西南大學(xué)線性代數(shù)第一次作業(yè)

1、線性代數(shù)模擬試題一一、填空題(每小題3分，共15分) 1、若矩陣是正定矩陣，則k滿足(k >1). 2、A為3階方陣, 且,是A的伴隨矩陣, 則(-4). 3、A為5×3矩陣, R(A) = 3, , 則R(AB) = (3). 4、設(shè)三階方陣A的特征值為1，2，-1，則的特征值為(-1, -2, 1).5、 設(shè)則. ()二、單項(xiàng)選擇題(每小題3分，共15分) 窗體頂端1、已知A為n階方陣，且滿足A2 = 2E， E為單位陣，則 （）.A B C D A 答案：A2、階方陣A與對(duì)角陣相似的充要條件是 ().A A是實(shí)對(duì)稱陣B A有個(gè)互異特征值C A有個(gè)線性無關(guān)的特征向量D A的

2、特征向量?jī)蓛烧淮鸢福篊3、已知線性方程組的系數(shù)矩陣A是 矩陣，且A的行向量組線性無關(guān)，則下列結(jié)論正確的是（）.A A的列向量組線性無關(guān)B 線性方程組的增廣矩陣的任意四個(gè)列向量線性無關(guān)C 線性方程組的增廣矩陣的行向量組線性無關(guān)D 線性方程組的增廣矩陣的列向量組線性無關(guān)答案：C4、矩陣A與B相似, 則下列說法不正確的是（）.A R(A) = R(B)B A = BC D A與B有相同的特征值答案：B5、如果是n階矩陣A的特征值, 那么必有（）. A B C D 答案：A三、判斷題判斷題（正確的選“”，錯(cuò)誤的選“×”，每小題3分，共15分)1、設(shè)A、B為兩個(gè)不可逆的同階方陣，則|A| =

3、 |B| . （）A B ×答案：A2、若A可逆，則A的伴隨矩陣A*也可逆. （）A B ×答案：A3、若Ax = b（b 0）有無窮多解，則Ax = 0也有無窮多解. （）A B ×答案：A4、如果n維向量組 ，對(duì)于任意一組不全為零的數(shù) ，總有 成立， 則向量組 線性無關(guān). （）A B ×答案：A5、設(shè)A、B為同階方陣，則必有(A + B)(AB)A2B2 （）A B ×答案：B四、(10分)設(shè)4階方陣A、B、C滿足方程，試求矩陣A，其中,Solution根據(jù)，得，于是，所以. 由于，因此, 故.五、(10分)設(shè)3階方陣A的三個(gè)特征值為A的屬

4、于的特征向量依次為求方陣A. Solution令，則. 由于，于是六、(10分)設(shè)矩陣, 其中線性無關(guān)，,向量, 求線性方程組的通解. Solution 由于線性無關(guān)，, 所以R(A) = 3, 因此4元線性方程組Ax = 0的基礎(chǔ)解系中只有一個(gè)解向量. 由, 即，得，因而是Ax = 0的基礎(chǔ)解系.又因?yàn)?，所? 于是是Ax = b的特解，故Ax = b的通解為,其中k為任意常數(shù).七、(10分) 三階方陣A 0,，證明：矩陣的秩R(A) = 1. Proof 因?yàn)?，于是因? 又因?yàn)锳 10，所以，所以.八、(15分)討論l為何值時(shí)，線性方程組 (1) 有唯一解？ (2) 無解？ (3) 有無窮多解？并在此時(shí)求出其通解. Solution(1) 當(dāng)時(shí)，有，方