(完整word版)高等代數(shù)北大版教學(xué)案_第6章線性空間

1、word 格式文檔第六章線性空間§ 1 集合映射一 授課內(nèi)容 : § 1 集合映射二 教學(xué)目的 : 通過本節(jié)的學(xué)習(xí) , 掌握集合映射的有關(guān)定義、 運(yùn)算 , 求和號(hào)與乘積號(hào)的定義 .三 教學(xué)重點(diǎn) : 集合映射的有關(guān)定義 .四 教學(xué)難點(diǎn) : 集合映射的有關(guān)定義 .五 教學(xué)過程 :1. 集合的運(yùn)算 , 集合的映射 ( 像與原像、單射、滿射、雙射 ) 的概念定義 : ( 集合的交、并、差) 設(shè) S 是集合 , A 與 B 的公共元素所組成的集合成為 A 與 B 的交集 , 記作 A B ；把 A 和 B 中的元素合并在一起組成的集合成為 A與 B的并集, 記做 AB ；從集合 A

2、中去掉屬于 B 的那些元素之后剩下的元素組成的集合成為A與 B的差集,記做 A B.定義 : ( 集合的映射 ) 設(shè) A 、B 為集合 . 如果存在法則 f , 使得 A 中任意元素 a 在法則 f 下對(duì)應(yīng) B 中唯一確定的元素 ( 記做 f (a) ), 則稱 f 是 A 到 B的一個(gè)映射 , 記為f : AB, af (a).如果 f (a) b B , 則 b 稱為 a 在 f 下的像 , a 稱為 b 在 f 下的原像 . A的所有元素在f 下的像構(gòu)成的B 的子集稱為 A 在 f 下的像 , 記做 f ( A) , 即f ( A)f (a) | aA .若aa'A, 都有 f

3、(a)f (a' ),則稱 f 為單射 . 若bB, 都存在a A, 使得 f (a) b , 則稱 f 為滿射 . 如果 f 既是單射又是滿射 , 則稱 f 為雙射 , 或稱一一對(duì)應(yīng) .2. 求和號(hào)與求積號(hào)(1) 求和號(hào)與乘積號(hào)的定義為了把加法和乘法表達(dá)得更簡(jiǎn)練, 我們引進(jìn)求和號(hào)和乘積號(hào).設(shè)給定某個(gè)數(shù)域 K 上 n 個(gè)數(shù) a1 ,a2 , an , 我們使用如下記號(hào) :專業(yè)資料整理word 格式文檔nna1 a2anai , a1 a2 anai .i 1i 1當(dāng)然也可以寫成a1 a2anai , a1 a2 anai .1 in1 i n(2) 求和號(hào)的性質(zhì)容易證明 ,nnnnnn

4、mmnaiai ,( ai bi )aibi ,aijaij .i 1i 1i 1i 1i 1i 1 j 1j 1 i 1事實(shí)上 , 最后一條性質(zhì)的證明只需要把各個(gè)元素排成如下形狀:a11a12a1ma21a22a2man1an 2anm分別先按行和列求和, 再求總和即可 .§ 2 線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì)一 授課內(nèi)容： § 2 線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì)二教學(xué)目的： 通過本節(jié)的學(xué)習(xí) , 掌握線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì).三教學(xué)重點(diǎn)： 線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì).四教學(xué)難點(diǎn)： 線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì).五 教學(xué)過程：1. 線性空間的定義(1) 定義 4.1 ( 線性空間 ) 設(shè) V

5、 是一個(gè)非空集合 , 且 V 上有一個(gè)二元運(yùn)算“ +” (V V V ) , 又設(shè) K 為數(shù)域 ,V 中的元素與 K 中的元素有運(yùn)算數(shù)量專業(yè)資料整理word 格式文檔乘法“ ?” (K VV ) , 且“ +”與“ ? ”滿足如下性質(zhì) :1、 加法交換律,V , 有；2、 加法結(jié)合律,V, 有 ()() ；3、 存在“零元” , 即存在 0V,使得V ,0；4、 存在負(fù)元 , 即V,存在V,使得0 ；5、 “1 律”1?；6、 數(shù)乘結(jié)合律k, lK ,V , 都有 (kl )k (l)l (k ) ；7、 分配律k,lK ,V , 都有 ( kl )kl；8、 分配律kK ,V , 都有 k(

6、)kk,則稱 V 為 K 上的一個(gè) 線性空間 , 我們把線性空間中的元素稱為向量 . 注意 :線性空間依賴于“ +”和“ ? ”的定義 , 不光與集合 V 有關(guān) .(2) 零向量和負(fù)向量的唯一性 , 向量減法的定義 , 線性空間的加法和數(shù)乘運(yùn)算與通常數(shù)的加、乘法類似的性質(zhì)命題 4.1 零元素唯一 , 任意元素的負(fù)元素唯一 .證明: 設(shè) 0 與 0 '均是零元素 , 則由零元素的性質(zhì) , 有 00'00' ；V ,設(shè),'都是的負(fù)向量,則0(')'()0,于是命題得證 . 由于負(fù)向量唯一 , 我們用代表的負(fù)向量 .定義 4.2 ( 減法 ) 我們定義

7、二元運(yùn)算減法“- ”如下 :定義為() .命題 4.2線性空間中的加法和數(shù)乘滿足如下性質(zhì) :1、 加法滿足消去律；2、 可移項(xiàng)；3、 可以消因子k且 k0 , 則1；k4、 0?0,k ?0 0,( 1).(3) 線性空間的例子專業(yè)資料整理word 格式文檔例 4.1 令 V表示在 (a, b) 上可微的函數(shù)所構(gòu)成的集合 , 令 K ? ,V 中加法的定義就是函數(shù)的加法 , 關(guān)于 K 的數(shù)乘就是實(shí)數(shù)遇函數(shù)的乘法 ,V 構(gòu)成 K 上的線性空間 .線性空間中線性組合和線性表出的定義 , 向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義以及等價(jià)表述 , 向量組的秩 , 向量組的線性等價(jià)；極大線性無關(guān)組 .定義 4.

8、3 ( 線性組合 )給定 V 內(nèi)一個(gè)向量組1, 2 ,L , s , 又給定數(shù)域 K內(nèi) s 個(gè)數(shù) k1, k2 ,L , ks , 稱 k1 1k22Lks s 為向量組1 ,2,L , s 的一個(gè)線性組合 .定義 4.4 ( 線性表出 )給定 V 內(nèi)一個(gè)向量組1 , 2 ,L ,s , 設(shè)是 V 內(nèi)的一個(gè)向量 , 如果存在 K 內(nèi) s 個(gè)數(shù) k1 , k2 ,L , ks , 使得k1 1k22Lks s ,則稱向量可以被向量組1, 2 ,L ,s 線性表出 .定義4.5 ( 向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān))給定V 內(nèi)一個(gè)向量組1 ,2 ,L , s , 如果對(duì)V 內(nèi)某一個(gè)向量, 存在數(shù)域K 內(nèi)

9、不全為零的數(shù)k1, k2 ,L ,ks , 使得 k1 1k22Lks s0 , 則稱向量組1,2 ,L , s 線性相關(guān)；若由方程 k1 1k22Lkss0 必定推出 k1k2Lks0 , 則稱向量組1,2 ,L ,s 線性無關(guān) .命題 4.3設(shè)1 , 2 ,LsV , 則下述兩條等價(jià) :1)1,2 ,Ls 線性相關(guān)；2) 某個(gè) i 可被其余向量線性表示 .證明同向量空間 .定義 4.6 ( 線性等價(jià) )給定 V 內(nèi)兩個(gè)向量組1 ,2 ,L,r1 ,2 ,L,s(),(),如果 ( ) 中任一向量都能被( ) 線性表示 , 反過來 ,( ) 中任一向量都能被 ( ) 線性表示 , 則稱兩向量

10、組 線性等價(jià) .定義 4.7 ( 極大線性無關(guān)部分組 ) 給定 V 內(nèi)一個(gè)向量組1,2 ,L , s , 如專業(yè)資料整理word 格式文檔果它有一個(gè)部分組i1 ,i2 ,L , ir 滿足如下條件 :(i) 、 i1 , i2 ,L , ir 線性無關(guān)；(ii)、原向量組中任一向量都能被i1 , i2 ,L , ir 線性表示 ,則稱此部分組為原向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)部分組 .由于在向量空間中我們證明的關(guān)于線性表示和線性等價(jià)的一些命題中并沒有用到K n 的一些特有的性質(zhì), 于是那些命題在線性空間中依然成立 .定義 4.8 ( 向量組的秩 )一個(gè)向量組的任一極大線性無關(guān)部分組中均包含相同數(shù)目的

11、向量 , 其向量數(shù)目成為該向量組的 秩 .例 4.2求證 : 向量組 e 1x , e2 x 的秩等于 2( 其中12 ).證明 : 方法一 : 設(shè) k1, k2 R, 滿足 k1e 1 xk2 e 2 x0 , 則 k1e 1xk2 e 2x , 假若 k1 , k2 不全為零 , 不妨設(shè) k10 , 則有 e( 12 ) xk2 , 而由于 12,等號(hào)左k1邊為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù) , 矛盾于等號(hào)右邊為常數(shù) . 于是 k1 k20 .所以 e 1x ,e 2 x 線性無關(guān) , 向量組的秩等于 2.證畢 .方法二 : 若在 (a, b) 上 k1e 1 xk2e 2 x0 ,兩端求導(dǎo)數(shù) , 得 k1

12、1e 1 xk2 2e 2 x0 ,以 x c(a,b) 代入 , 有k1e 1ck2e 2 c0,k1 1e 1ck2 2e 2 c0.而 e 1ce 2ce( 12 )c ( 21) 0,1e 2 c2e 2 c于是 k1k2 0 . 證畢 .專業(yè)資料整理word 格式文檔§3 維數(shù)、基與坐標(biāo)一 授課內(nèi)容 :二 教學(xué)目的 :§ 3 維數(shù)、基與坐標(biāo)通過本節(jié)的學(xué)習(xí) , 掌握線性空間的基與維數(shù), 向量的坐標(biāo)的有關(guān)定義及性質(zhì) .三 教學(xué)重點(diǎn) : 基與維數(shù)、向量坐標(biāo)的有關(guān)定義.四 教學(xué)難點(diǎn) : 基與維數(shù)、向量坐標(biāo)的有關(guān)定義.五 教學(xué)過程 :1. 線性空間的基與維數(shù) , 向量的坐標(biāo)

13、設(shè) V 是數(shù)域 K 上的線性空間 , 則有 :定義 4.9 ( 基和維數(shù) ) 如果在 V 中存在 n 個(gè)向量1 , 2 ,L ,n , 滿足 :1)1 , 2 ,L , n 線性無關(guān)；2)V 中任一向量在 K 上可表成1 , 2 ,L ,n 的線性組合 ,則稱1,2 ,L , n 為 V 的一組基 .基即是 V 的一個(gè)極大線性無關(guān)部分組. 基的個(gè)數(shù)定義為線性空間的維數(shù) .命題 4.4設(shè) V 是數(shù)域 K 上的 n 維線性空間 , 而1, 2 ,L , nV . 若 V中任一向量皆可被1,2 ,L , n 線性表出 , 則1, 2 ,L , n 是 V 的一組基 .證明 : 由1 , 2 ,L ,

14、n 與 V 的一組基線性等價(jià)可以推出它們的秩相等.命題 4.5設(shè) V 為 K 上的 n 維線性空間 ,1 , 2 ,L ,nV , 則下述兩條等價(jià) :1)1 , 2 ,L , n 線性無關(guān)；2)V 中任一向量可被1 , 2 ,L ,n 線性表出 .定義 4.10 ( 向量的坐標(biāo) ) 設(shè) V為 K上的 n 維線性空間 ,1 , 2 ,L , n 是它的一組基 . 任給V , 由命題 4.4,可唯一表示為1, 2 ,L , n 的線性組合 ,即! aiK ,(i1,2,L , n) , 使 得a1 1a2 2Lan n , 于 是我 們 稱a1 ,a2 ,L , an 為在基1, 2 ,L , n

15、 下的坐標(biāo) .易見 , 在某組基下的坐標(biāo)與V/K 中的向量是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系.專業(yè)資料整理word 格式文檔§4 基變換與坐標(biāo)變換一 授課內(nèi)容 :二 教學(xué)目的 :§ 4 基變換與坐標(biāo)變換通過本節(jié)的學(xué)習(xí) , 掌握基變換與過渡矩陣的定義、運(yùn)算,坐標(biāo)變換公式 .三 教學(xué)重點(diǎn) : 基變換與過渡矩陣的定義、運(yùn)算,坐標(biāo)變換公式 .四 教學(xué)難點(diǎn) : 坐標(biāo)變換公式的應(yīng)用 .五 教學(xué)過程 :1. 線性空間的基變換 , 基的過渡矩陣設(shè) V/K 是 n 維線性空間 , 設(shè) 1,2 ,L,n 和1 ,2 ,L, n 是兩組基 , 且1t11 1t21 2Ltn1 n ,2t12 1t22 2 Ltn

16、2 n ,LLLLLLLLLLLnt1n 1t2 n 2 Ltnn n .將其寫成矩陣形式t11t12Lt1n( 1, 2 ,L , n )( 1 , 2 ,L , n )t21t22Lt2n.MMMtn1t n2Ltnn定義 4.11我們稱矩陣t11t12Lt1nTt21t 22Lt2 nMMMtn1tn 2Ltnn為從 1, 2,L ,n 到 1 , 2 ,L ,n 的過渡矩陣 .命題 4.6設(shè)在 n 維線性空間 V/K 中給定一組基1, 2 ,L , n .T 是 K 上一個(gè) n 階方陣 . 命( 1, 2 ,L , n )( 1 , 2 ,L , n )T .專業(yè)資料整理word 格式

17、文檔則有 1,2,L ,n 是 V/K 的一組基 , 當(dāng)且僅當(dāng) T 可逆 .證明: 若 1, 2,L ,n 是線性空間 V/K 的一組基 , 則 1, 2 ,L ,n 線性無關(guān) .考察同構(gòu)映射: VK n ,在1 ,2 , n下的坐標(biāo) , 構(gòu)造方程k1( 1)k2( 2 )Lkn ( n ) 0,其中 kiK ,( i1,2,L, n) ,(k1 1k2 2 Lkn n )0k1 1 k2 2Lkn n0 ,k1k2Lkn0( 1),( 2),L ,( n ) 線性無關(guān) .( 1 ),( 2 ),L ,( n ) 構(gòu)成了過渡矩陣的列向量, 所以過渡矩陣可逆；反過來 , 若過渡矩陣可逆 , 則構(gòu)

18、造方程k1 1k2 2Lkn n0 , 其中 kiK ,( i1,2,L , n) ,兩邊用作用 ,得到 k1( 1 )k2( 2 )Lkn( n )0 ,k1k2Lkn0.證畢.2. 向量的坐標(biāo)變換公式； K n 中的兩組基的過渡矩陣(1) 向量的坐標(biāo)變換公式設(shè) V/K 有兩組基為1, 2 ,L , n 和 1 , 2 ,L , n , 又設(shè)在 1, 2 ,L , n 下的坐標(biāo)為a1 , a2 ,L , an , 即a1( 1, 2 ,L , n ) a2,Man在1 , 2 ,L , n 下的坐標(biāo)為 (b1, b2 ,L , bn ) , 即b1( 1, 2 ,L , n ) b2.Mbn

19、現(xiàn)在設(shè)兩組基之間的過渡矩陣為T, 即 ( 1 , 2 ,L , n )( 1 , 2 ,L , n )T .記專業(yè)資料整理word 格式文檔a1b1Xa2, Yb2 ,MManbn于是( 1 , 2 ,L , n ) X( 1, 2 ,L , n )Y( 1 , 2 ,L , n )T Y( 1, 2 ,L , n )(TY) .于是 , 由坐標(biāo)的唯一性 , 可以知道 XTY , 這就是坐標(biāo)變換公式 .(2) K n 中兩組基的過渡矩陣的求法我們?cè)O(shè) K n 中兩組基分別為12L LnL, a1n ),1(b11, b12 ,L,b1n ),(a11 , a12 ,(a21 , a22 ,L,

20、a2 n ),和2(b21,b22,L, b2 n ),LLLLLLLLLLLLLL( an1, an 2 ,L, ann ).n(bn1 ,bn 2 ,L, bnn ).而( 1, 2 ,L ,n )( 1 , 2 ,L , n )T .按定義 ,T 的第 i 個(gè)列向量分別是i 在基 1, 2 ,L , n 下的坐標(biāo) .將 1 , 2 ,L , n 和 1 , 2 ,L , n 看作列向量分別排成矩陣a11a12La1 nb11b12L b1nAa21a22La2 n ； Bb21b22L b2n,MMMMMMan1an 2L annbn1bn 2L bnn則有 BAT , 將 A和 B拼成

21、 n2n 分塊矩陣 A | B , 利用初等行變換將左邊矩陣 A 化為單位矩陣 E, 則右邊出來的就是過渡矩陣T, 示意如下 :(A|B)行初等變換(E|T) .專業(yè)資料整理word 格式文檔§5線性子空間一 授課內(nèi)容 :二 教學(xué)目的 :三 教學(xué)重點(diǎn) :§ 5 線性子空間通過本節(jié)的學(xué)習(xí) , 掌握線性子空間的定義、判別定理.線性子空間的定義、判別定理.四 教學(xué)難點(diǎn) : 線性子空間的判別定理 .五 教學(xué)過程 :1. 線性空間的子空間的定義定義 4.12 ( 子空間 ) 設(shè) V 是數(shù)域 K 上的一個(gè)線性空間 ,M 時(shí) V的一個(gè)非空子集 . 如果 M關(guān)于 V 內(nèi)的加法與數(shù)乘運(yùn)算也組

22、成數(shù)域 K 上的一個(gè)線性空間, 則稱為 V 的一個(gè)子空間 .命題 4.7設(shè) V 是 K 上的線性空間 , 又設(shè)一個(gè)非空集合 WV , 則 W 是子空間當(dāng)且僅當(dāng)下述兩條成立:i) W 對(duì)減法封閉； ii) W 對(duì)于 K 中元素作數(shù)乘封閉 .證明 : 必要性由定義直接得出；充分性 : 各運(yùn)算律在 V 中已有 , 所以 W滿足運(yùn)算律的條件 .只需要證明 0W 且對(duì)于任意W ,W , 且對(duì)加法封閉即可 .事實(shí)上,由于W關(guān)于數(shù)乘封閉 ,則0?0W；( 1)?W ,于是對(duì)于,W ,()W ,W關(guān)于加法封閉 . 于是 W是 V的一個(gè)子空間 .證畢 .事實(shí)上 ,W關(guān)于加法和數(shù)乘封閉也可以得出上述結(jié)論.命題 4

23、.8設(shè) W是 V 的一個(gè)有限維子空間 , 則 W的任一組基可以擴(kuò)充為 V的一組基 .證明 : 設(shè) dimVn , dimW r , (rn) , 若 rn , 則命題為真；若 r n , 對(duì) nr 作歸納 : 設(shè) 1, 2 ,L ,r 為 W 的一組基 , 取 r 1VW ,則L線性無關(guān). 于是令W ' k r 1 |W , k K ,易1, 2 , r , r 1見 ,W是 V 的一個(gè)子空間 , 且 dim W 'r1 , 此時(shí) n dim W ' nr1 , 對(duì)其用歸納假設(shè)即可 .專業(yè)資料整理word 格式文檔§ 6 子空間的交與和一 授課內(nèi)容 :

24、67; 6 子空間的交與和二 教學(xué)目的 : 通過本節(jié)的學(xué)習(xí) , 掌握子空間的交與和的定義、性質(zhì)及維數(shù)公式 .三 教學(xué)重點(diǎn) : 子空間的交與和的定義及維數(shù)公式.四 教學(xué)難點(diǎn) : 子空間的交與和的性質(zhì)及維數(shù)公式.五 教學(xué)過程 :1. 子空間的交與和 , 生成元集定義 4.13設(shè) 1, 2 ,L , tV , 則k11k2 2 Lktt | kiK , i1,2,L,t是 V 的一個(gè)子空間 , 稱為由 1 ,2,L ,t 生成的子空間 , 記為 L (1, 2,L, t ) .易見 , 生成的子空間的維數(shù)等于1, 2,L ,t 的秩 .定義 4.14 ( 子空間的交與和 ) 設(shè) V1,V2為線性空間

25、 V/K 的子空間 , 定義V1 IV2vV1且 vV2 , 稱為子空間的 交；V1V2 v1v2 | v1V1, v2V2 , 稱為子空間的 和 .命題 4.9V1 I V2 和V1 V2 都是 V的子空間 .證明 : 由命題 4.7,只需要證明 V1 I V2和 V1V2 關(guān)于加法與數(shù)乘封閉即可 .事實(shí)上 ,V1 IV2,則,V1 ,V2. 由于 V1,V2 均是 V的子空間, 則V1 ,V2, 于是V1 IV2 ,V1 I V2 關(guān)于加法封閉；V1I V2, kK ,kvV1 ,kvV2 , 于是 kvV1 IV2, V1 I V2 關(guān)于數(shù)乘封閉 .,V1V2,則由V1V2的定義,1,

26、1V1, 2, 2V2,使得12 ,12,而 11V1,22V2,則( 12) (12)(11)(22) V1 V2,V1 V2 關(guān)于加法封閉；V1V2 , kK ,1V1 ,2V2, 使得12 ,由于 k 1 V1, k 2 V2 , 則 kk ( 12 )k 1 k 2V1 V2, V1 V2 關(guān)于專業(yè)資料整理word 格式文檔數(shù)乘封閉 . 證畢 .命 題 4.10 設(shè) V1,V2 ,L ,Vm 是 V 的 子 空 間 , 則 V1 I V2 I L I Vm 和 V1 V2 L Vm 均為 V 的子空間 .2. 維數(shù)公式 .定理 4.1設(shè) V 為有限維線性空間 , V1,V2為子空間 ,

27、 則dim( V1V2 )dim V1dim V2dim( V1 I V2 ) .這個(gè)定理中的公式被稱為 維數(shù)公式 .證明 : 設(shè) dim V1s , dim V2t , dim( V1V2 )n ,dim( V1 I V2 )r , 取V1 I V2 的一組基 1,2 ,L,r ( 若 V1I V2 =0, 則 r0 , 基為空集 ), 將此基分別擴(kuò)充為 V1,V2 的基1 , 2 ,L , r , 1, 2 ,L , s r ,1, 2,L, r , 1, 2 ,L, t r ,只需要證明1 ,2 ,L,r ,1,2,L,s r ,1,2 ,L, tr 是 V1V2 的一組基即可 .首 先

28、 ,易見V1V2中的任一向量都可以被1, 2,L, r , 1 ,2 ,L,sr ,1 ,2 ,L,t r 線性表出 . 事實(shí)上 ,V1V2,則12,其中 1V1, 2V2,而1k1 1k2 2Lkr rkr 1 1kr 2 2Lks s r ,2l1 1l2 2Ll r rl r 1 1 lr 2 2Lltt r . ki ,l jK于是12可被 1,2 ,L,r ,1, 2,L,lr ,1,2,L ,t r 線性表出 .只要再證明向量組1 ,2,L,r , 1 ,2 ,L, l r ,1,L,t r線性無關(guān)即可 .2 ,設(shè) k1 1k2 2 L kr ra1 1a2 2L as r s r

29、b1 1b2 2L bt r t r0,其中 ki ,a j , bhK . 則k1 1 k22 Lkrra11a22Lasr s rb11b22Lbt rt r(*)于是k1 1k2 2L kr ra1 1a2 2Las r s rV1 ,b1 1b22L bt rt rV2 ,專業(yè)資料整理word 格式文檔于是 k1 1k2 2 Lkr ra1 1a2 2Las r s rV1I V2,記為 .則可被1,2 ,L, r 線性表示 ,設(shè)h1 1h2 2L hr r ,代入 (*),有h1 1h2 2L hr rb1 1b2 2L bt rt r0 ,由于 1,2 ,L, r ,1, 2,L,

30、t r 是 V的一組基 , 所以線性無關(guān) , 則2h1h2Lhrb1b2Lbt r0 ,代回 (*),又有 k1k2Lkra1a2Lasr0 ,于是向量組1 , 2L2 ,L,s r ,1,2,L,t r線性無關(guān) . 證畢 ., , r , 1 ,推論 2.1 設(shè)V1,V2,L,Vt都是有限為線性空間 V 的子空間 , 則:dim( V1 V2 LVt )dim V1dim V2Ldim Vt .證明 : 對(duì) t 作歸納 .§ 7 子空間的直和一 授課內(nèi)容 : § 7 子空間的直和二 教學(xué)目的 : 通過本節(jié)的學(xué)習(xí) , 掌握子空間的直和與補(bǔ)空間的定義及性質(zhì) .三 教學(xué)重點(diǎn) :

31、 子空間的直和的四個(gè)等價(jià)定義.四 教學(xué)難點(diǎn) : 子空間的直和的四個(gè)等價(jià)定義.五 教學(xué)過程 :1. 子空間的直和與直和的四個(gè)等價(jià)定義定義 設(shè) V 是數(shù)域 K 上的線性空間 , V1 ,V2 ,L,Vm 是 V 的有限為子空間 .m若對(duì)于Vi 中任一向量 , 表達(dá)式i 112 Lm,iVi , i1,2,L , m .專業(yè)資料整理word 格式文檔m是唯一的 , 則稱Vi 為直和 , 記為i1mV1V2LVm 或Vi .i1定理 設(shè) V1 ,V2 ,L ,Vm 為數(shù)域 K 上的線性空間 V 上的有限為子空間 , 則下述四條等價(jià) :1) V1 V2 L Vm 是直和；2) 零向量表示法唯一；3)Vi

32、 I(V1L?LVm )0,i1,2, L, m ；Vi4)dim( V1V2LVm )dim V1dim V2Ldim Vm .證明 :1)2)顯然 .2)1) 設(shè)12Lm12Lm, 則( 11)(22 ) L( mm ) 0 .由 2) 知, 零向量的表示法唯一 , 于是i i , i 1,2,L ,m ,即的表示法唯一 . 由直和的定義可知 , V1V2LVm 是直和 .2)3)假若存在某個(gè) i ,1im , 使得 Vi I(V1?LVm ) 0 ,L Vi則存在向量0 且VI (VL?LV) , 于是存在jVj , 使得Vi1im1L?iLm .由線性空間的定義 ,Vi I (V1?L

33、 Vm ) ,L Vi則 1L() Lm()0 , 與零向量的表示法唯一矛盾 , 于是Vi I (V1L?LVm )0, i1,2, L , m .Vi3) 2)若 2)不真,則有01 LiLm ,其中 j Vj ( j1,2,L,m) 且i0. 于是i1 L?iLm Vi I (V1?L Vm ) ,L Vi專業(yè)資料整理word 格式文檔與 3)矛盾,于是 2)成立.3) 4) 對(duì) m作歸納 . m =2 時(shí) , 由維數(shù)公式得到dim( V1 V2 )dim V1dim V2dim( V1 I V2 ) dim V1dim V2 .設(shè) m1(m 3) 已證 , 則對(duì)于 m ,dim(V1 V

34、2L Vm)dimVmdim(V1V2LVm 1 ) dim(Vm I (V1V2 L Vm 1)dimVmdim(V1V2LVm 1),而 i,1 i m 1 , 都有ViI(V1 L垐Vm 1)Vi I(V1L ViL Vm )0 ；Vi L由歸納假設(shè) , 可以得到 dim( V1 V2LVm)dim V1dim V2Ldim Vm .4)3)i ,1im , 都有dim(Vi I (V1 L垐LVm)dim(V)i dim(V1L Vi L Vm) dim(V1V2 LVm) 0,Vi于是 Vi I(V1LV?iLVm ) 0,i1,2,L , m . 證畢 .推論設(shè) V1,V2 為 V

35、 的有限維子空間 , 則下述四條等價(jià) :i) V1 V2 是直和；ii) 零向量的表示法唯一；iii)V1I V20 ；iv) dim( V1V2 )dim V1dim V2 .2. 直和因子的基與直和的基命題設(shè) VV1V2LVm , 則 V1,V2 ,L ,Vm 的基的并集為V 的一組基 .證 明 :設(shè) i, i,L , i 是 Vi 的 一 組 基 , 則 V中任一向量可被12rimmU i1 , i2 ,L, iri 線性表出 . 又 dim Vdim Vi r1 r2L rm , 由命題 4.5,i 1i 1它們線性無關(guān) , 于是它們是 V 的一組基 .證畢 .3. 補(bǔ)空間的定義及存在

36、性定義設(shè)V1為 V的子空間 , 若子空間 V2 滿足 VV1V2 , 則稱為 V1的補(bǔ)專業(yè)資料整理word 格式文檔空間 .命題 有限維線性空間的任一非平凡子空間都有補(bǔ)空間.證明 :設(shè) V1 為 K 上的 n 為線性空間 V 的非平凡子空間 , 取 V1 的一組基1, 2 ,L , r, 將 其 擴(kuò) 為V的 一 組 基1 , 2 ,L , r , r 1 , r 2 ,L , n 取V2L( r 1, r 2 ,L , n ) , 則有VV1V2 , 且 dim V1dim V2ndim(V1V2 ) ,于是 VV1V2 , 即V2是 V1的補(bǔ)空間 . 證畢.§ 8 線性空間的同構(gòu)一

37、 授課內(nèi)容 : § 1 線性空間的同構(gòu)二 教學(xué)目的 : 通過本節(jié)的學(xué)習(xí) , 掌握線性空間同構(gòu)的有關(guān)定義及線性空間同構(gòu)的判定 .三 教學(xué)重點(diǎn) : 線性空間同構(gòu)的判定 .四 教學(xué)難點(diǎn) : 線性空間同構(gòu)的判定 .五 教學(xué)過程 :1. 線性映射的定義定義設(shè) U ,V 為數(shù)域 K 上的線性空間 ,: UV 為映射 , 且滿足以下兩個(gè)條件 :i)()()(),(,U)；ii)( k)k(), (U , kK ) ,則稱為(由U 到V 的)線性映射 .由數(shù)域 K 上的線性空間 U 到 V 的線性映射的全體記為Hom (U ,V ) , 或K簡(jiǎn)記為 Hom(U ,V ) .定義中的 i) 和 ii)二條件可用下述一條代替:(kl)k ()k (), (,U , k,lK ) .專業(yè)資料整理word 格式文檔例 M m n ( K ) 是 K 上的線性空間 , M s n (K ) 也是 K 上線性空間 , 取定一個(gè) K 上的 s m 矩陣 A , 定義映射: M m n (K )M s n ( K ),x aAX .則是由 M m n ( K ) 到 M s n (K ) 的線性映射 .例 考慮區(qū)間 (a,b) 上連續(xù)函數(shù)的全體 , 它是 R 上的線性空間 , 令UL (1,sin x,sin2x,L ,sin