第三節(jié)誤差傳播定律

1、第三節(jié)誤差傳播定律§5-3 誤差傳播定律 在測(cè)量工作中一般采用中誤差作為評(píng)定精度的指標(biāo)。誤差傳播定律：說明觀測(cè)值中誤差與其函數(shù)中誤差之間關(guān)系的定律 。間接觀測(cè)量:在實(shí)際測(cè)量工作中，往往會(huì)碰到有些未知量是不可能或者是不便于直接觀測(cè)的,則：由直接觀測(cè)的量，通過函數(shù)關(guān)系間接計(jì)算得出的量稱為。例如：用水準(zhǔn)儀測(cè)量?jī)牲c(diǎn)間的高差h，通過直接觀測(cè)值后視讀數(shù)a 和前視讀數(shù)b 來(lái)求得的高差：h =ab 。間接觀測(cè)量的誤差：由于直接觀測(cè)值(a、b)中都帶有誤差,因此間接觀測(cè)量函數(shù)(h)也必然受到影響而產(chǎn)生誤差。一、誤差傳播定律? 設(shè)Z是獨(dú)立觀測(cè)量x1，x2，xn的函數(shù)，即式中：x1，x2，xn為直接觀測(cè)量

2、，它們相應(yīng)的觀測(cè)值的中誤差分別為m1，m 2，mn，則觀測(cè)值的函數(shù)Z的中誤差為:式中為函數(shù)Z分別對(duì)各變量 xi 的偏導(dǎo)數(shù)，并將觀測(cè)值（xi=Li）代入偏導(dǎo)數(shù)后的值，故均為常數(shù)。求任意函數(shù)中誤差的方法和步驟如下：列出獨(dú)立觀測(cè)量的函數(shù)式：求出真誤差關(guān)系式。對(duì)函數(shù)式進(jìn)行全微分，得求出中誤差關(guān)系式。只要把真誤差換成中誤差的平方，系數(shù)也平方，即可直接寫出中誤差關(guān)系式：表5-2 常用函數(shù)的中誤差公式二、應(yīng)用舉例【例5-2】 在比例尺為1：500的地形圖上，量得兩點(diǎn)的長(zhǎng)度為 d=23.4 mm，其中誤差 md=±0.2 mm，求該兩點(diǎn)的實(shí)際距離D及其中誤差 mD 。解：函數(shù)關(guān)系式：D=M d，屬倍

3、數(shù)函數(shù)，M=500是地形圖比例尺分母。兩點(diǎn)的實(shí)際距離結(jié)果可寫為：11.7 m±0.1 m。【例5-3】水準(zhǔn)測(cè)量中，已知后視讀數(shù)a =1.734 m，前視讀數(shù)b=0.476 m，中誤差分別為ma=±0.002 m，mb=±0.003 m，試求兩點(diǎn)的高差及其中誤差。解：函數(shù)關(guān)系式為h=a-b，屬和差函數(shù)，得兩點(diǎn)的高差結(jié)果可寫為1.258 m±0.004 m?！纠?5-4】在斜坡上丈量距離，其斜距為L(zhǎng)=247.50 m，中誤差mL=±0.05 m，并測(cè)得傾斜角=10°34，其中誤差m=±3，求水平距離D及其中誤差mD解: 1）首先

4、列出函數(shù)式2）水平距離這是一個(gè)非線性函數(shù)，所以對(duì)函數(shù)式進(jìn)行全微分， 3）先求出各偏導(dǎo)值如下4）寫成中誤差形式：5）得結(jié)果 ： D=243.30 m±0.06 m?！纠?-5】圖根水準(zhǔn)測(cè)量中，已知每次讀水準(zhǔn)尺的中誤差為m讀=±2 mm，假定視距平均長(zhǎng)度為50 m，若以3倍中誤差為容許誤差，試求在測(cè)段長(zhǎng)度為L(zhǎng) km的水準(zhǔn)路線上，圖根水準(zhǔn)測(cè)量往返測(cè)所得高差閉合差的容許值。解:1)每站觀測(cè)高差為：h=a-b2)每站觀測(cè)高差的中誤差：因視距平均長(zhǎng)度為50 m，則每公里可觀測(cè)10個(gè)測(cè)站，L公里共觀測(cè)10L個(gè)測(cè)站，L公里高差之和為：L(km)高差和的中誤差為：往返高差的較差（即高差閉合差

5、）為：高差閉合差的中誤差為：以3倍中誤差為容許誤差，則高差閉合差的容許值為：在第二章中，取 (5-3-41.4)作為閉合差的容許值是考慮了除讀數(shù)誤差以外的其它誤差的影響（如外界環(huán)境的影響、儀器的i角誤差等）。三、注意事項(xiàng)應(yīng)用誤差傳播定律應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：1要正確列出函數(shù)式例：用長(zhǎng)30 m的鋼尺丈量了10個(gè)尺段，若每尺段的中誤差為ml =±5 mm，求全長(zhǎng)D及其中誤差mD。1）函數(shù)式 D=10l=10×30=300 m按倍數(shù)函數(shù)式求全長(zhǎng)中誤差，將得出2）實(shí)際上全長(zhǎng)應(yīng)是10個(gè)尺段之和，故函數(shù)式應(yīng)為用和差函數(shù)式求全長(zhǎng)中誤差，因各段中誤差均相等，故得全長(zhǎng)中誤差為按實(shí)際情況分析用和差公式是正確的，而用倍數(shù)公式則是錯(cuò)誤的。 2在函數(shù)式中各個(gè)觀測(cè)值必須相互獨(dú)立，即互不相關(guān)。如有函數(shù)式：z=y1+2y2=1 (a)而：y1=3x;y2=2x+2 (b)若已知x的中誤差為mx，求Z的中誤差mz。1）直接用公式計(jì)算,由（a）式得：由（b）式得：代入（c）式得（上面所得的結(jié)果是 錯(cuò)誤）上面的結(jié)果為什么是錯(cuò)誤的 ？因?yàn)?/p>