層次分析法建模

1、什么是層次分析法層次分析法（The analytic hierarchy process）簡稱AHP，在20世紀(jì)70年代中期由美國運(yùn)籌學(xué)家托馬斯·塞蒂?zèng)Q策問題上的實(shí)用性和有效性，很快在世界范圍得到重視。它的應(yīng)用已遍及經(jīng)濟(jì)計(jì)劃和管理、能源政策和分配、行為科學(xué)、軍事指揮、運(yùn)輸、農(nóng)業(yè)、教育、人才、醫(yī)療和環(huán)境等領(lǐng)域。 層次分析法的基本思路與人對一個(gè)復(fù)雜的決策問題的思維、判斷過程大體上是一樣的。不妨用假期旅游為例：假如有3個(gè)旅游勝地A、B、C供你選擇，你會(huì)根據(jù)諸如景色、費(fèi)用和居住、飲食、旅途條件等一些準(zhǔn)則去反復(fù)比較這3個(gè)候選地點(diǎn)首先，你會(huì)確定這些準(zhǔn)則在你的心目中各占多大比重，如果你經(jīng)濟(jì)寬綽、醉

2、心旅游，自然分別看重景色條件，而平素儉樸或手頭拮據(jù)的人則會(huì)優(yōu)先考慮費(fèi)用，中老年旅游者還會(huì)對居住、飲食等條件寄以較大關(guān)注。其次，你會(huì)就每一個(gè)準(zhǔn)則將3個(gè)地點(diǎn)進(jìn)行對比，譬如A景色最好，B次之；B費(fèi)用最低，C次之；C居住等條件較好等等。最后，你要將這兩個(gè)層次的比較判斷進(jìn)行綜合，在A、B、C中確定哪個(gè)作為最佳地點(diǎn)。 編輯層次分析法的基本步驟1、建立層次結(jié)構(gòu)模型。在深入分析實(shí)際問題的基礎(chǔ)上，將有關(guān)的各個(gè)因素按照不同屬性自上而下地分解成若干層次，同一層的諸因素從屬于上一層的因素或?qū)ι蠈右蛩赜杏绊?，同時(shí)又支配下一層的因素或受到下層因素的作用。最上層為目標(biāo)層，通常只有1個(gè)因素，最下層通常為方案或?qū)ο髮?，中間可以

3、有一個(gè)或幾個(gè)層次，通常為準(zhǔn)則或指標(biāo)層。當(dāng)準(zhǔn)則過多時(shí)(譬如多于9個(gè))應(yīng)進(jìn)一步分解出子準(zhǔn)則層。 2、構(gòu)造成對比較陣。從層次結(jié)構(gòu)模型的第2層開始，對于從屬于(或影響)上一層每個(gè)因素的同一層諸因素，用成對比較法和19比較尺度構(gòu)造成對比較陣，直到最下層。 3、計(jì)算權(quán)向量并做一致性檢驗(yàn)。對于每一個(gè)成對比較陣計(jì)算最大特征根及對應(yīng)特征向量，利用一致性指標(biāo)、隨機(jī)一致性指標(biāo)和一致性比率做一致性檢驗(yàn)。若檢驗(yàn)通過，特征向量(歸一化后)即為權(quán)向量：若不通過，需重新構(gòu)造成對比較陣。 4、計(jì)算組合權(quán)向量并做組合一致性檢驗(yàn)。計(jì)算最下層對目標(biāo)的組合權(quán)向量，并根據(jù)公式做組合一致性檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)通過，則可按照組合權(quán)向量表示的結(jié)果進(jìn)行

4、決策，否則需要重新考慮模型或重新構(gòu)造那些一致性比率較大的成對比較陣。 編輯層次分析法的優(yōu)點(diǎn)運(yùn)用層次分析法有很多優(yōu)點(diǎn)，其中最重要的一點(diǎn)就是簡單明了。層次分析法不僅適用于存在不確定性和主觀信息的情況，還允許以合乎邏輯的方式運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)、洞察力和直覺。也許層次分析法最大的優(yōu)點(diǎn)是提出了層次本身，它使得買方能夠認(rèn)真地考慮和衡量指標(biāo)的相對重要性。 編輯建立層次結(jié)構(gòu)模型 將問題包含的因素分層：最高層（解決問題的目的）；中間層（實(shí)現(xiàn)總目標(biāo)而采取的各種措施、必須考慮的準(zhǔn)則等。也可稱策略層、約束層、準(zhǔn)則層等）；最低層（用于解決問題的各種措施、方案等）。把各種所要考慮的因素放在適當(dāng)?shù)膶哟蝺?nèi)。用層次結(jié)構(gòu)圖清晰地表達(dá)這些因

5、素的關(guān)系。 例1 購物模型 某一個(gè)顧客選購電視機(jī)時(shí)，對市場正在出售的四種電視機(jī)考慮了八項(xiàng)準(zhǔn)則作為評(píng)估依據(jù)，建立層次分析模型如下： 例2 選拔干部模型 對三個(gè)干部候選人y1、y2 、y3，按選拔干部的五個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：品德、才能、資歷、年齡和群眾關(guān)系，構(gòu)成如下層次分析模型： 假設(shè)有三個(gè)干部候選人y1、y2 、y3，按選拔干部的五個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：品德，才能，資歷，年齡和群眾關(guān)系，構(gòu)成如下層次分析模型 編輯構(gòu)造成對比較矩陣 比較第 i 個(gè)元素與第 j 個(gè)元素相對上一層某個(gè)因素的重要性時(shí)，使用數(shù)量化的相對權(quán)重aij來描述。設(shè)共有 n 個(gè)元素參與比較，則稱為成對比較矩陣。 成對比較矩陣中aij的取值可參考 Satty

6、的提議，按下述標(biāo)度進(jìn)行賦值。aij在 1-9 及其倒數(shù)中間取值。 · aij = 1，元素 i 與元素 j 對上一層次因素的重要性相同； · aij = 3，元素 i 比元素 j 略重要； · aij = 5，元素 i 比元素 j 重要； · aij = 7， 元素 i 比元素 j 重要得多； · aij = 9，元素 i 比元素 j 的極其重要； · aij = 2n，n=1,2,3,4，元素 i 與 j 的重要性介于aij = 2n 1與aij = 2n + 1之間； · ，n=1,2,.,9， 當(dāng)且僅當(dāng)aji = n。

7、 成對比較矩陣的特點(diǎn)：。（備注：當(dāng)i=j時(shí)候，aij = 1） 對例 2， 選拔干部考慮5個(gè)條件：品德x1，才能x2，資歷x3，年齡x4，群眾關(guān)系x5。某決策人用成對比較法，得到成對比較陣如下： a14 = 5 表示品德與年齡重要性之比為 5，即決策人認(rèn)為品德比年齡重要。 編輯作一致性檢驗(yàn) 從理論上分析得到：如果A是完全一致的成對比較矩陣，應(yīng)該有 但實(shí)際上在構(gòu)造成對比較矩陣時(shí)要求滿足上述眾多等式是不可能的。因此退而要求成對比較矩陣有一定的一致性，即可以允許成對比較矩陣存在一定程度的不一致性。 由分析可知，對完全一致的成對比較矩陣，其絕對值最大的特征值等于該矩陣的維數(shù)。對成對比較矩陣 的一致性要

8、求，轉(zhuǎn)化為要求： 的絕對值最大的特征值和該矩陣的維數(shù)相差不大。 檢驗(yàn)成對比較矩陣A一致性的步驟如下： · 計(jì)算衡量一個(gè)成對比矩陣 A （n>1 階方陣）不一致程度的指標(biāo)CI： RI是這樣得到的:對于固定的n,隨機(jī)構(gòu)造成對比較陣A, 其中aij是從1,2,9,1/2,1/3,1/9中隨機(jī)抽取的. 這樣的A是不一致的, 取充分大的子樣得到A的最大特征值的平均值 n123456789 RI000.580.901.121.241.321.411.45 注解: · 從有關(guān)資料查出檢驗(yàn)成對比較矩陣 A 一致性的標(biāo)準(zhǔn)RI：RI稱為平均隨機(jī)一致性指標(biāo)，它只與矩陣階數(shù) n 有關(guān)。 &#

9、183; 按下面公式計(jì)算成對比較陣 A 的隨機(jī)一致性比率 CR： 。 · 判斷方法如下： 當(dāng)CR<0.1時(shí)，判定成對比較陣 A 具有滿意的一致性，或其不一致程度是可以接受的；否則就調(diào)整成對比較矩陣 A，直到達(dá)到滿意的一致性為止。 例如對例 2 的矩陣 計(jì)算得到,查得RI=1.12， 這說明 A 不是一致陣，但 A 具有滿意的一致性，A 的不一致程度是可接受的。 此時(shí)A的最大特征值對應(yīng)的特征向量為U=(-0.8409,-0.4658,-0.0951,-0.1733,-0.1920)。 這個(gè)向量也是問題所需要的。通常要將該向量標(biāo)準(zhǔn)化：使得它的各分量都大于零，各分量之和等于 1。該特

10、征向量標(biāo)準(zhǔn)化后變成U = (0.457,0.263,0.051,0.103,0.126)Z。經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化后這個(gè)向量稱為權(quán)向量。這里它反映了決策者選拔干部時(shí)，視品德條件最重要，其次是才能，再次是群眾關(guān)系，年齡因素，最后才是資歷。各因素的相對重要性由權(quán)向量U的各分量所確定。 求A的特征值的方法，可以用 MATLAB 語句求A的特征值:Y,D=eig（A），Y為成對比較陣 的特征值，D 的列為相應(yīng)特征向量。 在實(shí)踐中，可采用下述方法計(jì)算對成對比較陣A = (aij)的最大特征值max(A)和相應(yīng)特征向量的近似值。 定義 ， 可以近似地看作A的對應(yīng)于最大特征值的特征向量。 計(jì)算 可以近似看作A的最大特征

11、值。實(shí)踐中可以由來判斷矩陣A的一致性。 層次總排序及決策 現(xiàn)在來完整地解決例 2 的問題，要從三個(gè)候選人y1,y2,y3中選一個(gè)總體上最適合上述五個(gè)條件的候選人。對此，對三個(gè)候選人y = y1,y2,y3分別比較他們的品德(x1)，才能(x2)，資歷(x3)，年齡(x4)，群眾關(guān)系(x5)。 先成對比較三個(gè)候選人的品德，得成對比較陣 經(jīng)計(jì)算，B1的權(quán)向量 x1(Y) = (0.082,0.244,0.674)z 故B1的不一致程度可接受。x1(Y)可以直觀地視為各候選人在品德方面的得分。 類似地，分別比較三個(gè)候選人的才能，資歷，年齡，群眾關(guān)系得成對比較陣 通過計(jì)算知，相應(yīng)的權(quán)向量為 它們可分別

12、視為各候選人的才能分，資歷分，年齡分和群眾關(guān)系分。經(jīng)檢驗(yàn)知B2,B3,B4,B5的不一致程度均可接受。 最后計(jì)算各候選人的總得分。y1的總得分 從計(jì)算公式可知，y1的總得分(y1)實(shí)際上是y1各條件得分x1(y1) ,x2(y1) ,.,x5(y1) ,的加權(quán)平均, 權(quán)就是各條件的重要性。同理可得y2,Y3 的得分為 z(y2) = 0.243,z(y3) = 0.452 0.4570.2630.0510.1030.126總得分 Y10.0820.6060.4290.6360.1670.305 Y20.2440.2650.4290.1850.1670.243 Y30.6740.1290.143

13、0.1790.6670.452 即排名:Y3 > Y1 > Y2 比較后可得：候選人y3是第一干部人選。 編輯層次分析法的用途舉例 例如，某人準(zhǔn)備選購一臺(tái)電冰箱，他對市場上的6種不同類型的電冰箱進(jìn)行了解后，在決定買那一款式時(shí)，往往不是直接拿電冰箱整體進(jìn)行比較，因?yàn)榇嬖谠S多不可比的因素，而是選取一些中間指標(biāo)進(jìn)行考察。例如電冰箱的容量、制冷級(jí)別、價(jià)格、型號(hào)、耗電量、外界信譽(yù)、售后服務(wù)等。然后再考慮各種型號(hào)冰箱在上述各中間標(biāo)準(zhǔn)下的優(yōu)劣排序。借助這種排序，最終作出選購決策。在決策時(shí)，由于6種電冰箱對于每個(gè)中間標(biāo)準(zhǔn)的優(yōu)劣排序一般是不一致的，因此，決策者首先要對這7個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的重要度作一個(gè)估計(jì)，給

14、出一種排序，然后把6種冰箱分別對每一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的排序權(quán)重找出來，最后把這些信息數(shù)據(jù)綜合，得到針對總目標(biāo)即購買電冰箱的排序權(quán)重。有了這個(gè)權(quán)重向量，決策就很容易了。 編輯層次分析法應(yīng)用的程序運(yùn)用AHP法進(jìn)行決策時(shí)，需要經(jīng)歷以下4個(gè)步驟： 1、建立系統(tǒng)的遞階層次結(jié)構(gòu)； 2、構(gòu)造兩兩比較判斷矩陣；（正互反矩陣） 3、針對某一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)算各備選元素的權(quán)重； 4、計(jì)算當(dāng)前一層元素關(guān)于總目標(biāo)的排序權(quán)重。 5、進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。 編輯應(yīng)用層次分析法的注意事項(xiàng)如果所選的要素不合理，其含義混淆不清，或要素間的關(guān)系不正確，都會(huì)降低AHP法的結(jié)果質(zhì)量，甚至導(dǎo)致AHP法決策失敗。 為保證遞階層次結(jié)構(gòu)的合理性，需把握以下原則： 1、分解簡化問題時(shí)把握主要因素，不漏不多； 2、注意相比較元素之間的強(qiáng)度關(guān)系，相差太懸殊的要素不能在同一層次比較。 編輯層次分析法應(yīng)用實(shí)例1、建立遞階層次結(jié)構(gòu)； 2、構(gòu)造兩兩比較判斷矩陣；（正互反矩陣） 對各指標(biāo)之間進(jìn)行兩兩對比之后，然后按9分位比率排定各評(píng)價(jià)指標(biāo)的相對優(yōu)劣順序，依次構(gòu)造出評(píng)價(jià)指標(biāo)的判斷矩陣。 3、針對某一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)算各備選元素的權(quán)重； 關(guān)于判斷矩陣權(quán)重計(jì)算的方法有兩種，即幾何平均法（根法）和規(guī)范列平均法（和法）。 （1）幾何平均法（根法） 計(jì)算判斷矩陣A各行各個(gè)元素mi的乘積； 計(jì)算mi的n次方根； 對向量進(jìn)行歸一