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考研數(shù)學矩陣的8大秩及其證明2009 證明：根據(jù)矩陣秩的定義直接得出。 證明：對矩陣任意添加列后變成矩陣，則秩顯然不小于，即： 同理： 因而：成立。又設 ，把分別做列變換化成列階梯形 用分別表示非全零列，則有：由于初等變換后互為等價矩陣，故而矩陣只含有個非全零列，所以：。綜合上述得：特別地：如為列向量，則。如，設， 則 證明： 證明： 設 設 則的標準型為，的標準型為 存在可逆矩陣使： 證明：設，則 證明：分三種情況 （1），滿秩、可逆，可逆， （2），說明中至少有一個元素的代數(shù)余子式不為零，即存在 又，不可逆，則（3）時，由矩陣秩的定義知，得所有階子式為零 評 注 如，則。 證明：考察下列兩個齊次方程組 顯然，（2）的解全部是方程（1）解，因此，（2）的基礎解系包含于（1）的基礎解系，即 另一方面因此，（1）的基礎解系包含于（2）的基礎解系，即而 證明：設，則： 評 注 下面3個關于秩的公式也常常使用。

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