五種方法求二面角與練習題

1、五種方法求二面角及練習題定義法:從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱這兩個半平面叫做二面角的面，在棱上取點，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角。1 .如圖，在棱長為 a 的正方體 ABCD-AiBCD 中，求：(1)二面角 GBD-C 的正切值(2)二面角 B BBCDBCD2 .如圖，四棱錐 SABCDSABCD 中，底面 ABCDABCD 為矩形，SDSD二、三垂線法：三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直,那么它也和這條斜線垂直.通常當點 P P 在一個半平面上則通常用三垂線定理法求二

2、面角的大小。1 .如圖，在直四棱柱 ABCD-ABiCiDi中，底面 ABCM 等腰才!形，AB/CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E、E1、F 分別是棱 ADAA1、AB 的中點。(1)證明：直線 EE1平面 FCC;(2)求二面角 B-FC1-C 的余弦值。底面 ABCDABCD, ,ADAD金金DCSDDCSD2,2,點 M 在側(cè)棱 SCSC 上，(1)(1)求二面角 SAMBSAMB 的余弦值。ABMABM=60,M 在側(cè)棱 SCSC 的中點2 .如圖，在四棱錐 PABCDPABCD 中，底面 ABCDABCD 是矩形.已知ABAB3,3,ADAD2,2,PAPA2,2,PD

3、PD2yp2,PABPAB6060. .(I)證明 ADAD 平面 PABPAB; ;(n)求異面直線 PCPC 與 ADAD 所成的角的大??；(出)求二面角 PBDAPBDA 的大小.本法是針對在解構(gòu)成二面角的兩個半平面沒有明確交線的求二面角題目時，要將兩平面的圖形補充完整，使之有明確的交線(稱為補棱)，然后借助前述的定義法與三垂線法解題。即當二平面沒有明確的交線時，一般用補棱法解決1 .已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1的棱長都是 a,側(cè)棱與底面成 60的角，側(cè)面 BCGB底面 ABC(1)求證：ACXBC;(2)求平面 ABC 與平面 ABC 所成的二面角(銳角)的大小。2 :如圖 5,

4、E 為正方體 ABCID-AB1C1D 的棱 CG 的中點，求平面 ABE 和底面 ABCD 所成銳角的余弦值.3 如圖所示，四棱錐 P P-ABCDABCD 勺底面 ABCABC邊長為 1 的菱形，/BCD=BCD=60。，E E 是 CDCD 的中點,PA1PA1 底面 ABCDPA=ABCDPA=2.(I)證明：平面 PBELPBEL 平面 PABPAB(n)求平面 PAPA 于口平面 PBPB 即成二面角(銳角)的大小角的平面角(銳角)P分析平面 ABE 與底面 AiBCiD 交線即二面角的棱沒有給出，要找到二面角的平面角,四、向量法向量法解立體幾何中是一種十分簡捷的也是非常傳統(tǒng)的解法

5、，可以說所有的立體幾何題都可以用向量法求解，用向量法解立體幾何題時，通常要建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標，然后將幾何圖中的線段寫成用坐標法表示的向量，進行向量計算解題。1 如圖，在五面體 ABCDE 葉,FA 平面 ABCD,AD/BC/FE,ABAD,M 為 EC 的中點，1 1AF=AB=BC=FE=AD2 2(I)求異面直線 BF 與 DE 所成的角的大小；(II)證明平面 AMD 平面 CDE 求二面角 A-CD-E 的余弦值。2、如圖，在直三棱柱 ABCAB1C1ABCAB1C1 中，平面 ABCABC 側(cè)面 A A1 1ABBABB1 1.(I)(I)求證：ABBC;ABBC;

6、(n)(n)若直線 ACAC 與平面 ABCABC 所成的角為，二面角 ABCAABCA 的大小為，試判斷與的大小關系，3 .如圖，在棱長為 a 的正方體 ABCD-AiBCD 中，求:(1)二面角 C-BD-C 的正切值(2)二面角 BiBCBiBC14 .過正方形 ABCD 勺頂點 A 作 PAPAA平面 ABCDABCD, ,設 PA=AB=a(1)求二面角 B-PC-DB-PC-D 的大??；(2)求二面角 C-PD-A5 .如圖所示， 四棱錐 P PABCDABCDJ J 底面 ABABC C 史邊長為 1的菱形,.下載可編輯./BCD=/BCD=60,E E 是 COWCOW 中點，

7、PA1PA1 底面 ABCDPA=ABCDPA=“.(1)證明：BEBE，平面 PABPAB(2)求二面角 A-BE-PA-BE-P 的大小(3)PB 與面 PAC 的角6 如圖，在底面為直角梯形的四棱錐 PABCDPABCD 中,ADADBC,ABCBC,ABC90,90,PAPA 平面 ABCDABCD,PA3,AD2,AB2V3PA3,AD2,AB2V3,BC=6求證：BDBD 平面 PAC;PAC;(2)求二面角PBDA的大小.(3)求二面角 B-PC-A 的大小8.如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形.已知AB3,AD2,PA2PDPD2 2 偵/PAB600(I)證明AD平面PAB；(n)求異面直線PC與AD所成的角的大小;7.如圖，直二面角 DAB-E 中，四邊形點