. .培養(yǎng)學(xué)生在解決實際問題與生活實際聯(lián)系的能力。過程與方

3、法目標(biāo)1 1.經(jīng)歷探索解決米勒問題的過程，進(jìn)一步探索米勒定理的證明過程。2 2. .經(jīng)歷應(yīng)用米勒定理解決問題的過程。情感與態(tài)度目標(biāo)1 1.學(xué)生在探索的過程中，感受動點移動時帶來的角度變化的動態(tài)美，體會數(shù)學(xué)的奇妙性；2 2. .在交流的過程中，體會與別人交流的重要性。教學(xué)中的重點、難點重點1 1.利用直角三角形和基本不等式知識解決米勒問題2.2.利用米勒問題得出的結(jié)論解決一般米勒問題并給出證明難點M.M.用代數(shù)方法解決后轉(zhuǎn)換為幾何的結(jié)論2.2.一般米勒問題結(jié)論的證明主要教學(xué)手段及相關(guān)準(zhǔn)備：教學(xué)手段1.1.使用導(dǎo)學(xué)法、討論法2.2.運用多媒體輔助教學(xué)3 3.調(diào)動學(xué)生積極性，幫助理解準(zhǔn)備工作多媒體課

4、件片斷，輔助難點突破教學(xué)設(shè)計策略依據(jù)教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生的特點，依據(jù)教學(xué)時間和效率的要求，在此課教學(xué)方法和教學(xué)模式的設(shè)計中主要體現(xiàn)設(shè)計思想策略1.1.回歸學(xué)生主體，一切圍繞著學(xué)生的學(xué)習(xí)活動和當(dāng)堂的反饋程度安排教學(xué)過程。2.2.原則性和靈活性相結(jié)合，既要完成教學(xué)計劃，在教學(xué)過程中又可以根據(jù)現(xiàn)實的情況，安排問題的難度，體現(xiàn)一些靈活性。3.3.教學(xué)的形式上注重個體化，充分給予學(xué)生討論和發(fā)表意見的機會，注重學(xué)習(xí)的參與性，努力避免以教師活動為主體的教學(xué)過程。教學(xué)步驟及說明,生活動教師活動教學(xué)目標(biāo)教學(xué)說明1 1、學(xué)生跟著教師的1 1、介紹問題：，路進(jìn)行想象14711471 年德國數(shù)學(xué)家米培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)題目給出讓學(xué)

5、生了解題目，并讓勒向諾德爾教授提出如的信息動手作圖，培養(yǎng)學(xué)同學(xué)想象，培養(yǎng)學(xué)生自下一個十分有趣問題：生學(xué)會運用數(shù)形結(jié)合的主探索的學(xué)習(xí)能力，以在地球表向的什么部位，思想方法。及學(xué)生們交流能力。一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長（即可見角最大）？用多媒體軟件進(jìn)行教學(xué)， 給學(xué)生直觀的形象， 引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會運用已知條件去探索未知2 2、根據(jù)幾何畫板的 2 2、幾何畫板演示：演示并跟著教師的把文字的問題轉(zhuǎn)化為幾思路思考問題何圖形表示出來培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，并引導(dǎo)學(xué)生解決問題量。3 3、觀察并思考，跟3 3、把幾何問題轉(zhuǎn)化為代培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會幾何與代運用直角二角形和基著教師解決問題數(shù)問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行回答數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換本不等

6、式的知識解決問題，本節(jié)課的重點之4 4、思考并積極回答4 4、根據(jù)代數(shù)方法得到答培養(yǎng)學(xué)生運用已知知識這是本節(jié)課的難點，學(xué)問題案，并把結(jié)論轉(zhuǎn)換為幾何解決一般簡單問題能力，生難以突破結(jié)論，復(fù)習(xí)切割弦定理同時對于知識的回顧，加深鞏固。5 5、隨著教師思路進(jìn)5 5、得到關(guān)于米勒問題的培養(yǎng)學(xué)生善于思考探索拋出問題引導(dǎo)學(xué)生思行思考幾何結(jié)論，并提出為什么的精神考要總結(jié)幾何結(jié)論6 6、學(xué)生按照教師的6 6、給出一般米勒問題：學(xué)生體驗從特殊到一般由特殊問題過渡到一提示進(jìn)行思考問題在已知直線 l l 的向側(cè)有的過程。加深對一般情況般問題，循序漸進(jìn)，關(guān)P P、Q Q 兩點，試在直線l l 和特殊情況的理解，提高鍵在

7、于引導(dǎo)和啟發(fā)，給上求一點 M,M,使得 M M 對學(xué)生對問題的敏感度。予學(xué)生充分的時間，必P P、Q Q 兩點的張角，即最要時候使用事先準(zhǔn)備大？的多媒體輔助教學(xué)，從實際結(jié)果看，學(xué)生在多媒體的啟發(fā)作用下，應(yīng)該會有一個思維上的7 7、通過教師演示，7 7、用兒何圓板演不，把培養(yǎng)學(xué)生通過比較兩者突破。得到特殊米勒問題特殊米勒問題與一得到兩者的區(qū)別的能力與一般米勒問題的勒問題進(jìn)行對比，說明兩區(qū)別者的不問，并說明用類似的代數(shù)方法無法解決8 8、 跟隨教師的思路并積極回答問題，學(xué)習(xí)新的知識8 8、 引導(dǎo)學(xué)生善于應(yīng)用幾培養(yǎng)學(xué)生善于巧妙地運何結(jié)論去解決問題， 并進(jìn)用新的結(jié)論來解決新的行證明， 注意新知識的補問

8、題， 培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)充并說明學(xué)態(tài)度， 對得到的答案給予嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明9 9、 做好筆記并進(jìn)行知識鞏固9 9、總結(jié)，說明米勒問題頭質(zhì)上 TETE 求最大角問題， 因此得出的結(jié)論就是為了解決一般的米勒問題，即一般的求最大角問題。培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會總結(jié)的能力，并養(yǎng)成舉一反三的能力，達(dá)到學(xué)以致用的目的在課堂最后進(jìn)行總結(jié)，并得到結(jié)論，告知學(xué)生該結(jié)論用于解決最大角問題，讓學(xué)生能夠?qū)W以致用。課后小結(jié)：由于運用了一定的教學(xué)方法和理念，知識從不同的方向得到了滲透?；就瓿闪苏n前制定的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)要求，為進(jìn)一步的深入理解打下了基礎(chǔ)。教學(xué)分析1 1 . .米勒問題是求最大角問題的特例,通過解決米勒問題得到幾何結(jié)論,根據(jù)這

9、個結(jié)論可以事半功倍得解決一般最大角問題，因此講解這道題對于學(xué)生解決問題十分有必要。2 2 . .米勒問題應(yīng)該安排在高二第二個學(xué)期,因為米勒問題應(yīng)用的知識比較綜合,并且要有一定的空間想象力，而且要對幾何與代數(shù)之間的轉(zhuǎn)換有一定的了解，因此放在高二第二個學(xué)期講解比較合適。3 3 . .米勒問題是一道經(jīng)典的數(shù)學(xué)題,對于培養(yǎng)學(xué)生對于研究數(shù)學(xué)和拓展課外知識很有必要,U U學(xué)生領(lǐng)略到數(shù)學(xué)的美妙神奇之處。4 4 . .在證明一般米勒問題的時候,需要補充圓外角的相關(guān)知識,在解決問題的同時,可以讓學(xué)生初步了解圓外角知識并學(xué)會應(yīng)用。教學(xué)設(shè)計腳本教師：同學(xué)們好，今天我們要解決一道世界著名的經(jīng)典題目一一米勒問題。（點開

10、 PPTPPT）既然是是米勒問題，那么我們就先了解一下米勒問題是什么？14711471 年德國數(shù)學(xué)家米勒向諾德爾教授提出如下一個十分有趣問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長（即可見角最大）？這是一個非常著名的 100100 道經(jīng)典數(shù)學(xué)問題其中的一道題，大家先自己理解一下題目的意思。請同學(xué)們在草稿本上面畫一下草圖好，現(xiàn)在老師用幾何畫板演示一下（點開超鏈接，出現(xiàn)幾何畫板）教師：大家看一下，我們把垂直懸桿簡化成這個 ABAB 這段線段。大家在初中的時候已經(jīng)學(xué)習(xí)地理，知道地球是一個球面，但是為了研究問題的需要，我們就把地球表面看成是一個平面，所以問題就轉(zhuǎn)化為，在地球上面找到一個點 D,D

11、,使得人在這個位置時，懸桿呈現(xiàn)最長，也就是可見角 ADADB B是最大的。教師：老師延長線段 ABAB 到平面并交于點 C,C,再連接 CDCD, ,以點 C C 為圓心，CDCD 為半徑作圓（幾何畫板演示）大家想象一下，點 D D 在圓上移動白時候，ADBADB 有沒有變化？學(xué)生 1:1:老師，是沒有變化的。教師：很好，也就是說，在這個圓上的點都不會影響可見角 ADBADB, ,在圓心不變的情況下,只有半徑不同的其他圓才會影響 ADBADB 的大小對不對？學(xué)生：對。教師：也就是說，我們可以把這個空間的問題轉(zhuǎn)化為平面問題。（幾何畫板演示）那么是不是說，就一定會存在這個點 D D 使得 ADBA

12、DB 達(dá)到最大呢?學(xué)生 1:1:應(yīng)該是存在的教師：如果存在的話，應(yīng)該在什么位置呢？學(xué)生 1 1：老師，肯定越近可見角越大學(xué)生 2 2：不，我覺得是越遠(yuǎn)可見角越大教師：那好，有爭議的話，我們再用幾何畫板演示一下現(xiàn)在我讓點 D D 一直向中間移動，同學(xué)們要留意 ADBADB 是如何變化的？（幾何畫板演示）學(xué)生：ADBADB 是先變大，后來又慢慢變小教師：對了，也就是說，在這條直線上，總會存在一個點，使得 ADBADB 最大，對不對？學(xué)生：對。教師：那么我們要在這條直線上找到這個點呢？學(xué)生：可以轉(zhuǎn)化為求點 D D 到交點 C C 的距離。教師：對了，要求 CDCD 的長度，那么我們設(shè) CDCD 的長

13、度為 x,x,問題就轉(zhuǎn)化為當(dāng) x x 為多少時，ADBADB 最大？為了解決這個問題，我們把 ACAC、BCBC 的長度當(dāng)成是已知的，AC=m,BC=n,AC=m,BC=n,把一些需要的角標(biāo)一下，、，這里的也就是 ADBADB（打開 PPTPPT）學(xué)生 2:2:教師：也就是（板書出來）我們在上面已經(jīng)求出了、的正切值了，那么可以求出的正切值嗎？要怎樣求？學(xué)生1:tantan（）tantantantan（教師板書出來）1 1tantantantan教師：請繼續(xù)。學(xué)生 1:1:把剛剛 tantanm和 tantan代入上式教師：很好，那么大家動手把數(shù)據(jù)代入并進(jìn)行化簡。那么有那位同學(xué)化簡得到最終的結(jié)果

14、?證明：則有由基:已知 AC=m,BC=n,CD=xAC=m,BC=n,CD=x, ,（x0 x0）, ,求當(dāng) x x 為多少時，教師：那么我們就要用這些已知的條件來解決這個問題了。大家先看一下 VACDVACD,剛剛說了懸桿是垂直于地球表面的,學(xué)生：直角三角形教師：那么 ACAC、CDCD 與之間有什么關(guān)系？最大？（黑板板書）所以 VACDVACD 是一個什么三角形?學(xué)生 2 2：tantanm（教師板書出來）x x教師：很好，那么我們再看 VBCDVBCD 呢?學(xué)生 1:1:同樣是一個直角三角形教師：所以也可以同樣得到怎樣的關(guān)系式？學(xué)生 1 1：tantann（教師板書出來）x x教師：那

15、再看看之間有什么關(guān)系?C學(xué)生 2:2:tantanmn（教師板書出來）mnxmnxx x教師：好的。那么我們看看，我們要求的最大值，是不是就是求 tantan 的最大值？學(xué)生：是的。教師：看看上面式子，那些是已知的？學(xué)生：m,nm,n教師：所以說，m-nm-n 就是一個定值，那么要求 tantan 的最大值，只需要求式子的分母的最小值，對不對？學(xué)生：對。教師：那好，我們就把分母分離出來，xmxm（板書出來）x x現(xiàn)在要求的是 xmxm的最小值，也就是應(yīng)該要 x xS S（板書出來）xxxx同學(xué)們看出什么了嗎？學(xué)生：基本不等式教師：那要怎樣做下去呢？學(xué)生 1:1:xmxm- -n2n2j jmn

16、mn（教師板書出來）x x教師：什么時候等號成立？學(xué)生 1 1：當(dāng) x xS 時，算得 x xj jmnmn（教師板書出來）x x2.-教師：也就是，xmnoxmno 好，到這里已經(jīng)把結(jié)果算出來了，同學(xué)們回答一下題目提出問題的答案？學(xué)生：當(dāng) x xj jmnmn 時，tantan 取得最大值，也就是取得最大值。教師：同學(xué)們看一下，我們解決這個問題的時候，先把幾何的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，再用代數(shù)的方法把問題解決了， 但是如果每次都遇到這種問題， 都要算這么多是不是很麻煩？我們在上面的計算過程， 有沒有得到什么啟示？學(xué)生 i i：當(dāng) x xj jmnmn 時，取得最大值。教師：很好，這也算是一個結(jié)論

17、，有沒有一個關(guān)于幾何方面的結(jié)論呢？學(xué)生：（思考）教師：剛剛所說的，CDx xJ Jm mT TJABBC,也就是CD2ACBC,那么根據(jù)這個式子有沒有想到關(guān)于圓的一些性質(zhì)？老師在這里提示一下，大家還記得切割線定理嗎？（PPTPPT 展示）這里 PAPA 是圓 O O 的切線，BCBC 是圓 O O 的一條割線，那么切割線定理是怎么描述的？學(xué)生：PAPA2PBPCPBPC2教師：這個等式跟上面所說的，CDCD2ACBCACBC 在形式上是不是有點相似啊？學(xué)生：PAPA 對應(yīng) CDCD, ,PBPB、PCPC 分另灰應(yīng) BCBC、ACAC, ,也就是 CDCD、ABAB 分別是某個圓的切線、割線。

18、教師：對了，表示出來就是這樣子的圖形（PPTPPT 展示）“口所以我們有下面的結(jié)論：結(jié)論：當(dāng)且僅當(dāng)過 ABDABD 三點作外接圓且 CDCD 與該圓相切的時候，ADB最大。同學(xué)們可能在這個時候就要問，得出這個結(jié)論有什么用？老老實實用代數(shù)的方法去算不就行了嗎？帶著這個問題，下面我們再看一道題目（PPTPPT 展示）在已知直線 l l 的同側(cè)有 P P、Q Q 兩點，試在直線 l l 上求一點 M,M,使得 M M 對 P P、Q Q 兩點的張角,PMQPMQ 最大？教師：那我們來看看這道題跟第一題有什么區(qū)別？（幾何畫板演示）我們連接 PQ,PQ,再延長 PQPQ 到直線 l l 交于點 O,O,跟第一題畫的圖比較一下（幾何畫板演示）同學(xué)們看一下，PQPQ 是不是相當(dāng)于把懸桿 ABAB 倒置了一樣，還有哪些是相對應(yīng)的?學(xué)生 2:2:POPO 對應(yīng) ACAC, ,PMQPMQ 對應(yīng) ABD,ABD,教師：既然有那么多