直線上一動(dòng)點(diǎn)到兩固定點(diǎn)之間距離的最值

1、直線上一動(dòng)點(diǎn)到兩固定點(diǎn)之間距離的最值【題型】P點(diǎn)為直線L上一動(dòng)點(diǎn)，A點(diǎn)、B點(diǎn)不在直線上，且固定。當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)到什么位置時(shí)，P點(diǎn)到A點(diǎn)的距離與P點(diǎn)到B點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值最大?！疽辍慨?dāng)P點(diǎn)移動(dòng)到什么位置時(shí)，P點(diǎn)到A點(diǎn)的距離與P點(diǎn)到B點(diǎn)的距離之和最小。【思路】下面3條原理是解決此類問題的基礎(chǔ)：1、所有此類問題都應(yīng)納入“三角形”中求解；（定理1）2、運(yùn)用“在同一平面之中，兩點(diǎn)之間，線段最短?！保ǘɡ?）3、運(yùn)用“在同一平面中，三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊?！保ǘɡ?）【幾種不同情況的詳細(xì)解答及相應(yīng)證明】1、求直線上動(dòng)點(diǎn)到直線外兩固定點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值的最大值（1）當(dāng)兩固定點(diǎn)在直線同

2、側(cè)時(shí)，如圖1BP"PMM'P'L圖1假設(shè)直線上任意一點(diǎn)P'點(diǎn)，連接P'點(diǎn)與B點(diǎn)，P'點(diǎn)與A點(diǎn)，形成PBA,根據(jù)“定理3”,得知|P'A-PB|<AB;當(dāng)P'點(diǎn)移動(dòng)到P”點(diǎn)時(shí)，分別連接A、B兩點(diǎn)，形成PMBA,根據(jù)“定理3"，得知|P"A-P"B|<AB;只有移動(dòng)到P點(diǎn)，即BA連線的延長(zhǎng)線與直線L的交點(diǎn)時(shí)，|PA-PB|=AB。結(jié)論：當(dāng)直線上一動(dòng)點(diǎn)，與直線一側(cè)的兩固定點(diǎn)之間距離之差的絕對(duì)值最大時(shí)，P點(diǎn)位于兩點(diǎn)連線的延長(zhǎng)線與直線的交點(diǎn)處。計(jì)算：P點(diǎn)的位置（或坐標(biāo)）以及最大值。如圖1,過(guò)A點(diǎn)做

3、直線垂直與直線L,垂足為M,過(guò)B點(diǎn)做直線垂直于直線L,垂足為M'這樣，AM/BM'因此，在直角PBM'中，AM/BM=PM/PM'所以，PM'=PM+MM'最終得出：PM=（AMXMM，）+|BM'-AM|,以此確定P點(diǎn)的位置（或坐標(biāo)）。同樣道理，PM/MM=PA/AB所以，最大值A(chǔ)B=MM7PMXPA,根據(jù)勾股定理計(jì)算出PA后，就計(jì)算出了AB的長(zhǎng)度。（2）當(dāng)兩固定點(diǎn)在直線異側(cè)時(shí)，如圖2A圖2對(duì)于處于直線異側(cè)的兩點(diǎn)，先通過(guò)其中一點(diǎn)A做一條垂直與直線L的直線，垂足為M,且使AM=AM（即做A點(diǎn)對(duì)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)），將異側(cè)問題轉(zhuǎn)化為同側(cè)問題。

4、然后，連接A和B點(diǎn)，并延長(zhǎng)交于直線于P點(diǎn)，則P點(diǎn)就是到A、B兩點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值最大時(shí)的點(diǎn)。同樣，在直線上任意一點(diǎn)P；并連接PA,PB,P'A',可以看出，在PAB中，|PA-PB|<AB，由于PA=PA，所以，|PA-PB|=|PA-PB|<AB。將P'點(diǎn)移動(dòng)到P”點(diǎn)，并構(gòu)成PNB,同樣道理可以得出|P”A-P”B|=|P”A-P”B|<AB。所以，只有將P點(diǎn)移動(dòng)到AB的延長(zhǎng)線與直線L的交點(diǎn)處時(shí)，才能得到|PA-PB|=|PA-PB|=AB。結(jié)論：當(dāng)直線上一動(dòng)點(diǎn)，與直線異側(cè)的兩固定點(diǎn)之間距離之差的絕對(duì)值最大時(shí)，P點(diǎn)位于一點(diǎn)與另外一點(diǎn)對(duì)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的

5、連線的延長(zhǎng)線與直線的交點(diǎn)處。計(jì)算：P點(diǎn)的位置（或坐標(biāo)）以及最大值。如圖2,過(guò)B點(diǎn)做直線垂直于直線L,垂足為M'所以在直角PMB中，AM/BM=PM/PM由于PM=PM+MM'所以，PM=（A'MXMM'）+|A'MBM'|,以此確定P點(diǎn)的位置（或坐標(biāo)）。同樣道理，PA/AB=PM/MM，所以，P點(diǎn)到A、B兩點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值最大值為A'B=PA'XMM'+PM,根據(jù)勾股定理計(jì)算出PA'后，就計(jì)算出了AB的長(zhǎng)度?！颈竟?jié)結(jié)論】直線上移動(dòng)點(diǎn)到直線外兩固定點(diǎn)之間的距離之差的絕對(duì)值，只存在最大值，不存在最小值。當(dāng)兩點(diǎn)在直線同

6、側(cè)時(shí)，最大值為兩點(diǎn)連線長(zhǎng)度；當(dāng)兩點(diǎn)在直線異側(cè)時(shí)，最大值為一點(diǎn)與另一點(diǎn)對(duì)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的連線長(zhǎng)度。推導(dǎo)出：當(dāng)兩固定點(diǎn)在直線上時(shí)，動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)之間的距離之差的絕對(duì)值，有且只有一個(gè)值（即常量），即兩點(diǎn)之間的線段長(zhǎng)。2、求直線上動(dòng)點(diǎn)到直線外兩固定點(diǎn)的距離之和絕對(duì)值的最小值(1)當(dāng)兩固定點(diǎn)在直線同側(cè)時(shí)，如圖3A圖3首先，過(guò)A點(diǎn)做直線垂直于直線L,垂足M,并使AM=MA'連接AB,AB,AB與直線L交于P點(diǎn)，連接AP在直線L上任意取一點(diǎn)P',連接PB,PA,PA'從圖上可以直觀得出，PA=PA',所以，P'點(diǎn)到A、B點(diǎn)的距離之和與P'點(diǎn)到A'點(diǎn)、B點(diǎn)

7、的距離之和相等，即|PA+PB|=|PA+PB|根據(jù)“定理3”，在APA'B中，PB+PA>AB,所以，PB+PA>AB同樣道理，如果P'點(diǎn)移動(dòng)到P"點(diǎn)，與A'、B點(diǎn)構(gòu)成PAB,p"b+pa'>a'b,而p'A=PA所以，P"B+PA>AB只有當(dāng)P點(diǎn)移動(dòng)到A'、B點(diǎn)連線與直線L的交點(diǎn)處時(shí)，即P點(diǎn)即處于直線L上，又處于線段AB上時(shí)，|PA+PB|=AB,而PA=PA,所以，|PA+PB|=A'B這時(shí)，P點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和的絕對(duì)值才是其他所有點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和的絕對(duì)值中最小的。結(jié)

8、論：當(dāng)直線上一動(dòng)點(diǎn)到直線同側(cè)兩固定點(diǎn)之距離之和的絕對(duì)值最小時(shí)，P點(diǎn)位于固定點(diǎn)與另一固定點(diǎn)對(duì)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的連線與直線的交點(diǎn)處。計(jì)算：P點(diǎn)的位置(或坐標(biāo))以及最小值如圖3,過(guò)B點(diǎn)做直線垂直于直線L,垂足為M'由于直角三角形MPA與直角三角形BPM',三角相等，所以，這兩個(gè)三角形為相似三角形所以，MP/PM=MA7BM',且PM=MM-MP所以，MP=MA'XMM'+(MA+BM'),以此確定P點(diǎn)位置(或坐標(biāo))又因?yàn)?，|PA+PB|=|PA+PB|=AB,且MP,PM'=MM'-MP均已計(jì)算出,運(yùn)用勾股定理，分別計(jì)算出PA'、PB長(zhǎng)度，即可確定A'B的長(zhǎng)度，即P點(diǎn)到兩固定點(diǎn)距離之和絕對(duì)值的最小值。(2)當(dāng)兩固定點(diǎn)在直線L異側(cè)時(shí)，如圖4A圖4根據(jù)上述同側(cè)問題，我們可以看出，直接連接A、B兩點(diǎn)與直線L的交點(diǎn)就是符合要求的P點(diǎn)，在此不再累述?！颈竟?jié)結(jié)論】直線上一動(dòng)點(diǎn)到直線外兩固定點(diǎn)的距離之和的絕對(duì)值只存在最小值，沒有最大值。當(dāng)兩固定點(diǎn)在直線同側(cè)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)位于固定點(diǎn)與另一固定點(diǎn)對(duì)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的連線與直