矩陣的初等行變換

1、一、矩陣一、矩陣定義定義由由sn個數(shù)排成個數(shù)排成 s 行行 n 列的表列的表111212122212nnsssnaaaaaaAaaa 稱為一個稱為一個 sn 矩陣矩陣，j為列指標為列指標. .().ijs nAa 簡記為簡記為數(shù)數(shù) 稱為矩陣稱為矩陣A的的 i 行行 j 列的列的元素元素，其中，其中i為行指標，為行指標，ija若矩陣若矩陣(),1,2, ,1,2,ijs nijAaaPisjn 則說則說A為為數(shù)域數(shù)域 P 上的矩陣上的矩陣當當 s=n 時，時， 稱為稱為n級方陣級方陣()ijn nAa 由由 n 級方陣級方陣 定義的定義的 n 級行列式級行列式()ijn nAa A稱為稱為矩陣矩

2、陣A的行列式的行列式，記作，記作 或或detA 特別地，特別地，111212122212nnnnnnaaaaaaaaa 矩陣的相等矩陣的相等,1,2, ,1,2,ijijabisjn則稱則稱矩陣矩陣A與與B相等相等，記作，記作 A=B(),(),ijs nijs nAaBb設矩陣設矩陣如果如果1) 以以P中一個非零數(shù)中一個非零數(shù)k乘矩陣的一行；乘矩陣的一行；kP 2) 把矩陣的某一行的把矩陣的某一行的k倍加到另一行，倍加到另一行， ；3) 互換矩陣中兩行的位置互換矩陣中兩行的位置注意：注意：二、矩陣的初等行變換二、矩陣的初等行變換定義定義數(shù)域數(shù)域P上的矩陣的初等行變換是指：上的矩陣的初等行變換

3、是指：矩陣矩陣A經(jīng)初等行變換變成矩陣經(jīng)初等行變換變成矩陣B，一般地，一般地ABikrijrkr ijrr如果矩陣如果矩陣A的任一行從第一個元素起至該行的的任一行從第一個元素起至該行的階梯形矩陣階梯形矩陣 第一個非零元素所在的下方全為零；若該行全第一個非零元素所在的下方全為零；若該行全為為0，則它的下面各行也全為，則它的下面各行也全為0，則稱矩陣，則稱矩陣A為為階梯形矩陣階梯形矩陣 任意一個矩陣總可以經(jīng)過一系列初等行變換任意一個矩陣總可以經(jīng)過一系列初等行變換化成階梯形矩陣化成階梯形矩陣命題命題 例例1 計算行列式計算行列式 251319 137315528710 原理：原理：三、行列式的計算三、

4、行列式的計算任一方陣任一方陣 A 可經(jīng)過一系列的初等變換化成可經(jīng)過一系列的初等變換化成,0.Ak Jk階梯陣階梯陣 J ，且且 方法：方法：階梯陣，從而算得行列式的值階梯陣，從而算得行列式的值對行列式對行列式 中的中的A作初等行變換，把它化為作初等行變換，把它化為A1) 以以P中一個非零數(shù)中一個非零數(shù)k乘矩陣的一列；乘矩陣的一列；kP 2) 把矩陣的某一列的把矩陣的某一列的k倍加到另一列，倍加到另一列， ；3) 互換矩陣中兩列的位置互換矩陣中兩列的位置四、矩陣的初等列變換四、矩陣的初等列變換定義定義數(shù)域數(shù)域P上的矩陣的初等列變換是指：上的矩陣的初等列變換是指：ikcijckc ijcc矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換初等變換注：注：把它化成列階梯陣，從而算得行列式的值把它化成列階梯陣，從而算得行列式的值計算行列式計算行列式 時，也可對時，也可對A作初等列變換，作初等