Banach空間壓縮映像原理和不動(dòng)點(diǎn)原理及其應(yīng)用

1、僅供個(gè)人參考Banach空間壓縮映像原理和不動(dòng)點(diǎn)原理及其應(yīng)用For personal use only in study andresearch; not for commercial use數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院應(yīng)數(shù)2班趙宇20引言泛函分析是本世紀(jì)出才逐漸形成的一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支，以其高度 的統(tǒng)一性和廣泛的應(yīng)用性，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)領(lǐng)域占有重要的地位。 在泛函 分析中，Banach空間理論在隱函數(shù)定理、微分方程解的存在性定理、 積分方程解的存在性定理等等中，否起到了關(guān)鍵的作用，且都?xì)w結(jié)為 一個(gè)定理 不動(dòng)點(diǎn)定理。這正是抽像的結(jié)果。不動(dòng)點(diǎn)定理實(shí)際上是算子方程Tx=x的求解問題，是分析學(xué)的各 個(gè)分支中存在和唯一性定理

2、的重要基礎(chǔ)， 它是關(guān)于具體問題解的存在 唯一性的定理，其中Banach不動(dòng)點(diǎn)定理，亦稱壓縮映射原理，它提 供了線性方程解的最佳逼近程序，給出了近似解的構(gòu)造，在常微分方 程、積分方程等領(lǐng)域中也有著廣泛的應(yīng)用， 在現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展中有著重 要的地位和作用。正文1. Banach空間壓縮映像定理及其應(yīng)用隨著現(xiàn)代電子計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，我們?cè)诮夥匠蹋òǔＮ⒎址?程、偏微分方程、積分方程、差分方程、代數(shù)方程等）的過程中，大 量使用的是逐次逼近的迭代法。幾乎可以這樣說：對(duì)一個(gè)方程，只要 我們找到一個(gè)迭代公式，就算解出了這個(gè)方程（當(dāng)然我們還要考慮迭 代公式的收斂性、解的穩(wěn)定性和收斂速度等問題）。但是，在逐次迭代

3、中，我們必須保證迭代過程中得到的是個(gè)收斂序列，否則就是毫無意義的了。而選代法解方程的實(shí)質(zhì)就是尋求變換(映射、映像)的不 動(dòng)點(diǎn)。例如求方程f(x)=0的根，我們可令g(x)=x-f(x),則求f(x)=0 的根就變成求g(x)的不動(dòng)點(diǎn)，即求，使.而在通常求映射的不動(dòng)點(diǎn)的方 法中，最簡單的就是下面我們所講的-Banach空間壓縮映像定理。定義(壓縮映像)設(shè)T是度量空間X到X中的映像，如果對(duì)都有(是常數(shù))則稱T 是X上的一個(gè)壓縮映像。從幾何上說：壓縮映像即點(diǎn)x和y經(jīng)過映像T后，它們的像的 距離縮短了(不超過d(x,y)的倍)定理 1(Banach 壓縮映像原理)1922 年(Banach 1892-

4、1945波蘭數(shù)學(xué)家) 設(shè)(X,d )是一個(gè)完備度量空間，T是X上的一個(gè)壓縮 映像，則T有唯一的不動(dòng)點(diǎn)。即存在 x屬于X,使得Tx=x。(證明存 略)對(duì)于壓縮映像原理的應(yīng)用，最典型的有以下幾個(gè)定理可說明問 題。定理2 (隱函數(shù)存在定理)設(shè)u = f (x，y)在帶狀區(qū)域d =( x, y) :a W x Wb,-00 < y <0上處處連'續(xù)，處處有關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)fy(x,y),且如果存在常數(shù)m,M ,適合0 <m W fy(x, y) EM .則方程f(x,y)=0在閉區(qū)間kb】上有唯一的連續(xù)函數(shù) y=*(x)，使 f(x,中(x)=0。1 ,證：C a b中考慮映像

5、M（°，若其為壓縮映像，則有不動(dòng)點(diǎn)T*嗎f（x&x）m0）丁 .1,在完備度量空間C I M中作映像 M（）,顯然，對(duì)一 C a b 1由連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)有T ； . C a b 1。T是C a b】到自身的一個(gè)映像下證是壓縮的d T ZT12 三:d % ,C a b,0 :二二：二 1電$2肥a b由微分中值定理，存在0日1,使，一 一 一 1 一 一 1 一丁與不-2一70*=巴一91 ）-1 fy及中1（*）+8巴口）中1口）好2中1 JM小2（x）%（x/-m iA M Jm.令 一m 貝J 0 aM1故 T中2 -T叼a呼2 -Q取最大值 一 d T 2，T 1

6、 - : d 2,1 .0 : : :：1,映像T是壓縮的.由Banach壓縮映像定理在C a b】上有唯一的不動(dòng)點(diǎn)*僅）使T*=中顯然這個(gè)不動(dòng)點(diǎn)適合f x，x =0注： 注意本定理的證明思路：先確定空間，再找映像（這是 難點(diǎn)），然后證明此映像是壓縮的，最后利用定理即得。注意到這是 利用Banach壓縮映像定理解題的一般方法。 此隱函數(shù)存在定理給出的條件強(qiáng)于數(shù)學(xué)分析中隱函數(shù)存在定理所給出的條件，因而得出的結(jié)論也強(qiáng)些：此處得出區(qū)間上的連續(xù) 隱函數(shù)y - x.下面我們介紹Banach不動(dòng)點(diǎn)定理在常微分方程解的存在唯一性定理中的應(yīng)用-Picard定理.定理3: (Picard定理 Cauchy-Pe

7、ano 微分方程解的存在唯一 性定理)設(shè) f(t，x)在矩形 R=Qx)”t-t0Ya，x-x0 w"上連續(xù)，設(shè) f也x)wM ,化x)-R又f L在r上關(guān)于x滿足Lipschitz (德國人 1832-1903 )條件，即存在常數(shù)k使對(duì)"，x1 )(t，x25R有dxf(t,xJ-f(t,x2好心-對(duì),那么方程T = f(t,x)在區(qū)間J=匕-PIo+P】上P < min *有唯一的滿足初始條件小)=x0的連續(xù)函數(shù)解.其中 ' M仁 證：設(shè)CL-。由展示在區(qū)間J =t0 -"0 年】上的連續(xù)函數(shù)全體。x')八)成完備度量空間。又令C表示C1

8、/t。喇中滿足條件xO-xKtMMMlJ)的連續(xù)函數(shù)全體所成的子空間。顯然C 閉，因而C也是完備度量空間Txt );x。t f ,x dMPwb 如果 x(t 戶 C 當(dāng) 一 J 時(shí),(t,x(t 游 R而f(t，x)是R上的二元連續(xù)函數(shù)，二映像中積分有意義。t w J Tx(t)-x0 = f f(T,x(ndE WM tt。< M? < b又對(duì)一切0 二Tx什C故T是C到C的一個(gè)映像下證是壓縮的。Lipschitz條件，對(duì)C中的任意兩點(diǎn)Mt）v"）t riTx,Tv| =f H，x(t) fR,v(工加工te %f “xm ,v. 5t tomaxk x t - v

9、t < k : d x, vt J rP < min <maxd Tx,Tv =t . J Tx立=蚱，則由-Tv _ 二 d x,v 、 ,故T是壓縮的。由Banach壓縮映像定理，丁在。中有唯一的不動(dòng)點(diǎn).即MN 使 Tx(t)=x(t)即 xt =x0 .tf 3x7 臚且X(t0)=X0dx = f t, x ,出 即X（t）是滿足初值條件的連續(xù)解。再證唯一性。如果x = xtdx-=f t,x.也是dt 滿足X（to）一 Xo的連續(xù)解.X . t X o '那么tt0f因而而且也是T的不動(dòng)點(diǎn).而T的不動(dòng)點(diǎn)是唯一的 故 Xt = Xtdx 工二f t, x ,一

10、出有唯一解。注：題設(shè)條件中Lipschitz條件的要求是十分強(qiáng)的，它保證了解 的唯一性。實(shí)際上滿足Lipschtz條件即為一致收斂。因而可在積分 號(hào)下求導(dǎo)，如果把解的要求降低，例如只要求廣義解，即只要求滿足t積分方程x'ff'C 則題設(shè)條件可大大放寬：只要f也X) 有界，即可利用Lebesgue控制收斂定理得到廣義解。注意到Banach壓縮映像定理不僅證明了方程的解的存在唯一性，而且也提供了求解的方法-逐次逼近法：即只要任取x0三X,令limnX =xnxn=Tx。則解.且在Banach不動(dòng)點(diǎn)定理的證明中，有n0(d Xn,X d X1,X01-a.即此式給出了用xn逼近解x的

11、誤差估計(jì)式。2.不動(dòng)點(diǎn)定理的應(yīng)用不動(dòng)點(diǎn)證明數(shù)列極限定理= Xn+2對(duì)于數(shù)列Xn,設(shè) =1 , "+1 - xn+1。求證：Pm xn =e。V Xn +2 _1-X + 2證明：由 X0=1 , n+1= xn + 1 - xn + 1O 令 MxyTTrlD ,則f") = -(X+ 1) 2 3 2,(x "。那么Xn一定存在極限，設(shè)其為X。那么_ x + 2_x- x+1 ,可得 x=聞 x=-舍)，故 nim xn =不動(dòng)點(diǎn)定理在圖論中的證明把一張小比例尺的地圖，放在一張同地區(qū)的大比例尺地圖內(nèi)， 則 有且僅有一個(gè)地名重合(有一個(gè)坐標(biāo)相同的點(diǎn)相重合)。證明：

12、把大地圖中所有的地名（包括未寫出來的）看作定理1中 的X（距離按通常定義）；把小地圖所覆蓋的區(qū)域看作大地圖到自身 的映像，顯然這是一個(gè)完備度量空間中的壓縮映像問題，故結(jié)論成立。此外不動(dòng)點(diǎn)原理還可以應(yīng)用在數(shù)列通項(xiàng)公式中， 求方程解中。此 處不做一一說明了。不得用于商業(yè)用途僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l ' etude et la recherche un