胡霞畢業(yè)論文3搞

1、JIUJIANGUNIVERSITY畢 業(yè) 論 文 題 目 微分中值定理證明不等式方法研究英文題目Using differential mean value theorem proving inequality method studying院 系 理學(xué)院 專(zhuān) 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 姓 名 胡霞 班 級(jí) A0811班 指導(dǎo)教師 強(qiáng)毅 二零一二年五月摘 要不等式的證明有很多種，其中微分中值定理是證明不等式的一種重要的方法。本文分別給出羅爾中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理以及泰勒中值定理的定義以及分別利用其定理證明的一些不等式。新課程標(biāo)準(zhǔn)更加注重理論聯(lián)系實(shí)際且應(yīng)用實(shí)際的原則，因此本文最后還給

2、出一些基本不等式在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞: 羅爾中值定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；泰勒中值定理；不等式證明；不等式的應(yīng)用Abstract There are many ways to prove inequality，And value theorem to prove the inequality is a kind of important method. This paper will give some examples that use Roller Mean Value Theorem，Lagrange Mean Value Theorem，Cauchy Mean Val

3、ue Theorem and Taylor Mean Value Theorem to prove inequality. The new curriculum standard pay more attention to the principle that theory with the practice and apply practical，therefore this paper finally give some basic inequality in real life application.Key Words:Roller Mean Value Theorem; Lagran

4、ge Mean Value Theorem; Cauchy Mean Value Theorem; Taylor Mean Value Theorem; Apply of inequality; Prove inequality.目 錄引言1第一章 知識(shí)準(zhǔn)備21.1微分中值定理定義21.2微分中值定理證明不等式的步驟3第二章利用羅爾中值定理證明不等式42.1羅爾中值定理的意義及分析42.2 羅爾中值定理的應(yīng)用4第三章 利用拉格朗日中值定理證明不等式53.1拉格朗日中值定理的意義及分析53.2拉格朗日中值定理證明不等式5第四章 利用柯西中值定理證明不等式84.1柯西中值定理的分析84.2柯西中值

5、定理證明不等式8第五章 利用泰勒中值定理證明不等式115.1泰勒中值定理證明不等式的方法歸納115.2泰勒中值定理證明不等式11第六章 綜合利用微分中值定理證明不等式146.1通過(guò)求極值點(diǎn)證明不等式14第七章 微分中值定理證明不等式在解題中的應(yīng)用16第八章基本不等式在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用18第九章研究總結(jié)20參 考 文 獻(xiàn)21致 謝22引言不等式是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容,也是數(shù)學(xué)中的重要的方法和工具.在微分學(xué)中,微分中值定理,函數(shù)單調(diào)性判定定理及極值等重要的結(jié)論都可以用來(lái)證明不等式.本文通過(guò)幾個(gè)具體的例子來(lái)具體說(shuō)明微分中值定理在證明不等式中的運(yùn)用,以及不同的微分中值定理在解決證明不等式的區(qū)別，并且還給出

6、基本不等式在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用.數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決關(guān)鍵在于我們對(duì)待數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，如果在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，我們能有意識(shí)地將數(shù)學(xué)問(wèn)題系列化，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法系列化，那么解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力將會(huì)得到升華.在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，不等式的證明是可以作為一個(gè)系列問(wèn)題來(lái)看待的，不等式的證明是數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是難點(diǎn)之一，其常用的方法有：比較法、綜合法、分析法、重要不等式法、數(shù)學(xué)歸納法等，而有一些問(wèn)題用上述方法解決是困難的，在學(xué)完中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的內(nèi)容以后，可以利用微分中值定理、函數(shù)的單調(diào)性、常數(shù)變易法、函數(shù)極值性、凸凹性等知識(shí)解決一些不等式證明的問(wèn)題.因此，微分中值定理為證明不等式注入了新的活力，這一創(chuàng)造

7、性思維有效合理的使不等式獲得證明，從而體現(xiàn)出初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的緊密聯(lián)系.隨著時(shí)代的發(fā)展，科技的進(jìn)步及課程改革的不斷深入，微分中值定理的應(yīng)用必將滲透到社會(huì)領(lǐng)域的方方面面.第一章 知識(shí)準(zhǔn)備1.1微分中值定理定義微分中值定理是數(shù)學(xué)分析中非常重要的基本定理.微分中值定理是指羅爾中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理以及泰勒中值定理.微分中值定理在數(shù)學(xué)分析及高等數(shù)學(xué)中的地位是不容置疑的,且在解題中的應(yīng)用也是十分廣泛的.在這里我們就利用微分中值定理證明不等式的方法作一簡(jiǎn)述.首先我們要先介紹一下微分中值定理:定理1 羅爾中值定理:如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且滿(mǎn)足,那么在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得

8、.定理2 拉格朗日中值定理:如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), 那么在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得.當(dāng)函數(shù)在內(nèi)的變化范圍已知時(shí),有,于是可以利用拉格朗日定理來(lái)證明一類(lèi)的不等式.定理3 柯西中值定理:如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且在內(nèi)每一點(diǎn)均不為零,那么在內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得.定理4泰勒中值定理:如果函數(shù)在含有點(diǎn)的區(qū)間上有直到階的導(dǎo)數(shù),則函數(shù)在內(nèi)可表示成一個(gè)多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)式的和:.其中,. 注:當(dāng)時(shí),即為拉格朗日中值定理,所以泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣.這個(gè)公式又稱(chēng)為帶有朗格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式. 1.2微分中值定理證明不等式的步驟在微分學(xué)中,微分中值定理在證明不等式中起著

9、很大的作用,我們可以根據(jù)不等式的兩邊的代數(shù)式選取不同的函數(shù),應(yīng)用微分中值定理得出一個(gè)等式之后,對(duì)這個(gè)等式根據(jù)取值范圍的不同進(jìn)行討論,得到不等式,以下通過(guò)例子來(lái)說(shuō)明微分中值定理在證明不等式的應(yīng)用.因此給出利用微分中值定理證明不等式的步驟（1） 構(gòu)造輔助函數(shù)（2）構(gòu)造微分中值定理需要的區(qū)間（2） 利用，對(duì)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s第二章 利用羅爾中值定理證明不等式2.1羅爾中值定理的意義及分析羅爾中值定理的幾何意義:在滿(mǎn)足定理?xiàng)l件下,在曲線上必有一點(diǎn),使得過(guò)該點(diǎn)的切線平行于軸.在一般情況下,利用羅爾中值定理很容易證明關(guān)于方程的根的問(wèn)題,但是僅用羅爾中值定理卻很難證明不等式,所以在利用羅爾中值定理證明時(shí)要綜合利

10、用其他的微分中值定理.2.2 羅爾中值定理的應(yīng)用例1 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且.證明：內(nèi)必存在一點(diǎn)，使得.分析：由結(jié)論令. 證明：令，由于在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，又,則由羅爾定理知：存在，使得，又，從而在上.再由羅爾定理知：必存在一點(diǎn)，使得即第三章 利用拉格朗日中值定理證明不等式3.1拉格朗日中值定理的意義及分析拉格朗日中值定理的幾何意義:在滿(mǎn)足定理?xiàng)l件下,在曲線上必有一點(diǎn),使得過(guò)該點(diǎn)的切線平行于曲線兩端點(diǎn)的連線,兩點(diǎn)的弦.我們?cè)谧C明中引入的輔助函數(shù),正是曲線與弦線之差.拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣,當(dāng)時(shí),本定理即為羅爾中值定理的結(jié)論,這表明羅爾中值定理是朗格朗日定理的一個(gè)特殊情形

11、.拉格朗日中值定理的其它表示形式:(1) ,;(2) ;(3) 值得注意的是:拉格朗日中值定理無(wú)論對(duì)于,還是都成立.而則是介于與之間的某一定數(shù),而(2),(3)兩式的特點(diǎn),在于把中值點(diǎn)表示成了,使得不論,為何值,總可為小于的某一整數(shù).3.2拉格朗日中值定理證明不等式例2 (1)如果,試證; (2)求證:.證明 (1)令,在區(qū)間上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),應(yīng)用拉格朗日中值定理,則有,.由于在閉區(qū)間上,有,所以.(2)當(dāng)時(shí),顯然等號(hào)成立.當(dāng)時(shí),不妨設(shè).設(shè), 由拉格朗日中值定理得, ,.則有 所以 .以上兩個(gè)例子都是利用拉格朗日中值定理來(lái)證明不等式,有些不等式利用此定理時(shí),方法要靈活些.例3 當(dāng)時(shí),函數(shù)在其定

12、義域上可導(dǎo),且為不增函數(shù),又,求證 .證明 用數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)時(shí),顯然不等式成立.當(dāng)時(shí),若均為,或者一個(gè)為時(shí),當(dāng)一個(gè)為時(shí),顯然有 .設(shè)均大于,不妨設(shè),在應(yīng)用拉格朗日中值定理可得:.在上再次利用拉格朗日中值定理可得:顯然,由題設(shè)知,.所以 ,即 .假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立,即 .取,顯然的情況不證而明,所以只考慮的情況.取,由前面已證的結(jié)論有 ,再用歸納假設(shè)可得 ,即當(dāng)時(shí)結(jié)論成立.所以.第四章 利用柯西中值定理證明不等式4.1柯西中值定理的分析柯西中值定理是研究?jī)蓚€(gè)函數(shù)的變量關(guān)系的中值定理,當(dāng)一個(gè)函數(shù)(不妨設(shè)此函數(shù)為)取作自變量自身時(shí)它就是拉格朗日中值定理,所以用拉格朗日中值定理能證明的不等式一定能用柯西

13、中值定理來(lái)證明,反之則不然.下面舉例來(lái)說(shuō)明:對(duì)例2用柯西中值定理證明,這里僅用第一個(gè)小題來(lái)說(shuō)明,其證法如下:證明 (1)令,.在區(qū)間上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且在內(nèi)每一點(diǎn)都不為零,那么由柯西中值定理可得:,則有 ,.下面與例2中解法同,這里就不再贅述了.4.2柯西中值定理證明不等式 例4 (1)設(shè),對(duì)的情況,求證:.(2)設(shè)，求證:.證明 (1)設(shè),.當(dāng)時(shí)結(jié)論顯然成立.當(dāng)時(shí),取或,在閉區(qū)間或上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間或可導(dǎo),且在內(nèi)或每一點(diǎn)均不為零,由柯西中值定理可得:,或即 .所以得證.(2)設(shè),在閉區(qū)間上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且在內(nèi)每一點(diǎn)均不為零,那么由柯西中值定理可得:,.即 ,.因?yàn)?所以.即 . 注意:

14、例4中的兩個(gè)不等式能用柯西中值定理來(lái)證明,但不能用拉格朗日中值定理證明.例 5 如果函數(shù)滿(mǎn)足兩個(gè)條件:(1)在閉區(qū)間上有二階導(dǎo)數(shù);(2).試證明:在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得 .證明 令.在此我們利用用反證法來(lái)證明本題,我們不妨假設(shè),.對(duì)于構(gòu)造的輔助函數(shù)及(其中是中任意固定的一點(diǎn)),兩次利用柯西中值定理,可得:其中介于與之間(即或),為上任意點(diǎn),特別地,在上式中取,并利用已知條件,則有:,其中滿(mǎn)足,于是 .同理再取,并利用已知條件,則得:,其中滿(mǎn)足.于是:.因此,.這是不可能的.所以在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得 .第五章 利用泰勒中值定理證明不等式5.1泰勒中值定理證明不等式的方法歸納泰勒公式的

15、余項(xiàng)大體分兩種:佩亞諾型余項(xiàng),拉格朗日型余項(xiàng).與帶拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式相比,帶佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式對(duì)函數(shù)的假設(shè)條件較少,只需函數(shù)在處階可導(dǎo),不需要階可導(dǎo),也不需要在的鄰域內(nèi)存在階連續(xù)導(dǎo)數(shù),因此應(yīng)用范圍較廣.但是在證明不等式時(shí),精確度卻不如帶拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式好. 利用此原理可以證明一般的不等式,積分不等式,估值不等式等多種不等式,這種方法的用法非常廣泛.證明方法:根據(jù)已知條件,圍繞證明目標(biāo),尋取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)將函數(shù)在該點(diǎn)展成泰勒展式.根據(jù)已知條件,向著有利于證明不等式的方向?qū)ι厦娴恼故阶鬟m當(dāng)?shù)奶幚?直到可以結(jié)合已知條件證出不等式為止.5.2泰勒中值定理證明不等式例6 當(dāng)時(shí),求證:.分析:

16、由于朗格朗日中值定理很容易證明,而利用泰勒中值定理時(shí),當(dāng)時(shí),不等式為:.顯然第二個(gè)比前一個(gè)的不等式的精確度高得多,隨著的增大,不等式的精確度會(huì)大幅度地提高,所以我們?cè)谧鲱}過(guò)程中,按題目的要求來(lái)選擇適當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)證明不同的不等式.證明 令,那么函數(shù)在點(diǎn)展開(kāi)前項(xiàng)的泰勒公式,余項(xiàng)取拉格朗形式,那么有:.因?yàn)?所以,從而,所以有 .即 .同理,因?yàn)?所以左端的不等號(hào)也成立. 另外,在遇到高階導(dǎo)數(shù)的不等式,一般都首先考慮泰勒中值定理.像之前的例4.我們也可以用泰勒中值定理來(lái)證明,下面具體來(lái)說(shuō)明:例5的另一種證法:由題設(shè)條件,應(yīng)用泰勒展開(kāi)式有:,其中介于與之間,介于與之間.上述兩式相減,且有,得:,.令,則

17、有:,.即 .例7 設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo),且,.求證:對(duì)任意的,有.證明: 對(duì)任意的,將在點(diǎn)展開(kāi).(其中介于與之間).注意到,所以有.對(duì)上述不等式的兩邊對(duì)積分,得:因?yàn)?所以. 第六章 綜合利用微分中值定理證明不等式6.1通過(guò)求極值點(diǎn)證明不等式利用拉格朗日中值定理能夠很方便的判斷出函數(shù)的單調(diào)性,其方法是:如果函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),則有:(1)如果在內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),則函數(shù)在上單調(diào)增加;(2) 如果在內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),則函數(shù)在上單調(diào)減少.另外,函數(shù)在內(nèi)除有個(gè)別點(diǎn)外,仍有(或),則函數(shù)在上單調(diào)增加(或減少)的,即連續(xù)函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)處無(wú)導(dǎo)數(shù)并不影響函數(shù)的單調(diào)性.再利用函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)圖象上峰值點(diǎn)與各極值點(diǎn)的

18、性質(zhì),便可以方便地求出函數(shù)的極值,從而證明出不等式.其方法為:確定函數(shù)的定義域,然后求出定義域內(nèi)的所有駐點(diǎn),并找出連續(xù)但不存在的所有點(diǎn),討論所有駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)左右兩側(cè)附近的符號(hào)變化情況,確定函數(shù)的極值點(diǎn),并求出相應(yīng)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn),從而進(jìn)一步證明不等式.例8 求證 (1)當(dāng)時(shí),證明成立.(2)當(dāng)時(shí),證明成立.證明 (1)令,因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且 .當(dāng)時(shí),所以當(dāng)時(shí),函數(shù)是單調(diào)遞增的.故當(dāng)時(shí),有:,即,從而 成立.(2)因?yàn)?所以,.令函數(shù),則有:因?yàn)闀r(shí), ,所以.即在時(shí)嚴(yán)格遞增的,又因?yàn)?所以,即成立. 例9 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上二次可微,且滿(mǎn)足,試證:當(dāng)時(shí),有不等式:成立.證明 令,

19、那么.由于,可知在閉區(qū)間上是嚴(yán)格遞增的,即,從而有 ,故函數(shù)在閉區(qū)間上也是嚴(yán)格遞增的,于是當(dāng)時(shí),有:,即 成立.第七章 微分中值定理證明不等式在解題中的應(yīng)用 例10 a>1,n.證明 分析：即證注意： 對(duì)用微分中值定理證明：令即 例11 設(shè)0<a<b，證明不等式證明：即證例12：證明不等式（1）（2）證明：（1）設(shè)=,則當(dāng)n>1時(shí)所以在（0，+）上嚴(yán)格下凸，因而(2)設(shè)=,則所以在上嚴(yán)格下凸，因而例13 設(shè)在連續(xù)，在二階可導(dǎo)，證明存在使證明：設(shè) 由于在區(qū)間上對(duì)應(yīng)用Lagrange中值定理，即得到即證第八章 基本不等式在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用數(shù)學(xué)是來(lái)源于生活且應(yīng)用于生活.在新課

20、標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)下，我們的課程標(biāo)準(zhǔn)更加注重理論聯(lián)系實(shí)際，擺脫曾經(jīng)所出現(xiàn)的“書(shū)呆子”一說(shuō).無(wú)一例外，基本不等式在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，下面舉例介紹如何利用基本不等式解決生活中的實(shí)際問(wèn)題.一 商品銷(xiāo)售價(jià)格例14 某商品進(jìn)貨價(jià)每件50元，據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格每件x元（50<x80）時(shí)，每天銷(xiāo)售件數(shù)為,若想每天獲得的利潤(rùn)最多，則銷(xiāo)售價(jià)格為多少元？分析：利潤(rùn)=銷(xiāo)售數(shù)X（銷(xiāo)售價(jià)格進(jìn)貨價(jià)格），再利用基本不等式可求得利潤(rùn)最大值.解：由題意知x>50元時(shí)，可知利潤(rùn)： 因?yàn)閤-50>0，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=60或x=40（不合題意）時(shí)，p=2500成立.所以當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格為每件60元時(shí)，每天獲得利潤(rùn)

21、最多.二 節(jié)省紙張問(wèn)題例15 在一頁(yè)書(shū)上所印文字要占S ,上下頁(yè)空白處要留a cm寬，左右要留b cm寬，若從節(jié)約紙張出發(fā)，如何設(shè)計(jì)書(shū)頁(yè)的高和寬的尺寸最為有利？解：設(shè)書(shū)頁(yè)的高為x cm,寬為y cm，則書(shū)頁(yè)的面積為.因?yàn)椋▁-2a）(y-2b)=S,所以，. 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最小值為.此時(shí)所求的書(shū)頁(yè)的高為寬為. 所以書(shū)頁(yè)高為,寬為時(shí)最省紙張.三 費(fèi)用最少例16 近年隨著我國(guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，人們的經(jīng)濟(jì)收入明顯提高，生活狀況越來(lái)越好，據(jù)有關(guān)部門(mén)抽樣調(diào)查的結(jié)果顯示，我國(guó)城鄉(xiāng)居民擁有量比2005年初翻了一番.某種汽車(chē)，購(gòu)車(chē)費(fèi)是10萬(wàn)元，每年支付的保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)、汽油費(fèi)約為0.9萬(wàn)元，年維修費(fèi)第一年是

22、0.2萬(wàn)元，以后逐年遞增0.2萬(wàn)元，這種汽車(chē)使用多少年時(shí)，它的平均費(fèi)用最少？解：設(shè)用x年平均費(fèi)用最少，由于年維修費(fèi)第一年是0.2萬(wàn)元，以后逐年遞增0.2萬(wàn)元，可知汽車(chē)維修費(fèi)構(gòu)成以0.2萬(wàn)元為首項(xiàng)，0.2萬(wàn)元為公差的等差數(shù)列，因此汽車(chē)x年總的維修費(fèi)用為萬(wàn)元.設(shè)汽車(chē)平均費(fèi)用為y萬(wàn)元，則有：.當(dāng)且僅當(dāng)，即x=10時(shí)，它的平均費(fèi)用最少.第九章 研究總結(jié) 通過(guò)本論文的寫(xiě)作，我們可以看出微分中值定理在證明不等式方面的貢獻(xiàn).其實(shí)，在我們數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，很多地方都用到了微分中值定理.可見(jiàn)，微分中值定理不僅在不等式方面，在其他高等數(shù)學(xué)中也有很大的貢獻(xiàn). 本文主要是通過(guò)羅爾中值定理，柯西中值定理，拉格朗日中值定理，

23、泰勒中值定理來(lái)證明不等式.由于新課程標(biāo)準(zhǔn)注重理論聯(lián)系實(shí)際原則，且數(shù)學(xué)是來(lái)源于生活、應(yīng)用于生活.因此，本文在最后給出了不等式在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用. 從中學(xué)階段，我們就開(kāi)始接觸了不等式，并且也學(xué)會(huì)了不少解決不等式的方法.如分析法、級(jí)數(shù)法、對(duì)數(shù)法、導(dǎo)數(shù)法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等等.在學(xué)習(xí)了微分中值定理證明不等式后，我們將對(duì)不等式有了更深刻的理解，也體現(xiàn)出初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系，培養(yǎng)我們的思維能力和邏輯推理能力，提高解題效率，鍛煉了學(xué)生的創(chuàng)造性思維和發(fā)散思維.一題多解也是現(xiàn)代素質(zhì)教育所提倡的解題方法，學(xué)生在學(xué)習(xí)了微分中值定理證明不等式后，對(duì)不等式的證明有了更多的解題方法.這樣可以促使學(xué)生在今后解決不等式

24、方面的問(wèn)題時(shí)可以根據(jù)需要靈活的選用解題方法.參 考 文 獻(xiàn)1D.S.密斯特利諾維奇.解析不等式M.北京:科學(xué)出版社.1987.2.菲赫金哥爾茨.微積分學(xué)教程（第八版）.北京:高等教育出版社.20063.科朗等.微積分和數(shù)學(xué)分析引論M.北京:科學(xué)出版社.2002. 4華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析M.北京:高等教育出版社,1991.5裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法M.北京:高等教育出版社,1994.6劉玉蓮.數(shù)學(xué)分析講義M.北京:高等教育出版社,1999.7林麗綠.利用微分中值定理證明不等式J.泉州師專(zhuān)學(xué)報(bào),1997,第一卷.8趙文祥.微分中值定理與不等式J.天津電大學(xué)報(bào),2007,增刊.9孫

25、學(xué)敏.微分中值定理的應(yīng)用J.數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2008,第28卷第10期.10邵士敏高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)M科學(xué)出版社，200011.11陳光曙大學(xué)數(shù)學(xué)（理工類(lèi)）上冊(cè)M同濟(jì)大學(xué)出版社，2007.212 汪荷仙. 高等數(shù)學(xué)解題方法指導(dǎo)M.成都科技大學(xué)出版社， 1995.12 13 馬德炎. 常見(jiàn)的代數(shù)不等式的證明J.高等數(shù)學(xué)研究.2009（5）27-29.14 Black, F, M. Jensen, and M. Stoles, “The Capital Asset Pricing Model: Some Empirical Tests”, in Jensen, M “Studies in the Theory of Capital”, 197215 Cox