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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上偏微分方程數(shù)值解試題(06B)參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)信息與計算科學(xué)專業(yè)一(10分)、設(shè)矩陣對稱,定義,.若,則稱稱是的駐點(diǎn)(或穩(wěn)定點(diǎn)).矩陣對稱(不必正定),求證是的駐點(diǎn)的充要條件是:是方程組 的解解: 設(shè)是的駐點(diǎn),對于任意的,令, (3分),即對于任意的,特別取,則有,得到. (3分) 反之,若滿足,則對于任意的,因此是的最小值點(diǎn). (4分)評分標(biāo)準(zhǔn):的展開式3分, 每問3分,推理邏輯性1分二(10分)、 對于兩點(diǎn)邊值問題:其中建立與上述兩點(diǎn)邊值問題等價的變分問題的兩種形式:求泛函極小的形式和形式的變分方程。解: 設(shè)為求解函數(shù)空間,檢驗(yàn)函數(shù)空間.取,乘方程兩端,積分應(yīng)用
2、分部積分得到 (3分) ,即變分問題的形式. (3分) 令,則變分問題的形式為求,使 (4分)評分標(biāo)準(zhǔn):空間描述與積分步驟3分,變分方程3分,極小函數(shù)及其變分問題4分,三(20分)、對于邊值問題(1)建立該邊值問題的五點(diǎn)差分格式(五點(diǎn)棱形格式又稱正五點(diǎn)格式),推導(dǎo)截斷誤差的階。(2)取,求邊值問題的數(shù)值解(寫出對應(yīng)的方程組的矩陣形式,并求解)(3)就和的一般情況寫出對應(yīng)方程組的系數(shù)矩陣(用分塊矩陣表示)。解: (1) 區(qū)域離散,差分格式為 (5分)應(yīng)用展開得到,截斷誤差為,其階為 (3分)(2) 未知量為,矩陣形式為,其中 (4分)求解得到解為 (3分)A=4,-1,-1,0;-1,4,0,-
3、1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4L = 2.0000 -0.5000 -0.5000 0 0 1.9365 -0.1291 -0.5164 0 0 1.9322 -0.5521 0 0 0 1.8516u= 0.6667 0.3333 0.6667 0.3333(3) 矩陣為, (5分)評分標(biāo)準(zhǔn):第1問8分,格式4分,截斷誤差4.(2) 7分,方程4分,解3分.(3)5分, 形式3分,B的形式2分四(20分)、對于初邊值問題(1)建立向前差分格式(最簡顯格式),推導(dǎo)截斷誤差的主項(xiàng),指出誤差階;(2)寫出差分格式的矩陣形式(即的形式),用矩陣方法分析格式的穩(wěn)定性(3)建立六點(diǎn)對稱格式(
4、格式) 并寫出計算形式,應(yīng)用方法(分離變量法)分析格式的穩(wěn)定性。解:(1) 區(qū)域離散,格式為 , (5分)應(yīng)用展開得到,誤差主項(xiàng)為,階為 (3分) (2) , (4分)穩(wěn)定條件為 (3分)(3) 格式為, (3分)低階項(xiàng)歸入中,格式是無條件穩(wěn)定的. (2分)五(10分)、逼近的三層差分格式分析格式的穩(wěn)定性解:計算形式為 (2分)此為三層格式,化為兩層格式.令,則有 (4分) 令,代入格式,消去公因子,得到 (2分) 放大矩陣為,特征方程為,的充要條件為方程有相同的復(fù)根或一對共扼復(fù)根,即.考慮到的變化,穩(wěn)定條件為 (2分)六(10分)、建立波動方程的初值問題的顯格式,推導(dǎo)截斷誤差,推導(dǎo)格式穩(wěn)定的必要條件.解:差分格式為, (3分)截斷誤差為,階為 (3分)分析穩(wěn)定性必要條件 (4分)七(10分)、對于二維拋物型方程建立差分格式,指出截斷誤差階,分析格式的穩(wěn)定性。解: 差分格式為 (4分)誤差階為 (3分)放大因子為,恒穩(wěn)定. (3分)八.用方法求邊值問題的第次近似,基函數(shù)解:(1)邊界條件齊次
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