線性方程組的直接解法

1、第4章 線性方程組的直接解法 本章主要內(nèi)容線性方程組的直接解法消元法（高斯消元法、主元消元法）.矩陣的三角分解法（ Doolittle分解、Crout分解、 LDU分解）緊湊格式改進平方根法. 本章重點、難點 一、消元法（高斯消元法、列主元消元法） 本章求解的是n階線性方程組Ax=b的（即方程的個數(shù)和未知量的個數(shù)相等的線性方程組） 1. 高斯消元法高斯消元法的基本思想：通過對線性方程組Ax=b的進行同解消元變換（也可以用矩陣的初等行變換法進行線性方程組的消元變換），將線性方程組化為上三角形方程組，然后用回代法求出此線性方程組的解。 高斯消元法計算公式： 利用高斯消元法進行消元時，消元過程能進行

2、到底的充分必要條件是系數(shù)矩陣A的各階順序主子式不為零?；蛞?，若（k=1，.，n）,則消元法過程無法進行；若雖然，但很小，用它作除數(shù)，會引起很大的誤差。所以為了減小舍入誤差、提高數(shù)值計算的穩(wěn)定性，通常采用選主元的消元法（包括列主元消元法和全主元消元法）。 2. 主元消元法 列主元消元法的計算步驟： 在進行第k（k=1,2,n-1）步消元時，首先在第k列下面的n-k+1個元素中選取絕對值最大的元素作為列主元素，然后將列主元所在方程與第k個方程交換位置，再按照高斯消元法進行消元、回代計算。 全主元消元法的計算步驟： 在進行第k（k=1,2,n-1）步消元時， 首先在第k行至第n行和第k列至第n列的

3、（n-k+1）2個元素中選取絕對值最大的元素作為全主元素，然后將全主元所在行與第k行交換，將全主元所在列與第k列交換，再按照高斯消元法進行消元、回代計算。 例1 用高斯消元法、列主元消元法解線性方程組 解 1. 高斯消元法 用矩陣的初等行變換法求解 消元得同解上三角方程組為 ： 回代，得： 方程組的解為： 2.列主元消元法 消元得同解上三角方程組為 ： 回代，得方程組的解為： 二 矩陣的三角分解(包括Doolittle分解和Crout分解) 矩陣的三角分解和線性方程組的關(guān)系若線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A能進行三角分解，即A=LR，則解線性方程組Ax=b等價于求解兩個系數(shù)矩陣為三角陣的方程組

4、LY=b和 RX=Y。其中消元法的消元過程就是分解系數(shù)矩陣為A=LR，并解線性方程組LY=b，而回代過程則是解方程組RX=Y。用代入法解方程組LY=b的計算公式為：再回代解方程組RX=Y的計算公式為： 矩陣的三角分解是將給定的n階矩陣A，找到一個下三角矩陣L和上三角矩陣R,使得A=LR. 1. Doolittle分解:是指將矩陣A分解為單位下三角矩陣L和上三角矩陣R,即A=LR. 2. Crout分解: 是指將矩陣A分解為下三角矩陣和單位上三角矩陣,即 3. LDU分解: 是指將矩陣A分解為單位下三角矩陣L、對角矩陣D和單位上三角矩陣R,即A=LDR. 注意：不是任何方陣都可以進行三角分解。例

5、如二階非奇異矩陣就沒有三角分解。 矩陣A進行三角分解的條件與結(jié)論:若矩陣A的所有順序主子式detAk0(k=1,2,n-1),則存在唯一單位下三角陣L和上三角陣R.使得A=LR； 存在唯一的單位下三角陣L、對角陣D和單位上三角陣U，使得A=LDU. 主元消元法與矩陣分解的條件與結(jié)論:若n階矩陣A非奇異,即detA0,則存在n階置換矩陣P,元素絕對值不大于1的單位下三角陣L和上三角陣R,使得PA=LR存在n階置換矩陣P和Q,元素絕對值不大于1的單位下三角陣L和上三角陣R,使得PAQ=LR例2已知矩陣檢驗是否滿足三角分解的條件，若滿足條件，則進行分解解因為，所以滿足三角分解條件，下面用高斯消元法分

6、解因為，存在消元陣,使得 由,存在消元陣,使得 于是有再取于是有再取于是有 三、緊湊格式緊湊格式是利用矩陣乘法和矩陣相等的法則，對矩陣A直接進行三角分解的一種有一定規(guī)律的、便于記憶的分解方法。并且可以用此方法很容易地求解線性方程組。 緊湊格式的公式為： 緊湊格式的計算表：(a11) r11(a12) r12(a13)r13(a1n) r1n(a21) l21(a22) r22(a23)r23(a2n) r2n(a31)l31(a32)l32(a33) r33(a3n) r3n(an1) ln1(an2)ln2(an3) ln3(ann) rnn利用緊湊格式的計算表對矩陣進行三角分解的步驟： 1

7、. 計算順序：將aij ,rij ,lij 按緊湊格式的計算表排列好，計算時按框從外到內(nèi)進行，每一框中先計算行，從左向右依次計算rij ；再計算列，自上而下計算lij。 2. 計算方法：按行計算時，需將所求元素rij的對應元素aij逐項減去rij 所在行左邊各框的元素lik乘以rij所在列上面各框相應的元素rkj; 按列計算lij時，在作上述運算后還需除以lij所在框的對角元素rii。 3. 寫出矩陣的三角分解式。例3 利用緊湊格式法對線性方程組AX=b的系數(shù)矩陣A進行三角分解，并求解此線性方程組。其中 【思路】可以利用矩陣的乘法和矩陣相等的法則對矩陣A直接進行三角分解； 也可以利用緊湊格式的

8、計算公式（或列出緊湊格式的計算表）按順序計算出單位下三角陣L和上三角陣R的元素，直接完成A=LR的三角分解.再分別代入兩個三角方程LY=b，RX=Y中，求出方程的解X解 方法一解 首先直接完成矩陣A的三角分解 根據(jù)矩陣乘法法則及矩陣相等的定義，用第一行乘各列得 再用第二、三行乘第一列得 用第二、三行乘第二、三列得 再用第三行乘第二列得 最后再用第三行乘第三列得 于是得矩陣A的三角分解式 然后解單位下三角形方程組即 由第一個方程開始逐個代入得 再解上三角形方程組即方法二利用緊湊格式的計算公式得四、改進平方根法 當矩陣A為對稱矩陣時，它有對稱的三角分解式，稱為改進平方根法。對稱矩陣進行三角分解的條件與結(jié)論：若A為對稱矩陣，且矩陣A的所有順序主子式detAk0(k=1,2,n-1),則存在唯一的單位下三角陣L、非奇異對角陣D，使得A=LDLT. 計算公式：改進平方根法的計算公式和用緊湊格式法進行三角分解的計算公式以及方