勾股定理輔導(dǎo)講義

1、 一對(duì)一八年級(jí)數(shù)學(xué)教師輔導(dǎo)講義學(xué)員編號(hào)： 年 級(jí)： 八年級(jí) 課時(shí)數(shù)：一課時(shí) 學(xué)員姓名： 鄒 瑞 輔導(dǎo)科目： 數(shù)學(xué) 學(xué)科教師： 課 題 勾股定理綜合復(fù)習(xí)及易錯(cuò)題分析授課時(shí)間：備課時(shí)間： 教學(xué)目標(biāo) 掌握易錯(cuò)題解題技巧，能在掌握勾股定理的基本知識(shí)的基礎(chǔ)拔高。教學(xué)內(nèi)容勾股定理及其?？碱}型勾股定理也稱(chēng)畢達(dá)哥拉斯定理，文字表述：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.結(jié)合直角三角形圖形，用字母可表示為：，如下圖，a、b為直角邊，c為斜邊。勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，完美地體現(xiàn)了“數(shù)形統(tǒng)一”的數(shù)學(xué)思想，將初中幾何與代數(shù)很好的聯(lián)系起來(lái)。因此，學(xué)好勾股定理這一知識(shí)點(diǎn)對(duì)于我們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題有很大的

2、幫助，下面我們具體來(lái)看看初中數(shù)學(xué)有關(guān)勾股定理的一些常見(jiàn)題型及其解答方法。一、邊的計(jì)算1、在RtABC中，C90°，若a=6，b=8，則c= 解：因?yàn)?，所以c=10。評(píng)論：直接由勾股定理所以得2、在RtABC中，C90°，AC3，BC4，則斜邊上的高CD的長(zhǎng)為（ ）ABCD解：由勾股定理知：AB=5，又因?yàn)镾ABC =AC×BC=AB×CD 即：×3×4=×5×CD,所以CD=評(píng)論：通過(guò)勾股定理求出斜邊，再利用面橋關(guān)系求出斜邊上的高。3、若一直角三角形兩邊的長(zhǎng)為12和5，則第三邊的長(zhǎng)為（ ）A13 B13或 C13或

3、15 D15解：當(dāng)12對(duì)應(yīng)的邊為斜邊時(shí)，此時(shí)由勾股定理得第三邊為當(dāng)12對(duì)應(yīng)的邊是直角邊時(shí)，則第三邊為斜邊，由得第三邊的長(zhǎng)為13評(píng)論：勾股定理結(jié)合分類(lèi)討論思想，學(xué)生要注意這類(lèi)試題的多解性。4Rt一直角邊的長(zhǎng)為11，另兩邊為自然數(shù)，則Rt的周長(zhǎng)為（） A、121B、120C、132D、不能確定解：設(shè)該Rt的三邊分別為a、b、c，a、b為直角邊，c為斜邊由勾股定理知：，即：112b2 = c2 所以（b+c）（cb）=121因?yàn)閎、c都為自然數(shù)，所以b+c，cb，都為正自然數(shù)。又因?yàn)?21只有1、11、121這三個(gè)正整數(shù)因式，所以b+c=121，cb=1。所以b=60，c=61評(píng)論，本題以直角三角形

4、為載體，同過(guò)勾股定理將初中幾何知識(shí)和代數(shù)知識(shí)很好地串聯(lián)起來(lái)考察學(xué)生的能力。二、直角三角形的判定5、 在ABC中中，a、b、c為A、B、C的對(duì)邊，給出如下的命題：若A：B：C1：2：3，則ABC為直角三角形；若AC一B，則ABC為直角三角形；若，則ABC為直角三角形；若a：b：c5：3：4，則ABC為直角三角形；若（ac）（ac）b2，則ABC為直角三角形；若(ac)22acb2，則ABC為直角三角形；若12,9,B15, 則ABC為直角三角形。上面的命題中正確的有（）A6 B7 C8 D9解：對(duì)，因?yàn)槿切蝺?nèi)角和為180度，所以A+B+C180°，因?yàn)锳：B：C1：2：3，所以C=1

5、80°× 所以C=90°則ABC為直角三角形，正確。對(duì)，因?yàn)锳+B+C180°，而AC一B，所以C一B+B+C180°所以C=90°，即ABC為直角三角形，正確。對(duì)，設(shè)a=5k，因?yàn)?，則c=4k， C2b2 = a2 所以為ABC直角三角形. 正確，同理易知正確，對(duì)，因?yàn)椋╝c）（ac）b2 所以a2 c2 = b2 ，所以ABC為直角三角形正確，對(duì)，因?yàn)?ac)22acb2，所以a2 +c2+2ac=2acb2 所以a2 +c2=b2 正確，對(duì)，因?yàn)?2,9,15，所以AB2 +AC2=BC2所以正確。答案選B評(píng)論：直角三角形的評(píng)定

6、可以從角和邊兩方面來(lái)進(jìn)行，從角來(lái)判定需結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，從邊來(lái)判定需結(jié)合勾股定理。一般是驗(yàn)證最大邊的平方是否等于兩小邊的平方和。圖18-1三、翻折6、矩形紙片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如圖18-1方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF，則DE=_cm解：設(shè)DE為x，因?yàn)镈E是由BE翻折過(guò)來(lái)的，所以DE=BE=x,則AE=10x，在RtABD中：AD2 +AE2=DE2 所以：42 +（10x） 2= x 2 解得x=5.8 cm評(píng)論：翻折和旋轉(zhuǎn)是初中數(shù)學(xué)常見(jiàn)的題型，解答這類(lèi)題的關(guān)鍵在于把握翻折和旋轉(zhuǎn)前后的聯(lián)系，主要是看清哪些量沒(méi)變，抓住這些不變的量，以此為突破口便可以順利

7、解決。本題的不變量是DE和BE的長(zhǎng)度，抓住這個(gè)關(guān)系，再通過(guò)勾股定理建立等式，在直角三角形中便可解出邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度。四、爬行7如圖，有一個(gè)圓柱，它的高等于16cm，底面半徑等于4cm，在圓柱下底面的點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上底面上與點(diǎn)相對(duì)的點(diǎn)處的食物，需要爬行的最短路程是 cm（取3）解：螞蟻要沿圓柱體側(cè)面爬，將圓柱體的側(cè)面沿螞蟻所在的垂直于底面的直線切開(kāi)，展開(kāi)后是一個(gè)長(zhǎng)為8，寬為16的長(zhǎng)方形，螞蟻所在的是一個(gè)頂點(diǎn)，而相對(duì)的點(diǎn)則是對(duì)面那條長(zhǎng)為8的邊的中點(diǎn)。所以根據(jù)勾股定理，兩點(diǎn)之間的距離為d，d2 =(8)2 +(16)2從而解出d。評(píng)論：爬行問(wèn)題是勾股定理的一大重要應(yīng)用，關(guān)鍵在于將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面

8、圖形，從而簡(jiǎn)單便捷地找出最短距離，然后再利用勾股定理求出邊長(zhǎng)。DABCDABC8已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為2cm、寬為1cm、高為4cm，一只螞蟻如果沿長(zhǎng)方體的表面從A點(diǎn)爬到B點(diǎn),那么沿哪條路最近,最短的路程是多少? 解：將長(zhǎng)方體的側(cè)面B BCC展開(kāi)到與長(zhǎng)方體的正面AC CA在同一平面內(nèi)，得到長(zhǎng)方形AB BA,長(zhǎng)AB=3 cm,寬A A=4，螞蟻沿長(zhǎng)方體的表面從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)最短距離即為長(zhǎng)方形AB BA的對(duì)角線A B長(zhǎng)。由勾股定理易知A B=5.五、圖形變換 9如圖2（1），是小紅用硬紙板做成的兩個(gè)全等的直角三角形，兩直角邊的長(zhǎng)分別為a和b，斜邊長(zhǎng)為c，如圖2（2）是以c為直角邊的等腰直角三角形，她想將它

9、們拼成一個(gè)能證明勾股定理的圖形，可以嗎？（1）如果能，請(qǐng)你畫(huà)出拼成的這個(gè)圖形的示意圖，寫(xiě)出它是什么圖形？（2）用這個(gè)圖形證明勾股定理（3）假設(shè)圖2（1）中的圖有若干個(gè)，你能運(yùn)用（1）中所示的直角三角形拼出另一個(gè)能證明勾股定理的圖形嗎？請(qǐng)畫(huà)出拼后的示意圖（無(wú)需證明）23，（1）如圖是直角梯形.（2）因?yàn)镾梯形(a+b)(a+b)(a+b)2，S2×ab+c2ab+c2，所以(a+b)2ab+c2，即a2+b2c2.（3）如圖所示.評(píng)論：這是一道圖形換的題，具體涉及到圖形的拼湊，解決勾股定理這方面的試題關(guān)鍵是要對(duì)課本勾股定理證明涉及到的幾種常見(jiàn)的圖形以及證明過(guò)程和原理要熟練掌握，再利用適

10、當(dāng)?shù)倪w移便可以解答了。六、實(shí)際應(yīng)用10，某校把一塊形狀為直角三角形的廢地開(kāi)辟為生物園，如圖5所示，ACB90°，AC80米，BC60米，若線段CD是一條小渠，且D點(diǎn)在邊AB上，已知水渠的造價(jià)為10元/米，問(wèn)D點(diǎn)在距A點(diǎn)多遠(yuǎn)處時(shí)，水渠的造價(jià)最低？最低造價(jià)是多少？解：當(dāng)CD為斜邊上的高時(shí)，CD最短，從而水渠造價(jià)最低.因?yàn)镃D·ABAC·BC ，所以CD48米，所以AD64米.所以，D點(diǎn)在距A點(diǎn)64米的地方，水渠的造價(jià)最低，其最低造價(jià)為480元.圖511有一只小鳥(niǎo)在一棵高4m的小樹(shù)梢上捉蟲(chóng)子，它的伙伴在離該樹(shù)12m，高20m的一棵大樹(shù)的樹(shù)梢上發(fā)出友好的叫聲，它立刻以4m

11、/s的速度飛向大樹(shù)樹(shù)梢，那么這只小鳥(niǎo)至少幾秒才可能到達(dá)大樹(shù)和伙伴在一起？ 解：如圖所示，根據(jù)題意，得AC=20-4=16，BC=12根據(jù)勾股定理，得AB=20則小鳥(niǎo)所用的時(shí)間是20÷4=5（s）評(píng)論：解答勾股定理的實(shí)際應(yīng)用題，首先要審清題意，然后找出試題情景中涉及到的直角三角形，再結(jié)合勾股定理便可以求出了。在該題中，我們關(guān)鍵是要根據(jù)題意畫(huà)出勾股定理涉及到的直角三角形圖形，只需求得AB的長(zhǎng)根據(jù)已知條件，得BC=12，AC=20-4=16，再根據(jù)勾股定理就可求解補(bǔ)充：隨堂檢測(cè)1.分別以下列四組為一個(gè)三角形的三邊的長(zhǎng)：6、8、10；5、12、13；8、15、17；7、8、9，其中能構(gòu)成直角

12、三角形的有（ ）.A.4組 B.3組 C.2組 D.1組2.要從電桿離地面5m處向地面拉一條長(zhǎng)為13m的電纜，則地面電纜固定點(diǎn)與電線桿底部的距離應(yīng)為（ ）.A.10m B.11m C.12m D.13m3.現(xiàn)有兩根木棒,長(zhǎng)度分別為44和55.若要釘成一個(gè)三角形木架，其中有一個(gè)角為直角，所需最短的木棒長(zhǎng)度是（ ）.A.22 B.33 C.44 D.554.等腰三角形ABC的面積為122，底上的高AD3，則它的周長(zhǎng)為 。5.輪船在大海中航行，它從A點(diǎn)出發(fā)，向正北方向航行20，遇到冰山后，又折向東航行15，則此時(shí)輪船與A點(diǎn)的距離為 。6. 如圖，A城氣象臺(tái)測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在A城正西方向320km的B處，

13、以每小時(shí)40km的速度向北偏東60°的BF方向移動(dòng)，距離臺(tái)風(fēng)中心200km的范圍內(nèi)是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域.（1） A城是否受到這次臺(tái)風(fēng)的影響？為什么？（2） 若A城受到這次臺(tái)風(fēng)影響，那么A城遭受這次臺(tái)風(fēng)影響有多長(zhǎng)時(shí)間？拓展提高1.如圖，已知S1、 S2和 S3分別是 RtABC的斜邊AB及直角邊BC和AC為直徑的半圓的面積，則S1、 S2和 S3滿(mǎn)足關(guān)系式為（ ）.A. S1< S2 +S3 B. S1= S2+ S3 C. S1> S2+ S3 D. S1= S2 S32.如圖，在高為5m，坡面長(zhǎng)為13m的樓梯表面鋪地毯，地毯的長(zhǎng)度至少需要 （ ）.第1題 第2題 第3題A

14、.17m B.18m C.25m D.26m3.如圖，為測(cè)湖兩岸A、B間的距離，小蘭在C點(diǎn)設(shè)樁，使ABC為直角三角形，并測(cè)得BC12m，AC15m，則A、B兩點(diǎn)間的距離是 m。4.如右圖，一透明的直圓柱狀的玻璃杯，由內(nèi)部測(cè)得其底部半徑為3，高為8，今有一支12的吸管任意斜放于杯中，若不考慮吸管的粗細(xì)，則吸管露出杯口外的長(zhǎng)度至少為 m。EBA5.如下圖，鐵路上A、B兩點(diǎn)相距25，C、D為兩村莊，DAAB于A，CBAB于B，已知DA15，CB10，現(xiàn)在要在鐵路AB上修建一個(gè)土特產(chǎn)收購(gòu)站E，使得C、D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)修建在離A站多少千米處？CD體驗(yàn)中考1（2009年北恩施）如圖，長(zhǎng)方體

15、的長(zhǎng)為15，寬為10，高為20，點(diǎn)離點(diǎn)的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)爬到點(diǎn)，需要爬行的最短距離是（）A B25 C D5201510CAB勾股定理綜合練習(xí)1已知直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊長(zhǎng)是cm，則另一條直角邊的長(zhǎng)是（ ）A. 4cm B. cm C. 6cm D. cm2ABC中，AB15，AC13，高AD12，則ABC的周長(zhǎng)為（） A42 B32 C42 或 32 D37 或 333一架25分米長(zhǎng)的梯子，斜立在一豎直的墻上，這時(shí)梯足距離墻底端7分米.如果梯子的頂端沿墻下滑4分米，那么梯足將滑動(dòng)( ) A. 9分米B. 15分米C. 5分米 D. 8分米4.放

16、學(xué)以后，小紅和小穎從學(xué)校分手，分別沿東南方向和西南方向回家，若小紅和小穎行走的速度都是40米/分，小紅用15分鐘到家，小穎20分鐘到家，小紅和小穎家的直線距離為（ ） A600米 B. 800米 C. 1000米 D. 不能確定5. 一個(gè)矩形的抽斗長(zhǎng)為24cm，寬為7cm,在里面放一根鐵條，那么鐵條最長(zhǎng)可以是 6. 在RtABC中，C90°，BC12cm，SABC30cm2，則AB .7. 等腰ABC的腰長(zhǎng)AB10cm，底BC為16cm，則底邊上的高為 ，面積為 . 8. 一個(gè)直角三角形的三邊為三個(gè)連續(xù)偶數(shù)，則它的三邊長(zhǎng)分別為 5m13m9 如圖，某會(huì)展中心在會(huì)展期間準(zhǔn)備將高5m,長(zhǎng)13m，寬2m的樓道上鋪地毯,已知地毯每平方米18元，請(qǐng)你幫助計(jì)算一下，鋪完這個(gè)樓道至少需要多少元錢(qián)? 10.有一只小鳥(niǎo)在一棵高4m的小樹(shù)梢上捉蟲(chóng)子，它的伙伴在離該樹(shù)12m，高20m的一棵