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1、第二章第二章結(jié)構(gòu)相似理論結(jié)構(gòu)相似理論教學(xué)課程實(shí)驗(yàn)應(yīng)力分析哈爾濱工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院2012年11月16日2.1 概述力學(xué)分析理論計(jì)算實(shí)驗(yàn)研究原型試驗(yàn)?zāi)P驮囼?yàn)?zāi)P驮囼?yàn)是將發(fā)生在原型中的力學(xué)過(guò)程,在物理相似條件下,經(jīng)縮小(或放大)后在模型上重演。對(duì)模型中的力學(xué)參數(shù)進(jìn)行測(cè)量、記錄、分析,并根據(jù)相似關(guān)系換算到原型中去,達(dá)到研究原型力學(xué)過(guò)程的目的。模型試驗(yàn)?zāi)P驮囼?yàn)Akashi Kaikyo Bridge, Japan明石頭海峽大橋,日本模型試驗(yàn)?zāi)P驮囼?yàn)?zāi)P驮囼?yàn)?zāi)P驮囼?yàn)航空航天領(lǐng)域UCSD-NEES 室外振動(dòng)臺(tái)實(shí)驗(yàn)原型試驗(yàn)原型試驗(yàn)日本,E-Defense振動(dòng)系統(tǒng),“足尺三維振動(dòng)破壞實(shí)驗(yàn)設(shè)施”模型試驗(yàn)的優(yōu)點(diǎn)

2、:經(jīng)濟(jì)性好模型尺寸小針對(duì)性強(qiáng)突出主要因素,略去次要因素?cái)?shù)據(jù)準(zhǔn)確室內(nèi)試驗(yàn)?zāi)P驮囼?yàn)的應(yīng)用:代替大型結(jié)構(gòu)試驗(yàn)或作為大型結(jié)構(gòu)試驗(yàn)的輔助試驗(yàn)。作為結(jié)構(gòu)分析計(jì)算的輔助手段。驗(yàn)證和發(fā)展結(jié)構(gòu)計(jì)算理論。模型試驗(yàn)的理論基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)相似理論2.2 模型的相似物理量和物理現(xiàn)象的相似2. 物理現(xiàn)象相似是指除了幾何相似之外,在進(jìn)行物理過(guò)程的系統(tǒng)中,在相應(yīng)的地點(diǎn)(位置)和對(duì)應(yīng)的時(shí)刻,模型與原型的各相應(yīng)物理量之間的比例應(yīng)保持常數(shù)。1. 物理量相似 各種物理量,如幾何,質(zhì)量,力等。在兩個(gè)系統(tǒng)中,所有向量在對(duì)應(yīng)點(diǎn)和對(duì)應(yīng)時(shí)刻方向相同、大小成比例,所有標(biāo)量也在對(duì)應(yīng)點(diǎn)和對(duì)應(yīng)時(shí)刻成比例2.2.1基本概念2.2.2 物理量的相似1.幾何相似要

3、求模型與原型結(jié)構(gòu)之間所對(duì)應(yīng)部分的尺寸成比例。幾何尺寸之比稱為幾何相似常數(shù)。mmmlppplbhSlbhlSlbhmp幾何相似常數(shù)、 、結(jié)構(gòu)的長(zhǎng)、寬、高三個(gè)方向的線性尺寸、分別代表模型和原型2mmmAlpppAhbSSAhb對(duì)一矩形截面,模型和原型結(jié)構(gòu)的面積相似常數(shù)、截面抵抗矩相似常數(shù)和慣性矩相似常數(shù)分別為2321616mpmmpWplbhWWbShS343112112mpIlmmppbhIIbShS 面積相似常數(shù)截面抵抗矩相似常數(shù)慣性矩相似常數(shù)相似常數(shù)2.質(zhì)量相似要求模型與原型結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)部分質(zhì)量成比例。質(zhì)量之比稱為質(zhì)量相似常數(shù)。pmmmmS對(duì)于具有分布質(zhì)量部分,用質(zhì)量密度表示。pmS3lSSSS

4、SmVm質(zhì)量密度相似常數(shù)3.荷載相似要求模型與原型在各對(duì)應(yīng)點(diǎn)所受的荷載方向一致,大小成比例。集中荷載相似常數(shù)線荷載相似常數(shù)面荷載相似常數(shù)彎矩或扭矩相似常數(shù)2lSSAAPPSPPmmpmplSSS3lMSSSqSS4.物理相似 要求模型與原型的各相應(yīng)點(diǎn)的應(yīng)力和應(yīng)變、剛度和變形間的關(guān)系相似。數(shù)。應(yīng)變和泊松比的相似常剪應(yīng)力、剪切模量、剪應(yīng)變、正應(yīng)力、彈性模量、正SSSSSSSGE,mmmGpPPGSSSGmpSmmmEpPPESSSE5.時(shí)間相似 pmtttS 時(shí)間相似常數(shù)對(duì)于結(jié)構(gòu)的動(dòng)力問(wèn)題,在隨時(shí)間變化的過(guò)程中,要求模型與原型在對(duì)應(yīng)時(shí)刻進(jìn)行比較,要求相對(duì)應(yīng)的時(shí)間成比例。6.邊界條件相似 要求模型與

5、原型在與外界接觸的區(qū)域內(nèi)的各種條件(支承條件、約束條件和邊界上的受力情況等)保持相似。7.初始條件相似動(dòng)力問(wèn)題 要求模型與原型在初始時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)參數(shù)相似。 初始幾何位置、質(zhì)點(diǎn)的位移、速度和加速度。模型上的速度、加速度和原型的速度和加速度在對(duì)應(yīng)的位置和對(duì)應(yīng)的時(shí)刻保持一定的比例,并且運(yùn)動(dòng)方向一致。與原型結(jié)構(gòu)構(gòu)造相同的條件2.3.結(jié)構(gòu)相似定理FmpFS F以牛頓第二定律為例來(lái)說(shuō)明第一相似定理性質(zhì)對(duì)于原型: (1)力相似常數(shù)如果模型與原型相似,則各對(duì)應(yīng)物理量成比例: 對(duì)于模型 (2)pppaMF mmmaMFmmpmS mmapaS a質(zhì)量相似常數(shù)加速度相似常數(shù) (3)2.3.1.第一相似定理pppam

6、FamFSSSpmppmmFFidemm am a將(3)代入(2),與(1)相比有:稱這一無(wú)量綱量為相似準(zhǔn)數(shù),也稱相似判決,相似系統(tǒng)相似準(zhǔn)數(shù)相同emFmaid1FmaSS S無(wú)量綱值相似指標(biāo)(4)將(3)代入(4)(4)式為判別模型與原型是否相似的條件,稱為相似指標(biāo),若兩個(gè)物理系統(tǒng)現(xiàn)象相似,則它們的相似指標(biāo)為1。去掉角標(biāo),寫成一般形式:已知系統(tǒng)相似確定相似條件第一相似定理:彼此相似的現(xiàn)象,以相似常數(shù)組成的受現(xiàn)象制約的相似指標(biāo)等于1或相同文字組成的相似準(zhǔn)數(shù)為一不變量。相似常數(shù):在兩相似現(xiàn)象中,兩個(gè)對(duì)應(yīng)的物理量之比為常數(shù)。相似指標(biāo):由彼此相似現(xiàn)象中各相似常數(shù)組成的無(wú)量綱量,彼此相似的現(xiàn)象都滿足相

7、似指標(biāo)等于1的條件。相似準(zhǔn)數(shù):在所有相似的現(xiàn)象中是一個(gè)不變量,無(wú)量綱量,所有相似的系統(tǒng)相似準(zhǔn)數(shù)應(yīng)相等。幾個(gè)重要概念小結(jié)2.3.2 方程分析法 利用描述現(xiàn)象的基本微分方程組導(dǎo)出相似準(zhǔn)數(shù)(判據(jù))。具體步驟:第一步:將方程對(duì)于原型寫出,加角標(biāo) p;第二步:將方程對(duì)于模型寫出,加角標(biāo) m;第三步:定義模型和原型同名物理量間的相似常數(shù);第四步:將模型方程中各物理量以相似常數(shù)和原型中對(duì)應(yīng)物理量表示。第五步:比較原型與模型方程,消去原型方程中的各物理量,即得到無(wú)量綱形式的相似指標(biāo)和相應(yīng)的相似準(zhǔn)數(shù)(判據(jù))。例1:?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)有阻尼受迫振動(dòng)相似準(zhǔn)數(shù)的導(dǎo)出。振動(dòng)微分方程如下: 22d ydymckypdtdt解:

8、對(duì)于原型系統(tǒng)振動(dòng)微分方程22pppppppppd ydymck ypdtdt22mmmmmmmmmd ydymck ypdtdt對(duì)于模型系統(tǒng)振動(dòng)微分方程,mmmmmmmckytpppppppmckytpSSSSSSmckytp 各物理量的相似常數(shù)為,mmpmcpmkpmppmt pmppmS mcS ckS kyS ytS tpS p模型系統(tǒng)各物理量為將上式代入模型系統(tǒng),得:222ypypmpcpkypppptptpSd ySdySmScS Sk ySpSdtSdt2yymckypttSSSSS SSSS222ypypmpcpkypppptptpSd ySdySmScS Sk ySpSdtSd

9、t與原型系統(tǒng)相比較,得:由上式得222mycyttmykytmyptS SS SSSS SS SSS SSS122222311, 1,ctmktmptmyS SSS SSS SSctSmktmptmy22pppppppppd ydymck ypdtdtPLa()()pppppppppppMP LaMPLaWW例2:一懸臂梁結(jié)構(gòu),在梁端作用一集中荷載 P,截面高 h,寬 b,求相似準(zhǔn)數(shù)。解:對(duì)于原型結(jié)構(gòu),在任意截面 a處彎矩、正應(yīng)力和撓度為:2(3)6pppppppP afLaE I()()mmmmmmmmmmmMP LaMPLaWW2(3)6mmmmmmmP afLaE I模型方程,mmmmm

10、EpMfpppppEPMfSSSSSEPMf22()()(3)6mmmmmmmMPllpfmmmmElpmmmmmSS SS SSS S SMP LaPLaWP afLaESI將以上各式代入原型系統(tǒng)方程,則相似系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)相似常數(shù)為34,mmllmmmmlwIpppppplahbSSSlahWISSIbW將上式并與模型系統(tǒng)相比較,得相似準(zhǔn)數(shù)如下2111MPllpfElpSS SS SSS S SS1223MPLLPfELP2mmpMplmlpmpmElpmfpMMMSS SSSSfS SffSS由相似條件得到原型受力分布323(2)24()2()2q xyLLxxEIq xMLxq xLxW例3

11、:受均布載荷 q 作用的簡(jiǎn)支梁在截面 x 處的撓度、彎矩和正應(yīng)力如下,求相似準(zhǔn)數(shù)。解:原型系統(tǒng)方程323(2)24()2()2pppppppppppppppppppq xyLL xxE Iq xMLxq xLxW相似系統(tǒng)的對(duì)應(yīng)各物理量的相似常數(shù)為:43,mmmmmyMqlpppppmmmmlEIlWlppppyMqxSSSSSyMqxLEIWSSSSSSLEIW模型系統(tǒng)方程323(2)24()2()2mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmq xyLL xxE Iq xMLxq xLxW將模型系統(tǒng)各物理量代入上式43234223(2)24()2()2qlElqlqllppypppppppppM

12、PPPppppppS S q xS yLL xxS S E IS S q xS MLxS S q xSLxSW43,mypmMpmpmpmlpqmlpmEpmlpmlpyS yMS MSqS qxS xLS LES EIS IWS W模型系統(tǒng)各物理量為1223EyqMq llq整理得2111EyqMlqlqS SSSS SS SS3223(2)24()2()2EqqlqyMlpppppppppppPPPppppppS SSSS Sq xyLL xxE Iq xMLxq xS SSLxW則相似條件為2.4.1.基本概念量綱:物理量的種類量綱表示:麥克斯韋爾符號(hào),比如L,M,T,表示長(zhǎng)度,質(zhì)量和時(shí)

13、間的量綱。2.4 量綱分析法量綱只區(qū)分物理量得種類,而不區(qū)分同一物理量得不同量度單位,如:5m,500cm。同名物理量具有相同的量綱。質(zhì)量系統(tǒng):長(zhǎng)度L、時(shí)間T、質(zhì)量M絕對(duì)系統(tǒng):長(zhǎng)度L、時(shí)間T、力F無(wú)量綱量:物理量無(wú)量綱,用1表示。基本量綱:具有獨(dú)立性的量綱,任何一個(gè)量綱不可能由其他量綱組成。導(dǎo)出量綱:所研究物理過(guò)程中全部有關(guān)物理量都可由這組基本量綱表示,任何物理量B的量綱可寫成B=FLT速度=長(zhǎng)度/時(shí)間 V=LT-1力=質(zhì)量加速度=質(zhì)量長(zhǎng)度/時(shí)間 F=MLT-2常用物理量的量綱2.4.2.2.4.2.第二相似定理(第二相似定理( 定理)定理)物理方程量綱均勻性:物理方程是反映客觀物理現(xiàn)象規(guī)律的

14、各物理量的關(guān)系式,方程中各項(xiàng)的量綱必須相相等,并應(yīng)使用同一度量單位。只有相同的量綱才能相加減,并用算術(shù)符號(hào)連接起來(lái)。(量綱和諧原理)物理方程量綱的齊次性:當(dāng)量度單位發(fā)生改變時(shí),方程的結(jié)構(gòu)形式不變的性質(zhì)稱為物理方程量綱的其次那性。u 量綱的均勻性,齊次性若在一個(gè)物理方程中共有n個(gè)物理參數(shù)x1, x2, , xn和k個(gè)基本量綱,則可組成(n-k)個(gè)獨(dú)立的無(wú)量綱組合。無(wú)量綱參數(shù)組合簡(jiǎn)稱“ 數(shù)”,則此方程可改寫為(n-k)個(gè)數(shù)的方程,即:0),(21nxxxf12(,.,)0n kF 把表示物理過(guò)程的方程轉(zhuǎn)換成由相似準(zhǔn)數(shù)表示的方程。u 第二相似定理 假設(shè)一物理現(xiàn)象的關(guān)系方程為:f(x1,x2,xn)=

15、0,式中x1, x2, xn為n個(gè)物理量,其中k個(gè)為基本量綱,(n-k)個(gè)為導(dǎo)出量綱。k個(gè)基本量綱為:100112.kxx xx00112.kkxx xx010212.kxx xx11111212.nknknkkknkxxxxxxxxn-k 個(gè)導(dǎo)出量的量綱可用基本量綱表示:若把物理量 x1, x2, xk 的度量單位各縮小1/a1, 1/a2, , 1/ak,并取 a1, a2, ak 為任意數(shù)值,則在新的單位系統(tǒng)中各物理量的數(shù)值變?yōu)椋?11111121 1211n kn kn kkkkkknknkxa xxa xxxa aaaxaax將它們代入到物理方程中,則有:0).,.,.,.,(111

16、11211212211nkkkkkxaaaxaaaxaxaxafkn111112.kkxx xx為減少自變量數(shù)目,取 a1=1/x1, a2=1/x2, , ak=1/xk12(,1,1,.,1.,)0n kf 111112112.n kn kn kknn kkkx xxxxxxx這樣基本量量綱之比、數(shù)值之比都等于1;導(dǎo)出量數(shù)值之比為1,量綱之比等于無(wú)量綱數(shù) i 。12( , ,.,) 0n kF 12(1 ,1 ,.,1 , , ,.,) 0n kf 可寫成如果表示物理現(xiàn)象的方程中,包含 n 個(gè)物理量,其中k個(gè)具有或包含獨(dú)立量綱,于是 k 個(gè)可選為基本量,經(jīng)過(guò)變換,該物理現(xiàn)象可由 n-k 個(gè)

17、物理量綜合數(shù)群關(guān)系式來(lái)表示,這就是 定理,又稱第二相似定理。例4:?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)有阻尼受迫振動(dòng)導(dǎo)出相似準(zhǔn)數(shù) ( , , , , , )0f m y t c k p 解1:設(shè)現(xiàn)象中各物理量的關(guān)系方程如下:1111cm y t取m,y,t為量綱獨(dú)立的物理量,有:2222kmy t3333pm y t各物理量的量綱: Mm 2 MLTp 2 MTk 1 MTc Tt Ly 由無(wú)量綱量 1、2 、3 得比較可得 111222333122MTMLTMTMLTMLTMLT 1112223331,0,11,0,21,1,2 22123,ctktptmmmy所以由于 數(shù)對(duì)于相似的物理現(xiàn)象具有不變的形式,故模型設(shè)

18、計(jì)時(shí)需模型物理量與原型物理量滿足下式,即:2222,p pm mmpp pm mmpp pm mmmppc tc tmmk tk tmmp tp tm ym y將各物理量的相似常數(shù)代入上式,即得相似條件221, 11,ctmktmptmyS SSS SSS SS S解2:設(shè)現(xiàn)象中各物理量的關(guān)系方程如下:( , , , , , )0f m y t c k p 物理量個(gè)數(shù) n=6, 用絕對(duì)系統(tǒng),基本量綱3個(gè),則 函數(shù)為:123(,)0 所有物理量組成無(wú)量綱形式的 數(shù)的一般形式為:356124aaaaaam c ky tp1211 , , , , mFL TcFL TkFLyLtTpF查表得物理量的

19、量綱代入上式得35612412111 aaaaaaFL TFL TFLLTF根據(jù)量綱和諧要求,對(duì)量綱 F、L、T 有123123412560200aaaaaaaaaaa假若確定a1 , a4, a5,則:2153145642aaaaaaaaa 故無(wú)量綱 數(shù)可寫為:15141455415422aaaaaaaaaaaamkkytkcpcm cky tp,可得三個(gè)獨(dú)立 數(shù):451511445,0,00,00,0,111aaaaaaaaa分別取22123,ctktptmmmy與方法1結(jié)果比較:根據(jù)第一相似定理,故模型設(shè)計(jì)時(shí)需模型物理量與原型物理量滿足下式,即:22,ppmmmpppmmmpp pm m

20、mpm km kcck yk yppk tk tcc將各物理量的相似常數(shù)代入上式,即得相似條件2, 1,11mkcmypktcS SSS SSS SS例5:對(duì)受集中載荷的簡(jiǎn)支梁導(dǎo)出相似準(zhǔn)數(shù) ( , , ,)0PlfMW解:受豎向荷載作用的梁的正截面應(yīng)力 是梁的跨徑 l,截面抗彎模量 W,梁上作用荷載 P 和彎矩 M 的函數(shù),這些物理量的之間關(guān)系可寫成一般形式:物理量個(gè)數(shù) n=5, 基本量綱 k=2個(gè),則 函數(shù)為:123(,)0 所有物理量組成無(wú)量綱形式的 數(shù)的一般形式為:abc deP M l W23 , , FLMFLWLlLpF查表得各物理量的量綱則量綱矩陣 根據(jù)量綱和諧要求,對(duì)量綱 L、

21、F 有2300acdeabc確定a、b、d,則1133cabeabd a b c d e P M l WL -2 0 1 1 3F 1 1 1 0 0 故無(wú)量綱 數(shù)可寫為:11331313abdababbdadWPP Ml WWlMMW 可得三個(gè)獨(dú)立 數(shù):1312313,WPWlMMW1,0,00,1,00,0,1abdabdabd分別取圖示為欄河水壩在動(dòng)力作用下,考慮結(jié)構(gòu)的自重及彈性力、慣性力、動(dòng)水壓力影響后,結(jié)構(gòu)的應(yīng)力、振幅、頻率、加速度、幾何尺寸、材料密度、液體密度、重力加速度、材料彈性模量、泊松比的關(guān)系應(yīng)滿足:例6:分析如圖示的動(dòng)力模型實(shí)驗(yàn)的相似準(zhǔn)數(shù) 0),(EgLafuf解:取 , f, L 為量綱獨(dú)立的物理量,則十個(gè)物理量的量綱為:122332112 , , , , , , 1 , ML TuLaLTMLgfTMLTEMLTLLL,7776665554443332221117654321,fLfLEfLgfLfLafLufL解得

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