數(shù)控加工中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1、第二章 數(shù)控加工中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 楊玲 109020002目錄 2.1 圓弧樣條圓弧樣條 2.1.1 圓弧樣條的構(gòu)造方法 2.1.2 圓弧樣條的光順處理 2.2 局部坐標(biāo)下的分段三次樣條局部坐標(biāo)下的分段三次樣條 2.3 B樣條簡介樣條簡介 2.3.1 B樣條的定義 2.3.2 B樣條的幾個(gè)重要性質(zhì) 2.3.3 B樣條曲線類型的劃分 2.4 有理有理B樣條曲線、曲面樣條曲線、曲面 2.4.1 NURBS曲線與曲面 2.4.2 NURBS曲線的定義 2.4.3 權(quán)因子的幾何意義 2.4.4 非均勻有理B樣條（NURBS）曲面 2.5 拋物線擬合拋物線擬合 2.6 曲線的曲線的2次逼近次逼近 2.1 圓

2、弧樣條 圓弧樣條就是用圓弧這一最簡單的二次多項(xiàng)式模擬樣條，分段組成一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)。圓弧樣條是我國在1977年創(chuàng)造的一種擬合方法，在具有圓弧插補(bǔ)功能的數(shù)控系統(tǒng)中，采用圓弧樣條可以直接輸出圓弧信息，避免了用其他擬合方法還需進(jìn)行二次逼近處理的過程，減少了誤差環(huán)節(jié)。2.1.1 圓弧樣條的構(gòu)造方法 圓弧樣條是已知型值點(diǎn)Pi（xi,yi）(i=1,2,.,n),過每一個(gè)Pi點(diǎn)作一段圓弧，且使相鄰圓弧在相鄰節(jié)點(diǎn)（如Pi和Pi+1）的弦平分線上相交并相切，則使整條曲線在各連接點(diǎn)處達(dá)到位置和切線的連續(xù)。如圖2-1所示，圓弧段分別過點(diǎn)P1,P2,.,Pn-1,Pn，過點(diǎn)P1及P2的兩段圓弧在P1P2弦平分線上相

3、交并相切。這就是圓弧樣條的構(gòu)造方法。2.1.2 圓弧樣條的光順處理 圓弧樣條擬合時(shí)，規(guī)定過每一型值點(diǎn)Pi（i=0,1,.,n）作一段圓弧。當(dāng)曲線轉(zhuǎn)折較大時(shí)，如果型值點(diǎn)給得較稀，可能出現(xiàn)型值點(diǎn)處曲率變號(hào)情況，這時(shí)擬合出的曲線可能出現(xiàn)拐點(diǎn)。為了防止這一現(xiàn)象，通常限制 和 的比值 若超出此范圍，則可在Pi和Pi+1點(diǎn)之間加密一個(gè)點(diǎn)。補(bǔ)加點(diǎn)可取在Pi、Pi+1處弦切角 和 組成的三角形內(nèi)心上，也可取在PiPi+1的中垂線上。插入補(bǔ)加點(diǎn)后，要重排點(diǎn)的次序，重新進(jìn)行計(jì)算。下面是補(bǔ)加點(diǎn)在中垂線上時(shí)的計(jì)算過程。 1i3311ii1iii如圖所示，在局部坐標(biāo)系中，補(bǔ)加點(diǎn) 的坐標(biāo)為 設(shè)PiPi+1與參考坐標(biāo)系中x

4、軸的夾角為 時(shí)，有iP2)4tan(11iiiiiiluuv 在參考坐標(biāo)系中，補(bǔ)加點(diǎn) 的坐標(biāo)為iP2.2 局部坐標(biāo)下的分段三次樣條 這一擬合方法是在給定的每兩相鄰值點(diǎn)間建立局部坐標(biāo)系內(nèi)的三次曲線方程，通過迭代使每兩個(gè)中間型值點(diǎn)左右兩端曲線達(dá)位置及切線連續(xù)，且點(diǎn)點(diǎn)通過型值點(diǎn)。這樣求出來的曲線連續(xù)且與實(shí)際要求的曲線誤差較小。2.3 B樣條簡介 Bezier曲線或曲面有許多優(yōu)越性，但有兩點(diǎn)不足： Bezier曲線或曲面不能作局部修改； Bezier曲線或曲面的拼接比較復(fù)雜 1972年，Gordon、Riesenfeld等人發(fā)展了1946年Schoenberg提出的樣條方法 , 提出了B樣條方法，在保

5、留Bezier方法全部優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，克服了Bezier方法的弱點(diǎn)。2.3.1 B樣條的定義 如何理解B-樣條？ 樣條插值，三對(duì)角方程 (函數(shù)、參數(shù)) 給定分劃，所有的B樣條的全體組成一個(gè)線性空間，線性空間有基函數(shù)，這就是B樣條基函數(shù) 由B樣條基函數(shù)代替Bezier曲線中的Bernstein基函數(shù)，即B樣條曲線。 B樣條曲線的方程定義為： 是控制多邊形的頂點(diǎn) (i=0,1,.,n) 稱為k階（k-1次)B樣條基函數(shù) B樣條基函數(shù)是一個(gè)稱為節(jié)點(diǎn)矢量的非遞減的參數(shù)t的序列所決定的k階分段多項(xiàng)式，也即為k階（k-1次)多項(xiàng)式樣條。nikiitNPtP0,)()(), 1 , 0(niPi)(,tNki

6、德布爾和考克斯（de Boor&Cox）遞推定義 并約定OtherwisetxttNiii01)(11 ,)()()(1, 111,1,tNtttttNtttttNkiikikikiikiikiknknnnkktttttttt,111100002.3.2 B樣條的幾個(gè)重要性質(zhì) 局部性。k 階B樣條曲線上參數(shù)為 的一點(diǎn)至多與k個(gè)控制頂點(diǎn) 有關(guān)，與其它控制頂點(diǎn)無關(guān)；移動(dòng)該曲線的第i個(gè)控制頂點(diǎn)Pi至多影響到定義在區(qū)間 上那部分曲線的形狀，對(duì)曲線的其余部分不發(fā)生影響。 局部支承性,1iittt), 1(ikijPj),(kiittotherwisettttNkiiki0,0)(, 連續(xù)性 P(

7、t)在r重節(jié)點(diǎn)處的連續(xù)階不低于 k-1-r。 凸包性 P(t)在區(qū)間 上的部分位于k個(gè)點(diǎn) 的凸包 內(nèi)，整條曲線則位于各凸包 的并集之內(nèi)。 權(quán)性nikttii1),(1ikiPP,1iCiCninkkittttN011,1)( 分段參數(shù)多項(xiàng)式P(t)在每一區(qū)間上都是次數(shù)不高于k-1的參數(shù)t的多項(xiàng)式 導(dǎo)數(shù)公式 ,)() 1()()()(111,1110,0,nkkiniikiiinikiinikiittttNttPPktNPtNPtP 微分公式)(1)(1)(1, 111,1,tNttktNttktNkiikikiikiki2.3.3 B樣條曲線類型的劃分 B樣條曲線類型的劃分 曲線按其首末端點(diǎn)是

8、否重合，區(qū)分為閉曲線和開曲線。 B樣條曲線按其節(jié)點(diǎn)矢量中節(jié)點(diǎn)的分布情況，可劃分為四種類型。 均勻B樣條曲線 節(jié)點(diǎn)矢量中節(jié)點(diǎn)為沿參數(shù) 軸均勻或等距分布，所有 節(jié)點(diǎn)區(qū)間長度為常數(shù)。這樣的節(jié)點(diǎn)矢量定義了均勻的B樣條基。圖3.1.23 三次均勻的B樣條曲線 準(zhǔn)均勻B樣條 與均勻B樣條曲線的差別在于兩端節(jié)點(diǎn)具有重復(fù)度k，這樣的節(jié)點(diǎn)矢量定義了準(zhǔn)均勻的B樣條基。均勻B樣條曲線沒有保留Bezier曲線端點(diǎn)的幾何性質(zhì)，即樣條曲線的首末端點(diǎn)不再是控制多邊形的首末端點(diǎn)。采用準(zhǔn)均勻的B樣條曲線解決了這個(gè)問題圖3.1.24 準(zhǔn)均勻三次B樣條曲線 分段Bezier曲線 節(jié)點(diǎn)矢量中兩端節(jié)點(diǎn)具有重復(fù)度k，所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)重復(fù)度為k

9、-1，這樣的節(jié)點(diǎn)矢量定義了分段的Bernstein基。圖3.1.25 三次分段Bezier曲線B樣條曲線用分段Bezier曲線表示后，各曲線段就具有了相對(duì)的獨(dú)立性，移動(dòng)曲線段內(nèi)的一個(gè)控制頂點(diǎn)只影響該曲線段的形狀，對(duì)其它曲線段的形狀沒有影響。并且Bezier曲線一整套簡單有效的算法都可以原封不動(dòng)地采用。缺點(diǎn)是增加了定義曲線的數(shù)據(jù)，控制頂點(diǎn)數(shù)及節(jié)點(diǎn)數(shù)。非均勻B樣條曲線 任意分布的節(jié)點(diǎn)矢量 ，只要在數(shù)學(xué)上成立（節(jié)點(diǎn)序列非遞減，兩端節(jié)點(diǎn)重復(fù)度k，內(nèi)節(jié)點(diǎn)重復(fù)度k-1）都可選取。這樣的節(jié)點(diǎn)矢量定義了非均勻B樣條基。,21kntttTiP1iP2iP3iP)(tP(a)四頂點(diǎn)共線iP1iP2iP3iP4iP

10、三重頂點(diǎn)二重頂點(diǎn)(b)二重頂點(diǎn)和三重頂點(diǎn)iP1iP2iP1iPiP1iP2iP3iP(c)二重節(jié)點(diǎn)和三重節(jié)點(diǎn)(d)三頂點(diǎn)共線圖.1.26 三次B樣條曲線的一些特例2.4 有理有理B樣條曲線、曲面樣條曲線、曲面 給定參數(shù)軸u和v的節(jié)點(diǎn)矢量 pq階階B樣條曲面樣條曲面定義如下,10pmuuuU,10qnvvvVminjqjpiijvNuNPvuP00,)()(),( 構(gòu)成一張控制網(wǎng)格，稱為B樣條曲面的特征網(wǎng)特征網(wǎng)格格。 和 是B樣條基，分別由節(jié)點(diǎn)矢量U和V按deBoor-Cox遞推公式?jīng)Q定。)(,uNpi)(,vNqjijP00P10P20P30P01P11P21P31P02P22P12P32P0

11、3P23P33P圖3.1.33 雙三次B樣條曲面片 2.4.1 NURBS曲線與曲面 B樣條曲線包括其特例的Bezier曲線都不能精確表示出拋物線外的二次曲線，B樣條曲面包括其特例的Bezier曲面都不能精確表示出拋物面外的二次曲面，而只能給出近似表示。 提出NURBS方法，即非均勻有理非均勻有理B樣條樣條方法主要是為了找到與描述自由型曲線曲面的B樣條方法既相統(tǒng)一、又能精確表示二次曲線弧與二次曲面的數(shù)學(xué)方法。NURBS方法的主要優(yōu)點(diǎn) 既為標(biāo)準(zhǔn)解析形狀(即前面提到的初等曲線曲面)，又為自由型曲線曲面的精確表示與設(shè)計(jì)提供了一個(gè)公共的數(shù)學(xué)形式 修改控制頂點(diǎn)和權(quán)因子，為各種形狀設(shè)計(jì)提供了充分的靈活性。

12、 具有明顯的幾何解釋和強(qiáng)有力的幾何配套技術(shù) 對(duì)幾何變換和投影變換具有不變性。 非有理B樣條、有理與非有理Bezier方法是其特例。 應(yīng)用NURBS中還有一些難以解決的問題： 比傳統(tǒng)的曲線曲面定義方法需要更多的存儲(chǔ)空間 權(quán)因子選擇不當(dāng)會(huì)引起畸變 對(duì)搭接、重疊形狀的處理很麻煩。 反求曲線曲面上點(diǎn)的參數(shù)值的算法，存在數(shù)值不穩(wěn)定問題 (MAF方法) 2.4.2 NURBS曲線的定義 NURBS曲線是由分段有理B樣條多項(xiàng)式基函數(shù)定義的 nikiinikiinikiiitRPtNtNPtP0,0,0,)()()()(njkjjkiikitNtNtR0,)()()( Ri,k(t)具有k階B樣條基函數(shù)類似的

13、性質(zhì)： 局部支承性：Ri,k(t)=0，tti, ti+k 權(quán)性： 可微性：如果分母不為零，在節(jié)點(diǎn)區(qū)間內(nèi)是無限次連續(xù)可微的，在節(jié)點(diǎn)處 (k-1-r)次連續(xù)可導(dǎo)，r是該節(jié)點(diǎn)的重復(fù)度。 若i=0，則Ri,k(t)=0； 若i=+，則Ri,k(t)=1； NURBS曲線與B樣條曲線具有類似的幾何性質(zhì)： 局部性質(zhì)。 變差減小性質(zhì)。 凸包性。 在仿射與透射變換下的不變性。 在曲線定義域內(nèi)有與有理基函數(shù)同樣的可微性。 如果某個(gè)權(quán)因子為零，那么相應(yīng)控制頂點(diǎn)對(duì)曲線沒有影響。 若 ，則當(dāng) 時(shí)， 非有理與有理Bezier曲線和非有理B樣條曲線是NURBS曲線的特殊情況i,kiitttiPtP)( 2.4.3 權(quán)因

14、子的幾何意義 如果固定曲線的參數(shù)t，而使 變化，則NURBS曲線方程變成以 為參數(shù)的直線方程，即NURBS曲線上t值相同的點(diǎn)都位于同一直線上。 分別是 對(duì)應(yīng)曲線上的點(diǎn)，即N，Bi可表示為： (Pi，Bi，N，B)四點(diǎn)的交比iiiBNB,1 , 0, 1, 0iii)0;(itPB) 1 , 0;(),;(1iiitPBtPN);(iitPPiiiPBBPBN)1 ()1 (iiiiiBBBPBNNP:1:1（1）若i增大或減小，則也增大或減小，所以曲線被拉向或推離開Pi點(diǎn)；（2）若j增大或減小，曲線被推離或拉向Pj（ji）。B0P1P2P3P4P5PiBN圖 3.1.35 NURBS 曲線中的

15、權(quán)因子的作用 2.4.4 非均勻有理B樣條（NURBS）曲面 NURBS曲面的定義 1 , 0,),()()()()(),(00,;,00,00,vuvuRPvNuNvNuNPvuPminjqjpiijqjminjpiijqjminjpiijij mrnsqsprrsqjpiijqjpivNuNvNuNvuR00,;,)()()()(),( 規(guī)定四角點(diǎn)處用正權(quán)因子，即 ，其余 。 NURBS曲面的性質(zhì) 與非有理B樣條基函數(shù)相類似的性質(zhì)： 局部支承性質(zhì) 權(quán)性0,0000mnnm0ij),(,;,vuRqjpi 可微性. 在重復(fù)度為r的u節(jié)點(diǎn)處沿u向是p-r-1次連續(xù)可微，在重復(fù)度為r的v節(jié)點(diǎn)處沿v向是q-r-1次連續(xù)可微 極值.若p，q1，恒有一個(gè)極大值存在 是雙變量B樣條基函數(shù)的推廣2.5 拋物線擬合拋物線擬合 拋物線擬合是美國福特汽車公司奧維豪瑟在1986年發(fā)表的一種方法，用于配有一般2次曲線插補(bǔ)裝置的數(shù)控設(shè)備。對(duì)于給定的型值點(diǎn)和端點(diǎn)條件，一般樣條采用整體擬合法，建立方程組，然后解出各節(jié)點(diǎn)的連續(xù)條件，得出整條曲線的分段函數(shù)。拋物線擬合法是一種局部方法，被擬合曲線可以逐段延伸，不斷給出數(shù)據(jù)，便于修改和進(jìn)行計(jì)算機(jī)交互圖