向量范數(shù)迭代收斂性

1、第六章方程求根的迭代法一、教學(xué)目標(biāo)及根本要求通過對本章的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握方程求根的數(shù)值解法。二、教學(xué)內(nèi)容及學(xué)時分配本章主要介紹方程求根的迭代法。 具體內(nèi)容如下：迭代收斂性與迭代加速、 牛頓法、弦截法。三、教學(xué)重點難點1 教學(xué)重點：迭代收斂性與迭代加速、牛頓法。2.教學(xué)難點：迭代的收斂性。四、教學(xué)中應(yīng)注意的問題多媒體課堂教學(xué)為主。適當(dāng)提問，加深學(xué)生對概念的理解向量范數(shù)、迭代收斂性6.1向量和矩陣的范數(shù)1、向量的范數(shù)對向量X =(X!,X2,.Xn)T ,其長度記作X 2 = , xX2Xn ,借助長度可刻 畫向量的收斂性* * * *X = (Xi ,X2，Xn )亠 宀X(k)=(X(k)X

2、(k) X (k)T向量序列 X(X1 ，X2,.Xn )(k)的充要條件是除長度外，還有哪些反映收斂性的度量?X=(X|,X2,Xn)T，其范數(shù)記為X，是一個實數(shù)，滿足:1)對任意向量X， X - 0，當(dāng)且僅當(dāng)X = 0時X =0 ；3)任意向量x，y , xr遼x y (三角不等式) 按上述定義，存在多種范數(shù)，常用范數(shù)有：n|x/(送 Xi2)1/21) 2范數(shù)：vn|x|i =遲 |Xi2) 1范數(shù)：i 4, I x = max xi3) 閃范數(shù)：co 1空inix 廠任 Xip)1/p上述都是P范數(shù)特例：V定理1對任意向量X ：哩心=|船。證：P163不同方式規(guī)定的范數(shù)，其值一般不同，

3、但在各種范數(shù)下考慮向量系列的收 斂性時，所有范數(shù)都是一致的，向量范數(shù)具有等價性。范數(shù)等價性：1X1嚴(yán)1岡。岡嚴(yán)札，稱| Xljxlq等價。范數(shù)等價性保證應(yīng)用具體范數(shù)分析收斂性的合法性。對向量序列LX(k)收斂到x的充分必要條件是：對于給定的 P,有:2、lim x(k) -xkr0矩陣的范數(shù)A，即:對n階方陣A,將Ax/x (X = 0)的上確界稱作矩陣A的范數(shù)，記為矩陣范數(shù)具有如下性質(zhì):1)A，當(dāng)且僅當(dāng)A=0時A =02) 對任意實數(shù)人和任意方陣A,有：咧二九lA3) |A+B 勻A+IB,IAB 勻ABA由于=maxx -0Ax/x 二maxxM1故矩陣范數(shù)亦可等價定義為:矩陣范數(shù)和向量范

4、數(shù)密切相關(guān)，相應(yīng)于向量的范數(shù)，記n定理 2 對 n 階方陣 A =(aj)m n，有:A ： - max aj1豈彳j _iAp二 maxAxP。aij分別稱為矩陣的行范數(shù)和列范數(shù)。 6.3迭代過程的收斂性1、迭代收斂的充分條件定理3對給定方陣G，假設(shè)G ：1，那么矩陣I-G為非奇異。(反證法)定理4方程組Ax二b，迭代公式x(k =Gx(k) d，假設(shè)G 1，那么迭代 公式對于任意初值x(0)均收斂。證：P1662、對角占優(yōu)方程組對角占優(yōu)：矩陣A的主對角元素的絕對值大于同行其他元素絕對值之和， 即nZ aij 總，i =1,2，nj圭定理5假設(shè)A為對角占優(yōu)陣，那么它是非奇異的。證：P166定理6假設(shè)線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A為對角占優(yōu)矩陣，那么雅克比和高斯-賽德爾迭代法收斂。證：P167使 Cond(pAQ)