合情推理與演繹推理題型整理總結

1、題型一 用歸納推理發(fā)現(xiàn)規(guī)律例1： 通過觀察以下等式，猜測出一個一般性的結論，并證明結論的真假。；.解析：猜測：證明：左邊=右邊注；注意觀察四個式子的共同特征或規(guī)律1結構的一致性,2觀察角的“共性1先猜后證是一種常見題型2歸納推理的一些常見形式：一是“具有共同特征型，二是“遞推型，三是“循環(huán)型周期性題型二 用類比推理猜測新的命題例2：正三角形內切圓的半徑是高的，把這個結論推廣到空間正四面體，類似的結論是_.解析：原問題的解法為等面積法，即，類比問題的解法應為等體積法， 即正四面體的內切球的半徑是高注：1不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比2類比推理常見的情形有：平面向空間類比；低維向高維類比

2、；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；圓錐曲線間的類比等3在平面和空間的類比中，三角形對應三棱錐即四面體，長度對應面積；面積對應體積； 點對應線；線對應面；圓對應球；梯形對應棱臺等。4找對應元素的對應關系，如：兩條邊直線垂直對應線面垂直或面面垂直，邊相等對應面積相等題型三 利用“三段論進行推理例3 某校對文明班的評選設計了五個方面的多元評價指標，并通過經驗公式樣來計算各班的綜合得分，S的值越高那么評價效果越好，假設某班在自測過程中各項指標顯示出，那么下階段要把其中一個指標的值增加1個單位，而使得S的值增加最多，那么該指標應為 填入中的某個字母解析：因都為正數(shù)，故分子越大或分母越小時， S的值越大，而在分子

3、都增加1的前提下，分母越小時，S的值增長越多，所以c增大1個單位會使得S的值增加最多注：從分式的性質中尋找S值的變化規(guī)律 ；此題的大前提是隱含的，需要經過思考才能得到1.以下說法正確的選項是 A.類比推理是由特殊到一般的推理 B.演繹推理是特殊到一般的推理C.歸納推理是個別到一般的推理 D.合情推理可以作為證明的步驟 答案： C3. ，考察以下式子：；. 我們可以歸納出，對也成立的類似不等式為答案：4.現(xiàn)有一個關于平面圖形的命題：如圖，同一個平面內有兩個邊長都是的正方形，其中一個的某頂點在另一個的中心，那么這兩個正方形重疊局部的面積恒為類比到空間，有兩個棱長均為的正方體，其中一個的某頂點在另一

4、個的中心，那么這兩個正方體重疊局部的體積恒為解析解法的類比特殊化易得兩個正方體重疊局部的體積為5.的三邊長為，內切圓半徑為用，那么；類比這一結論有：假設三棱錐的內切球半徑為，那么三棱錐體積 解析 6.在平面直角坐標系中，直線一般方程為，圓心在的圓的一般方程為；那么類似的，在空間直角坐標系中，平面的一般方程為_,球心在的球的一般方程為_.答案；7.1等差數(shù)列的定義為:在一個數(shù)列中，從第二項起,如果每一項與它的前一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和類比等差數(shù)列的定義給出“等和數(shù)列的定義： ；2 數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為，那么的值為_答案：1在一個數(shù)列中，如果

5、每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和；2； 8. 對大于或等于的自然數(shù)的次方冪有如下分解方式： 根據(jù)上述分解規(guī)律，那么, 假設的分解中最小的數(shù)是73，那么的值為 答案： (2021全國I卷)甲、乙、丙三位同學被問到是否去過A，B，C三個城市時，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；乙說：我沒去過C城市；丙說：我們三人去過同一個城市.由此可判斷乙去過的城市為 .1、小王、小劉、小張參加了今年的高考，考完后在一起議論。小王說：“我肯定考上重點大學。小劉說：“重點大學我是考不上了。小張說：“要是不管重點不重點，我考上肯定沒問題。發(fā)榜結果說明，三人

6、中考取重點大學、一般大學和沒考上大學的各有一個，并且他們三個人的預言只有一個人是對的，另外兩個人的預言都同事實恰好相反?？梢姡?A小王沒考上，小劉考上一般大學，小張考上重點大學B小王考上一般大學，小劉沒考上，小張考上重點大學C小王沒考上，小劉考上重點大學，小張考上一般大學D小王考上一般大學，小劉考上重點大學，小張沒考上3、給出以下三個命題：假設；假設正整數(shù)滿足，那么；設上任意一點，圓以為圓心且半徑為1。當時，圓相切。其中假命題的個數(shù)是 A 0 B 1 C2 D3二、填空題4、設函數(shù)，利用課本中推導等差數(shù)列前項和公式的方法，可求得的值為 .一、選擇題1由推理知識，可知應選C3由不等式的根本性質以

7、及圓方程的性質，可知應選B二、填空題4分析 此題利用類比課本中推導等差數(shù)列前項和公式的倒序相加法，觀察每一個因式的特點，嘗試著計算： ，發(fā)現(xiàn)正好是一個定值， ，.【典型例題】例1：1迄今為止，人類已借助“網格計算技術找到了630萬位的最大質數(shù)。小王發(fā)現(xiàn)由8個質數(shù)組成的數(shù)列41，43，47，53，61，71，83，97的一個通項公式，并根據(jù)通項公式得出數(shù)列的后幾項，發(fā)現(xiàn)它們也是質數(shù)。小王欣喜萬分，但小王按得出的通項公式，再往后寫幾個數(shù)發(fā)現(xiàn)它們不是質數(shù)。他寫出不是質數(shù)的一個數(shù)是 A1643B1679C1681D1697答案：C。解析：觀察可知：累加可得： ，驗證可知1681符合此式，且4141=1

8、681。2下面給出了關于復數(shù)的四種類比推理：復數(shù)的加減法運算可以類比多項式的加減法運算法那么；由向量a的性質|a|2=a2類比得到復數(shù)z的性質|z|2=z2；方程有兩個不同實數(shù)根的條件是可以類比得到：方程有兩個不同復數(shù)根的條件是；由向量加法的幾何意義可以類比得到復數(shù)加法的幾何意義. 其中類比錯誤的選項是 ( )A. B. C. D. 答案：D 。解析：由復數(shù)的性質可知。3定義的運算分別對應以下圖中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么以下圖中的A、B所對應的運算結果可能是 ( ) 1 2 3 4 A BA. B. C. D.答案：B。例3：在ABC中，假設C=90，AC=b,BC=a，那么AB

9、C的外接圓的半徑，把上面的結論推廣到空間，寫出相類似的結論。答案：此題是“由平面向空間類比?？紤]到平面中的圖形是一個直角三角形，所以在空間中我們可以選取有3個面兩兩垂直的四面體來考慮。取空間中有三條側棱兩兩垂直的四面體ABCD，且AB=a，AC=b，AD=c，那么此三棱錐的外接球的半徑是。例4： 請你把不等式“假設是正實數(shù)，那么有推廣到一般情形，并證明你的結論。答案： 推廣的結論：假設 都是正數(shù)， 證明： 都是正數(shù) ， 【課內練習】1給定集合A、B，定義，假設A=4,5,6,B=1,2,3,那么集合中的所有元素之和為 A.15 B.14 C.27 D.-14答案：A 。 解析：，1+2+3+4

10、+515。 2觀察式子：，那么可歸納出式子為 A、 B、C、 D、答案：C。解析：用n=2代入選項判斷。3有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,那么平行于平面內所有直線；直線平面，直線平面，直線平面，那么直線直線的結論顯然是錯誤的，這是因為 A.大前提錯誤 B.小前提錯誤 C.推理形式錯誤 D.非以上錯誤答案：A。解析：直線平行于平面,并不平行于平面內所有直線。4古希臘數(shù)學家把數(shù)1，3，6，10，15，21，叫做三角數(shù)，它有一定的規(guī)律性，第30個三角數(shù)與第28個三角數(shù)的差為 。答案：59。解析：記這一系列三角數(shù)構成數(shù)列，那么由歸納猜測，兩式相加得。或由，猜測。5數(shù)列是正項等差數(shù)列，假設，那

11、么數(shù)列也為等差數(shù)列. 類比上述結論，寫出正項等比數(shù)列，假設= ，那么數(shù)列也為等比數(shù)列.答案：。6“AC,BD是菱形ABCD的對角線，AC,BD互相垂直且平分。補充以上推理的大前提是 。答案：菱形對角線互相垂直且平分。7在一次珠寶展覽會上,某商家展出一套珠寶首飾,第一件首飾是1顆珠寶, 第二件首飾是由6顆珠寶構成如圖1所示的正六邊形, 第三件首飾是由15顆珠寶構成如圖2所示的正六邊形, 第四件首飾是由28顆珠寶構成如圖3所示的正六邊形, 第五件首飾是由45顆珠寶構成如圖4所示的正六邊形, 以后每件首飾都在前一件上,按照這種規(guī)律增加一定數(shù)量的珠寶,使它構成更大的正六邊形,依此推斷第6件首飾上應有_

12、顆珠寶;那么前件首飾所用珠寶總數(shù)為_顆.(結果用表示)圖1圖2圖3圖4答案：66, 。解析：利用歸納推理知。8在平面上，我們如果用一條直線去截正方形的一個角，那么截下的一個直角三角形，按圖所標邊長，由勾股定理有：設想正方形換成正方體，把截線換成如圖的截面，這時從正方體上截下三條側棱兩兩垂直的三棱錐OLMN，如果用表示三個側面面積，表示截面面積，那么你類比得到的結論是 .答案：。9橢圓C：具有性質：假設M、N是橢圓C上關于原點對稱的兩點，點P是橢圓C上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為KPM、KPN時，那么KPM與KPN之積是與點P位置無關的定值。試對雙曲線寫出具有類似特性的性質，并

13、加以證明。答案：此題明確要求進行“性質類比。類似的性質：假設M、N是雙曲線上關于原點對稱的兩點，點P是雙曲線上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為KPM、KPN時，那么KPM與KPN之積是與點P位置無關的定值。證明如下：設，其中設，由，得將代入得。10觀察下面由奇數(shù)組成的數(shù)陣，答復以下問題：求第六行的第一個數(shù)求第20行的第一個數(shù)求第20行的所有數(shù)的和答案：第六行的第一個數(shù)為31第行的最后一個數(shù)是，第行共有個數(shù)，且這些數(shù)構成一個等差數(shù)列，設第行的第一個數(shù)是 第20行的第一個數(shù)為3 第20行構成首項為381，公差為2的等差數(shù)列，且有20個數(shù)設第20行的所有數(shù)的和為那么【作業(yè)本】A組1在數(shù)

14、列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，中，第25項為 A25 B6 C7 D8 答案：C。解析：對于中，當n時，有所以第項是。OxABFy2如圖,橢圓中心在坐標原點,F為左焦點,當時,其離心率為,此類橢圓被稱為“黃金橢圓.類比“黃金橢圓,可推算出黃金雙曲線的離心率e等于 A. B. C. D. 答案：A。解析： 猜測出“黃金雙曲線的離心率等于.事實上對直角應用勾股定理,得,即有,注意到,變形得.3下面幾種推理過程是演繹推理的是 A、兩條直線平行，同旁內角互補，如果A和B是兩條平行直線的同旁內角，那么A+B=180B、由平面三角形的性質，推測空間四面體性質C、某校高三共有10個班，1班有51

15、人，2班有53人，三班有52人，由此推測各班都超過50人D、在數(shù)列中，由此推出的通項公式答案：A。解析：B是類比推理，C、D是歸納推理。4由正方形的對角線相等；平行四邊形的對角線相等；正方形是平行四邊形，根據(jù) “三段論推理出一個結論，那么這個結論是 。答案：。解析：是大前提，是小前提，是結論。5公比為的等比數(shù)列中，假設是數(shù)列的前項積，那么有也成等比數(shù)列，且公比為；類比上述結論，相應地在公差為的等差數(shù)列中，假設是的前項和，那么數(shù)列 也成等差數(shù)列,且公差為 。 答案：，；300。解析：采用解法類比。 6二十世紀六十年代，日本數(shù)學家角谷發(fā)現(xiàn)了一個奇怪現(xiàn)象：一個自然數(shù)，如果它是偶數(shù)就用2除它，如果是奇

16、數(shù)，那么將它乘以3后再加1，反復進行這樣兩種運算，必然會得到什么結果，試考查幾個數(shù)并給出猜測。答案：取自然數(shù)6，按角谷的作法有：62=3，33+1=10，35+1=16，162=8，82=4，42=2，22=1，其過程簡記為63105168421。取自然數(shù)7，那么有7221134175226134020101。取自然數(shù)100，那么100502576381958298844221。歸納猜測：這樣反復運算，必然會得到1。7圓的垂徑定理有一個推論：平分弦不是直徑的直徑垂直于弦，這一性質能推廣到橢圓嗎？設AB是橢圓的任一弦，M是AB的中點，設OM與AB的斜率都存在，并設為KOM、KAB，那么KOM與K

17、AB之間有何關系？并證明你的結論。答案：KOMKAB=。證明：設，那么=0即KOMKAB=，而，即KOMKAB1OM與AB不垂直，即不能推廣到橢圓中。B組1為確保信息平安,信息需加密傳輸,發(fā)送方由明文密文(加密),接收方由密文明文(解密),加密規(guī)那么為:明文對應密文,例如,明文對應密文.當接收方收到密文時,那么解密得到的明文為 A B C D答案：C。解析：此題考查閱讀獲取信息能力,實那么為解方程組，解得，即解密得到的明文為。2平面上有n個圓，其中每兩個都相交于兩點，每三個都無公共點，它們將平面分成塊區(qū)域，有，那么的表達式為 A、 B、 C、 D、答案：B。解析：由，利用累加法，得。3設，利用

18、課本中推導等差數(shù)列前n項和公式的方法，可求得的值為 A、 B、2 C、3 D、4答案：C。解析：。4考察以下一組不等式：.將上述不等式在左右兩端仍為兩項和的情況下加以推廣，使以上的不等式成為推廣不等式的特例，那么推廣的不等式可以是_.答案：或為正整數(shù)。解析：填以及是否注明字母的取值符號和關系，也行。5如以下圖，第1個多邊形是由正三角形“擴展“而來，第2個多邊形是由正四邊形“擴展而來，如此類推.設由正邊形“擴展而來的多邊形的邊數(shù)為，那么 ； .答案：42；。6指出下面推理中的大前提和小前提。15與2可以比擬大?。?2直線。答案：1大前提是實數(shù)可以比擬大小，小前提是5與是實數(shù)。 2大前提是平行于同

19、一條直線的兩直線互相平行，小前提是。7函數(shù)，對任意的兩個不相等的實數(shù)，都有成立，且，求的值。答案：當，由，從而可得：=8數(shù)列an滿足Snan2n1, (1) 寫出a1, a2, a3,并推測an的表達式；(2)證明所得的結論。答案：(1) a1, a2, a3, 猜測 an2 (2) 由1已得當n1時，命題成立； 假設nk時,命題成立，即 ak2, 當nk1時, a1a2akak1ak12(k1)1, 且a1a2ak2k1ak 2k1ak2ak12(k1)12k3, 2ak122, ak12, 即當nk1時,命題成立. 根據(jù)得nN+ , an2都成立 一、填空題1. 如以下圖，對大于或等于2的

20、自然數(shù)m的n次冪進行如下方式的“分裂：仿此，52的“分裂中最大的數(shù)是_，假設的“分裂中最小的數(shù)是211，那么的值為_.2. 下面給出三個類比推理命題其中為有理數(shù)集，為實數(shù)集，為復數(shù)集； 類比推出 類比推出,假設類比推出其中類比結論正確的序號是_寫出所有正確結論的序號3. ，那么中共有項4. 設(是兩兩不等的常數(shù)),那么的值是 _.二、選擇題5. “所有金屬都能導電，鐵是金屬，所以鐵能導電，此推理類型屬于A演繹推理 B類比推理 C合情推理 D歸納推理6. 用三段論推理命題：“任何實數(shù)的平方大于0，因為a是實數(shù)，所以0，你認為這個推理 A大前題錯誤 B小前題錯誤 C推理形式錯誤 D是正確的7. 扇形的弧長為，所在圓的半徑為，類比三角形的面積公式：底高，可得扇形的面積公式為不可類比8. 以下給出的平面圖形中，與空間的平行六面體