復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的傳播動力學——閾值與全局穩(wěn)定性分析

1、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的傳播動力學復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的傳播動力學閾值與全局穩(wěn)定性分析閾值與全局穩(wěn)定性分析傅新楚傅新楚上海大學數(shù)學系，上海大學數(shù)學系，Based on collaborative works with:Based on collaborative works with:GuanrongGuanrong Chen and Chen and MengMeng Yang Yang隨機圖與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研討會隨機圖與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研討會2012年年5月月25-28日，華東師范大學日，華東師范大學目目 錄錄一一引言引言二二標準標準SISSIS模型及免疫策略模型及免疫策略三三復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上帶媒介的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上帶媒介的SISSIS

2、模型及其地方病平衡點和模型及其地方病平衡點和無病平衡點的全局穩(wěn)定性無病平衡點的全局穩(wěn)定性四四復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上一類修正的帶媒介的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上一類修正的帶媒介的SISSIS模型及其地方模型及其地方病平衡點和無病平衡點的全局穩(wěn)定性病平衡點和無病平衡點的全局穩(wěn)定性五五注記注記：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是由具有一定特征和功能的、相互關(guān)聯(lián)及相互影響的基本單復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是由具有一定特征和功能的、相互關(guān)聯(lián)及相互影響的基本單元所構(gòu)成的復(fù)雜集合體。在現(xiàn)實生活中，許多復(fù)雜問題都可用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)來刻元所構(gòu)成的復(fù)雜集合體。在現(xiàn)實生活中，許多復(fù)雜問題都可用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)來刻畫和建模。例如，流行病的傳播與控制、計算機病毒在網(wǎng)絡(luò)中的擴散、謠言畫和建模。例如，流行

3、病的傳播與控制、計算機病毒在網(wǎng)絡(luò)中的擴散、謠言的流傳、交通疏導(dǎo)等，都可以看作復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上服從某種規(guī)律的傳播行為。的流傳、交通疏導(dǎo)等，都可以看作復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上服從某種規(guī)律的傳播行為。目前，關(guān)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上流行病的傳播與控制已有很多研究成果。在具有齊次目前，關(guān)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上流行病的傳播與控制已有很多研究成果。在具有齊次性質(zhì)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上，傳染病的流行與否取決于流行病閾值。當傳染率大于流性質(zhì)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上，傳染病的流行與否取決于流行病閾值。當傳染率大于流行病閾值時，隨著時間的推移傳染病會在總?cè)丝谥姓加幸欢ǖ谋壤?，反之，行病閾值時，隨著時間的推移傳染病會在總?cè)丝谥姓加幸欢ǖ谋壤?，反之，傳染病最終會消失。而對于具有非

4、齊次性質(zhì)的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，人們一度認為，只傳染病最終會消失。而對于具有非齊次性質(zhì)的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，人們一度認為，只要在初始時刻存在感染者，傳染病會始終存在；但隨后的研究表明，在一定要在初始時刻存在感染者，傳染病會始終存在；但隨后的研究表明，在一定更貼近現(xiàn)實的條件限制下，對于非齊次網(wǎng)絡(luò)也存在正的流行病閾值（一般較更貼近現(xiàn)實的條件限制下，對于非齊次網(wǎng)絡(luò)也存在正的流行病閾值（一般較小）。小）。本報告首先簡單介紹研究的背景、進展及我們的主要工作；接著介紹標準本報告首先簡單介紹研究的背景、進展及我們的主要工作；接著介紹標準SIS模型的動力學行為及免疫策略；然后討論非齊次復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上帶傳播媒介模型的動力學行為及免疫策略

5、；然后討論非齊次復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上帶傳播媒介的的SIS模型及其地方病平衡點和無病平衡點的全局穩(wěn)定性；最后談?wù)劮驱R次模型及其地方病平衡點和無病平衡點的全局穩(wěn)定性；最后談?wù)劮驱R次復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上一類修正的帶傳播媒介的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上一類修正的帶傳播媒介的SIS模型，求出該模型的流行病閾值，模型，求出該模型的流行病閾值，并證明當感染率大于該閾值時，只要模型存在初始感染節(jié)點，模型就總存在并證明當感染率大于該閾值時，只要模型存在初始感染節(jié)點，模型就總存在唯一的正不動點，從而證明了該模型的傳染過程的地方病平衡點和無病平衡唯一的正不動點，從而證明了該模型的傳染過程的地方病平衡點和無病平衡點的全局穩(wěn)定性。點的全局穩(wěn)定性。近年來，

6、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的傳染病動力學研究，已取得近年來，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的傳染病動力學研究，已取得了豐碩成果了豐碩成果當傳染率大于流行病閾值時，隨著時間的推移傳染當傳染率大于流行病閾值時，隨著時間的推移傳染病會在總?cè)丝谥姓加幸欢ǖ谋壤?；反之，傳染病最病會在總?cè)丝谥姓加幸欢ǖ谋壤?；反之，傳染病最終會消失終會消失閾值與全局穩(wěn)定性閾值與全局穩(wěn)定性一、引言一、引言 本報告擬在我們近期研究結(jié)果的基礎(chǔ)上，匯報：本報告擬在我們近期研究結(jié)果的基礎(chǔ)上，匯報：1.1.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上帶傳播媒介的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上帶傳播媒介的SISSIS模型的地方病和無病平模型的地方病和無病平衡點的全局穩(wěn)定性分析；衡點的全局穩(wěn)定性分析；2.2.一類修正后的帶傳播

7、媒介的一類修正后的帶傳播媒介的SISSIS模型的地方病和無病模型的地方病和無病平衡點的全局穩(wěn)定性問題。平衡點的全局穩(wěn)定性問題。主要工作主要工作二、標準二、標準SISSIS模型及免疫策略模型及免疫策略那么可知：那么可知：根據(jù)平均場理論，可得模型如下：根據(jù)平均場理論，可得模型如下： 其中：其中：1kkSI(t)+(t)( )1( )( )( )kkkdtIktttIIdt1( )( )( )ktkp ktIk易感者（S）感染者（I）傳染概率恢復(fù)概率根據(jù)動力學穩(wěn)定性理論，考慮如下平衡：根據(jù)動力學穩(wěn)定性理論，考慮如下平衡： 那么可得：那么可得： 于是可得自洽方程：于是可得自洽方程： 那么當且僅當：那么

8、當且僅當： 計算可得閾值為：計算可得閾值為：( )0kdtIdt( )1kktIk2( )()1p kkfkk ()1|0dfd2ckk幾類免疫策略幾類免疫策略隨機免疫隨機免疫：隨機免疫就是完全隨機地選取網(wǎng)絡(luò)中的：隨機免疫就是完全隨機地選取網(wǎng)絡(luò)中的一部分節(jié)點機型免疫，那么可建立下列模型：一部分節(jié)點機型免疫，那么可建立下列模型： 其中其中: : 表示免疫率，表示免疫率， 易知：易知：01( )(1)1( ) ( )( )kkkdtIktttIIdt2(1)kck1cc目標免疫目標免疫：選取少量度大的節(jié)點進行免疫，也就是對那些與：選取少量度大的節(jié)點進行免疫，也就是對那些與周圍聯(lián)系較為緊密的節(jié)點進行

9、免疫。那么可以建立下列模型：周圍聯(lián)系較為緊密的節(jié)點進行免疫。那么可以建立下列模型： 其中：其中： 那么可得：那么可得： 易證得：易證得：( )(1)1( ) ( )( )kkkkdtIktttIIdt1,0 ,kkc kk22ckkkkcc熟人免疫熟人免疫：從網(wǎng)絡(luò)中選取一定比例的節(jié)點，再從每個被選中：從網(wǎng)絡(luò)中選取一定比例的節(jié)點，再從每個被選中的節(jié)點中隨機選擇一個鄰居節(jié)點進行免疫，可以建立下列模的節(jié)點中隨機選擇一個鄰居節(jié)點進行免疫，可以建立下列模型：型： 其中，令：其中，令： 易得：易得：( )(1)1( ) ( )( )kkkkdtIktttIIdt( )( )kkp kppNkp kN kk

10、23( )ckpp kkkkcc主動免疫主動免疫：選擇一定比例的感染節(jié)點，再對這些節(jié)點的度大于：選擇一定比例的感染節(jié)點，再對這些節(jié)點的度大于指定值的鄰居節(jié)點進行免疫，可建立下列模型：指定值的鄰居節(jié)點進行免疫，可建立下列模型： 其中，令：其中，令： 易得：易得：( )1( ) ( )(1)( )kkkkdtIktttIIdt( )kkkkkp kkk2kckkk2kcckk三、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上帶傳播媒介的三、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上帶傳播媒介的SISSIS模型的全模型的全局穩(wěn)定性分析局穩(wěn)定性分析 非齊次網(wǎng)絡(luò)上帶媒介的非齊次網(wǎng)絡(luò)上帶媒介的SISSIS模型包括三種狀態(tài)：易模型包括三種狀態(tài)：易感者、感染者、傳播媒介。感者

11、、感染者、傳播媒介。根據(jù)平均場理論可得模型如下：根據(jù)平均場理論可得模型如下：12( )( )1( )( )1( ) ( )( )( )1( )( )kkkkdtItkttttIIIdtdttttdt 類似可知其自洽方程為：類似可知其自洽方程為： 易知其閾值為：易知其閾值為：2122221221( )( )1kktkfkkk 122(1)ckk 地方病平衡點的穩(wěn)定性地方病平衡點的穩(wěn)定性k 0(0) 1 ( )(0) 00(0) 1(t)0( ) 10( ) 10( ) 1.kkkkkp kIIVIttV tI引理一：假設(shè)初始時刻，度為 的感染者所占的密度滿足且 ，傳播媒介在全體媒介中所占比例滿足

12、，那么對于任意的t0,模型的解滿足， ， 3120(0)1( )(0)0( ),lim,kkkp kIIkkctIIIIIInt。定理：設(shè)滿足那么當時，有其中是模型的非零不動點liminf( ) limsup( )kkkkttluIItt引理命題一命題二inf( )0,inf( )0 inf( )0.0000(0)1( )(0)0,kkckttV tItttkp kII，命題二：若滿足那么當時，有l(wèi)im suplim inf,t,kkkkkluIIttI則命題一：設(shè)模型的解 （ ）滿足1122lim s u p( )111()1221122lim in f( )111()122kkkukktI

13、ktkkkkuukkkkkkklkktIktkkkkllkkkk 無病平衡點的穩(wěn)定性無病平衡點的穩(wěn)定性0(0 )1()(0 )0 ,kpkIIkkc定 理 ： 設(shè) 若滿 足那 么 當時 ，無 病 平 衡 點 全 局 漸 進 穩(wěn) 定 。()()(1)0(2)lim() /0,(3)0,(),(4)()0,(5)0=|() =00dyAyHydtnAnnHyDRCDCHyyyTyCyyAHyyGHyy 引 理 ： 對 于 系 統(tǒng)其 中 ，是矩 陣 ， 且在上 是 連 續(xù) 可 微 的 。 假 設(shè)緊 的 凸 集關(guān) 于 系 統(tǒng) 是 正 不 變 的 ， 且，存 在和的 特 征 向 量， 使 得 對 于 任

14、 意 的有對 于 任 意 的 yC,有 ()是 系 統(tǒng) 在yC上 最 大 的 正 不 變 集 ，那 么 可 知是 全 局 漸 0 ,0( ,)lim inf( ,),0000,0 .CyttmmyyytyCyy 進 穩(wěn) 定 的 ， 或 者 對 于 任 意 的系 統(tǒng) 的 解滿 足此 處且 與無 關(guān) 。此 外 系 統(tǒng) 存 在 一 個 常 數(shù) 解四、一類修正的帶媒介的四、一類修正的帶媒介的SISSIS模型及其免疫策略模型及其免疫策略及其地方病平衡點和無病平衡點的全局穩(wěn)定性及其地方病平衡點和無病平衡點的全局穩(wěn)定性根據(jù)平均場理論，可得到模型：根據(jù)平均場理論，可得到模型：可以計算知其閾值為：可以計算知其閾

15、值為：12( )( )1( ) ( )1( ) ( )( )( )1( ) ( )kkkkdtItkttttIIIdtdttttdt 1222212(1)()kckkk 地方病平衡點的穩(wěn)定性地方病平衡點的穩(wěn)定性k 0(0) 1 ( )(0) 00(0) 1(t)0( ) 10( ) 10( ) 10( ) 1.kkkkkp kIIVItttV tI引理一：假設(shè)初始時刻，度為 的感染者所占的密度滿足且 ，傳播媒介在全體媒介中所占比例滿足，那么對于任意的t 0,模型的解滿足， ， ， 3120(0)1( )(0)00(0)1( ),lim,kkckknkp kIIVtIII IIIt。定理：假設(shè)在

16、初始時刻，度為k的感染者所占比例滿足且傳播媒介在全體媒介中所占的比例滿足,那么當時，系統(tǒng)的解有其中是模型的非零不動點inf( )0,inf( )0 inf( )0,inf( )0.00000(0)1( )(0)0,kkckttV ttIttttkp kII，命題二：若滿足那么當時，有l(wèi)imsupliminf,0,0t,kkkkkkkluIIttluI且，那么命題一：設(shè)模型的解 （ ）滿足111 22lim sup( )11121 22111 22lim inf( )11121 22kkkkuuukkkkktIktkkkkuuuukkkkkkkkkklllkkkkktIktkkkkllllkkkkkk 無病平衡點的穩(wěn)定性無病平衡點的穩(wěn)定性0(0)1( )(0) 0