中國(guó)剩余定理的應(yīng)用實(shí)例韓信點(diǎn)兵

1、.中國(guó)剩余定理的應(yīng)用實(shí)例韓信點(diǎn)兵物不知其數(shù)問(wèn)題出自一千六百年前我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著?孫子算經(jīng)?。原題為："今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之二，五五數(shù)之三，七七數(shù)之二，問(wèn)物幾何?"這道題的意思是：有一批物品，不知道有幾件。假如三件三件地?cái)?shù)，就會(huì)剩下兩件;假如五件五件地?cái)?shù)，就會(huì)剩下三件;假如七件七件地?cái)?shù)，也會(huì)剩下兩件。問(wèn)：這批物品共有多少件?變成一個(gè)純粹的數(shù)學(xué)問(wèn)題就是：有一個(gè)數(shù)，用3除余2，用5除余3，用7除余2.求這個(gè)數(shù)。這個(gè)問(wèn)題很簡(jiǎn)單：用3除余2，用7除也余2，所以用3與7的最小公倍數(shù)21除也余2，而用21除余2的數(shù)我們首先就會(huì)想到23;23恰好被5除余3，所以23就是此題的一個(gè)答案。

2、這個(gè)問(wèn)題之所以簡(jiǎn)單，是由于有被3除和被7除余數(shù)一樣這個(gè)特殊性。假如沒(méi)有這個(gè)特殊性，問(wèn)題就不那么簡(jiǎn)單了，也更有趣兒得多。我們換一個(gè)例子;韓信點(diǎn)一隊(duì)士兵的人數(shù)，三人一組余兩人，五人一組余三人，七人一組余四人。問(wèn)：這隊(duì)士兵至少有多少人?這個(gè)題目是要求出一個(gè)正數(shù)，使之用3除余2，用5除余3，用7除余4，而且希望所求出的數(shù)盡可能地小。假如一位同學(xué)從來(lái)沒(méi)有接觸過(guò)這類(lèi)問(wèn)題，也能利用試驗(yàn)加分析的方法一步一步地增加條件推出答案。例如我們從用3除余2這個(gè)條件開(kāi)場(chǎng)。滿(mǎn)足這個(gè)條件的數(shù)是3n+2，其中n是非負(fù)整數(shù)。要使3n+2還能滿(mǎn)足用5除余3的條件，可以把n分別用1，2，3，代入來(lái)試。當(dāng)n=1時(shí)，3n+2=5，5除以

3、5不用余3，不合題意;當(dāng)n=2時(shí)，3n+2=8，8除以5正好余3，可見(jiàn)8這個(gè)數(shù)同時(shí)滿(mǎn)足用3除余2和用5除余3這兩個(gè)條件。最后一個(gè)條件是用7除余4.8不滿(mǎn)足這個(gè)條件。我們要在8的根底上得到一個(gè)數(shù)，使之同時(shí)滿(mǎn)足三個(gè)條件。為此，我們想到，可以使新數(shù)等于8與3和5的一個(gè)倍數(shù)的和。因?yàn)?加上3與5的任何整數(shù)倍所得之和除以3仍然余2，除以5仍然余3.于是我們讓新數(shù)為8+15m，分別把m=1，2，代進(jìn)去試驗(yàn)。當(dāng)試到m=3時(shí)，得到8+15m=53，53除以7恰好余4，因此53符合題目要求。我國(guó)古代學(xué)者早就研究過(guò)這個(gè)問(wèn)題。例如我國(guó)明朝數(shù)學(xué)家程大位在他著的?算法統(tǒng)宗?1593年中就用四句很通俗的口訣暗示了此題的解

4、法：三人同行七十稀，五樹(shù)梅花甘一枝，七子團(tuán)聚正半月，除百零五便得知。"正半月"暗指15."除百零五"的原意是，當(dāng)所得的數(shù)比105大時(shí)，就105、105地往下減，使之小于105;這相當(dāng)于用105去除，求出余數(shù)。這四句口訣暗示的意思是：當(dāng)除數(shù)分別是3、5、7時(shí)，用70乘以用3除的余數(shù)，用21乘以用5除的余數(shù)，用15乘以用7除的余數(shù)，然后把這三個(gè)乘積相加。加得的結(jié)果假如比105大，就除以105，所得的余數(shù)就是滿(mǎn)足題目要求的最小正整數(shù)解。按這四句口訣暗示的方法計(jì)算韓信點(diǎn)的這隊(duì)士兵的人數(shù)可得：70×2+21×3+15&

5、;times;4=263，263=2×105+53，所以，這隊(duì)士兵至少有53人。在這種方法里，我們看到：70、21、15這三個(gè)數(shù)很重要，稍加研究，可以發(fā)現(xiàn)它們的特點(diǎn)是：70是5與7的倍數(shù)，而用3除余1;21是3與7的倍數(shù)，而用5除余1;15是3與5的倍數(shù)，而用7除余1.因此70×2是5與7的倍數(shù)，用3除余2;21×3是3與7的倍數(shù)，用5除余3;15×4是3與5的倍數(shù)，用7除余4.假如一個(gè)數(shù)以a余數(shù)為b，那么給這個(gè)數(shù)加上a的一個(gè)倍數(shù)以后再除以a，余數(shù)仍然是b.所以，把70×2、21&tim

6、es;3與15×4都加起來(lái)所得的結(jié)果能同時(shí)滿(mǎn)足"3除余2、用5除余3、用7除余4"的要求。一般地，70m+21n+15k1≤m<3，1≤n<5，1≤k<7能同時(shí)滿(mǎn)足"用3除余m、用5除余n、用7除余k"的要求。除以105取余數(shù)，是為了求符合題意的最小正整數(shù)解。我們已經(jīng)知道了70、21、15這三個(gè)數(shù)的性質(zhì)和用處，那么，是怎么把它們找到的呢?要是換了一個(gè)題目，三個(gè)除數(shù)不再是3、5、7，應(yīng)該怎樣去求出類(lèi)似的有用的數(shù)呢?為了求出是5與7的倍數(shù)而用3除余1的數(shù)，

7、我們看看5與7的最小公倍數(shù)是否符合要求。5與7的最小公倍數(shù)是5×7=35，35除以3余2，35的2倍除以3余2，35的2倍除以3就能余1了，于是我們得到了"三人同行七十稀".為了求出是3與7的倍數(shù)而用5除余1的數(shù)，我們看看3與7的最小公倍數(shù)是否符合要求。3與7的最小公倍數(shù)是3×7=21，21除以5恰好余1，于是我們得到了"五樹(shù)梅花甘一枝".為了求出是3與5的倍數(shù)而用7除余1的數(shù)，我們看看3與5的最小公倍數(shù)是否符合要求。3與5的最小公倍數(shù)是3×5=15，15除以7恰好余1，因此我們得到了"

8、;七子團(tuán)聚正半月".3、5、7的最小公倍數(shù)是105，所以"除百零五便得知".按照上面的思路，我們可以舉一反三。例如：試求一數(shù)，使之用4除余3，用5除余2，用7除余5.解我們先求是5與7的倍數(shù)而用4除余1的數(shù);5與7的最小公倍數(shù)是5×7=35，35除以4余3，3×3除以4余1，因此35×3=105除以4余1，105是5與7的倍數(shù)而用4除余1的數(shù)。我們?cè)偾?與7的倍數(shù)而用5除余1的數(shù);4與7的最小公倍數(shù)是4×7=28，28除以5余3，3×7除以5余1，因此28&

9、times;7=196除余5余1，所以196是4與7的倍數(shù)而用5除余1的數(shù)。最后求是4與5的倍數(shù)而用7除余1的數(shù)：4與5的最小公倍數(shù)是4×5=20，20除以7余6，6×6除以7余1，因此20×6=120除以7余1，所以120是4與5的倍數(shù)而用7除余1的數(shù)。利用105、196、120這三個(gè)數(shù)可以求出符合題目要求的解：105×3+196×2+120×5=1307.由于4、5、7的最小公倍數(shù)是4×5×7=140，1307大于140，所以130

10、7不是符合題目要求的最小的解。用1037除以140得到的余數(shù)是47，47是符合題目的最小的正整數(shù)解。一般地，105m+196n+120k1≤m<4，1≤n<5，1≤k<7是用4除余m，用5除余n，用7除余k的數(shù);105m+196n+120k除以140所得的余數(shù)是滿(mǎn)足上面三個(gè)條件的最小的正數(shù)。上面我們是為了寫(xiě)出105m+196n+120k這個(gè)一般表達(dá)式才求出了105這個(gè)特征數(shù)。假如只是為理解答我們這個(gè)詳細(xì)的例題，由于5×7=35既是5與7的倍數(shù)除以4又余3，就不必求出105再乘以3了。35+1

11、96×2+120×5=1027就是符合題意的數(shù)。1027=7×140+47，由此也可以得出符合題意的最小正整數(shù)解47.?算法統(tǒng)宗?中把在以3、5、7為除數(shù)的"物不知其數(shù)"問(wèn)題中起重要作用的70、21、15這幾個(gè)特征數(shù)用幾句口訣表達(dá)出來(lái)了，我們也可以把在以4、5、7為除數(shù)的問(wèn)題中起重要作用的105、196、120這幾個(gè)特征數(shù)編為口訣。留給讀者自己去編吧。一般說(shuō)來(lái)，“老師概念之形成經(jīng)歷了非常漫長(zhǎng)的歷史。楊士勛唐初學(xué)者，四門(mén)博士?春秋谷梁傳疏?曰：“師者教人以不及，故謂師為師資也。這兒的“師資，其實(shí)就是先秦而后歷代對(duì)老師

12、的別稱(chēng)之一。?韓非子?也有云：“今有不才之子師長(zhǎng)教之弗為變其“師長(zhǎng)當(dāng)然也指老師。這兒的“師資和“師長(zhǎng)可稱(chēng)為“老師概念的雛形，但仍說(shuō)不上是名副其實(shí)的“老師，因?yàn)椤袄蠋煴匦枰忻鞔_的傳授知識(shí)的對(duì)象和本身明確的職責(zé)。但凡三個(gè)除數(shù)兩兩互質(zhì)的情況，都可以用上面的方法求解。其實(shí),任何一門(mén)學(xué)科都離不開(kāi)死記硬背,關(guān)鍵是記憶有技巧,“死記之后會(huì)“活用。不記住那些根底知識(shí),怎么會(huì)向高層次進(jìn)軍?尤其是語(yǔ)文學(xué)科涉獵的范圍很廣,要真正進(jìn)步學(xué)生的寫(xiě)作程度,單靠分析文章的寫(xiě)作技巧是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,必須從根底知識(shí)抓起,每天擠一點(diǎn)時(shí)間讓學(xué)生“死記名篇佳句、名言警句,以及豐富的詞語(yǔ)、新穎的材料等。這樣,就會(huì)在有限的時(shí)間、空間里給學(xué)生的腦海里注入無(wú)限的內(nèi)容。日積月累,積少成多,從而收到水滴石穿,繩鋸木斷的成效。上面的方法所根據(jù)的理論，在中國(guó)稱(chēng)之為孫子定理，國(guó)外的書(shū)籍稱(chēng)之為中國(guó)剩余定理。語(yǔ)文課本中的文章都是精選的比較優(yōu)秀的文章,還有不少名家名篇。假如有選擇循序漸進(jìn)地讓學(xué)生背誦一些優(yōu)秀篇目、精彩段落,對(duì)進(jìn)步學(xué)生的程度會(huì)大有裨益。如今,不少語(yǔ)文老師在分析課文時(shí),把文章解體的支離破碎,總在文章的技巧方面下功夫。結(jié)果老師費(fèi)力,學(xué)生頭疼。分析完之后,學(xué)生收效甚微,沒(méi)過(guò)幾天便忘的一干二