洛必達(dá)法則使用中常見錯(cuò)誤

1、洛必達(dá)法則使用中的5種常見錯(cuò)誤求極限是微積分中的一項(xiàng)非?；A(chǔ)和重要的工作。在建立了極限的四則運(yùn)算法則，反函數(shù)求導(dǎo)法則，以及復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則和求導(dǎo)證明之后，對于普通的求極限問題，都可以通過上述法則來解決，但是對于形如:,00,1,00（其中后面3種可以通過Ae1nA進(jìn)行轉(zhuǎn)換）的7種未定型，上述法則往往顯得力不從心，而有時(shí)只能是望塵莫及。17世紀(jì)末期的法國數(shù)學(xué)家洛必達(dá)給出了一種十分有效的解決方案，我們稱之為洛必達(dá)法則.伯努力在通信中告訴洛必達(dá)的。（L,HospitalRule）。雖然這個(gè)法則實(shí)際上是瑞士數(shù)學(xué)家約翰第在使用洛必達(dá)法則解題過程中，可能會遇到的一些常見誤區(qū)和盲點(diǎn)。本文的目的不是為了追

2、求解題技巧，而是為了培養(yǎng)一種好的解題習(xí)慣。以減少在用洛必達(dá)法則解題過程中可能出現(xiàn)的失誤。首先，復(fù)述洛必達(dá)法則的其中一種情形:Hospital Rule：1 lim f (x)x alim g(x) 0x a02在某U (a,)內(nèi)，f (x), g (x)存在，且 g (x) 03 limfl x a g (x)存在（或者 ）lim f (x)x a g (x)畫錯(cuò)誤:lim1xexlimx 01(ex)limx 01ex') x1正確：lim xexx 0limx 01ex1limx 1ex (-)x1(-)xf(x)則limxag(x)不預(yù)處理失誤二急躁蠻干例：錯(cuò)解Hm1x33x32

3、2xx4xlimxx16x22xlimqx112x-lim至2x1126x lim x 1 12x 2正確解：limx12xx33x22x4x33x23lim-2x16x2x4國：錯(cuò)解xecosxxsinxx_esinxlimx0sinxxcosxcosxcosxcosxxsinx正確解：limx0cosxlimXesinxxsinxx0sinxxcosx更好的解法：limx0xecosxxsinxxecosxlim2x0x2xelimx0sinx2x經(jīng)驗(yàn)：先考慮無窮小代換（與“0”結(jié)合），后考慮洛必達(dá)法則上面的例子啟發(fā)我們，在應(yīng)用洛必達(dá)法則之前要進(jìn)行預(yù)處理，以簡化計(jì)算lxmo,211cosx

4、-xsin2x22/x2x(elim一2一一sinxxsinxcosx1)limsinx(sinxxcosx)sinx=lim一x0xcosx-3xxsinxlim2x03x失誤三對離散點(diǎn)列求導(dǎo)西求Jimn/n0錯(cuò)解：屬于型,先進(jìn)行變形limnnn1limnnn1lnnlimennlimnelnnnlimne錯(cuò)誤原因:f(n)Vn是離散的點(diǎn)歹U,系列孤立的點(diǎn),連續(xù)都談不上，更不用說可導(dǎo)。正確的解:limxxlimxxlim1一lnxexlnxlim一xxexlimxexxxx例6:錯(cuò)解:limx2xcosx3xsinxlimx2sinxcosx,因?yàn)閘imx2sinx不存在，所以lim3cos

5、x2xcosx不存在3xsinx正確解：limx2xcosx3xsinxlimx2cosxx&sinx3x失誤五濫用導(dǎo)函數(shù)的瘡麗國設(shè)f(x)在某U(0,)存在，且f(0)1,f(0)2求limx01f(x)錯(cuò)解：lim-x01口limf(x)x0f(x)17而錯(cuò)誤原因：f(x)在x=0處未必連續(xù)。(選擇題可以用此解法，這是一種策略)正確解：limx(xI01f(x)一1limx0f(x)1xlimx0f(x)f(0)f(0)x01一,-(導(dǎo)數(shù)定義)2阿同f(x)在x處二階可導(dǎo)，求limf(xh)2f(x)一f(xh)h0h2f(xh)2f(x)f(xh)f(xh)2f(x)f(xh)乍

6、日斛1：lim2lim1lim f(x h) f(x)2 h 0hf (x h) f (x)hh0hh02h1limf(xh)f(x)f(xh)f(x)2h0h1=limf(x)f(x)=02h0錯(cuò)誤原因：沒有分清在極限過程中h和x誰是變量，誰是常量錯(cuò)解2：limf(xh)2f(x)f(xh)limf(xh)f(xh)h0h2h02hf(xh)f(xh)1=lim-limf(x)f(x)f(x)h022h0錯(cuò)誤原因：二階導(dǎo)函數(shù)未必連續(xù)，即：limf(xh)f(x)不一定成立h0注：由f(x)存在，但f(x)不一定連續(xù)，所以第2個(gè)等號后面不符合羅必達(dá)法則的條件f(xh)2f(x)f(xh)f(xh)f(xh)止確斛：lim2limh0hh02h=1limf(xh)f(x)f(x)f(xh)1limf(xh)f(x)f(xh)f(x)2h0h2h0hh1.=-f(x)f(x)f(x)(這是由導(dǎo)數(shù)定義得到的)2經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：與"0”結(jié)合，先驗(yàn)后導(dǎo)，搖擺失效一“驗(yàn)”有三個(gè)方面，按照需要判斷優(yōu)先級別L0ff3®不是C,2f(x),g(x)是不是可導(dǎo)3口lim一7;是不是一個(gè)確定的常數(shù)或者0g(x)對于側(cè)重于計(jì)算的填空題和選擇題，我們主要驗(yàn)證回，一般可以不必去驗(yàn)證團(tuán)，3n的驗(yàn)證級別最低。這