函數(shù)連續(xù)性定義和間斷點

1、一、一、 函數(shù)連續(xù)性的定義函數(shù)連續(xù)性的定義 二、二、 函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點 1x11211yxx1112xy y111xxyxx，yx11211x1121112xxy一、一、 函數(shù)在一點的連續(xù)性函數(shù)在一點的連續(xù)性可見可見 , 函數(shù)函數(shù))(xf在點在點0 x(1) )(xf在點在點0 x即即)(0 xf(2) 極限極限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx連續(xù)必須具備下列條件連續(xù)必須具備下列條件:存在存在 ;有定義有定義 ,存在存在 ;1.定義定義:)(xfy 在在的某鄰域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義 , , )()(lim00 xfxfxx則稱函數(shù)則稱函數(shù).)(0連續(xù)

2、在xxf設函數(shù)設函數(shù)且且0 x)()(lim00 xfxfxx注意注意:)(xf在在點連續(xù)點連續(xù), 則極限運算和函數(shù)運則極限運算和函數(shù)運算算 可以交換順序。即：可以交換順序。即：(1)若若0 xf)lim(0 xfxx)(lim0 xfxx.)(0連續(xù)在xxf(2)函數(shù)函數(shù)存在存在例例1:討論函數(shù)討論函數(shù) 0001sin)(xxxxxf在點在點0 x處的連續(xù)性處的連續(xù)性 xy00 xxx 0)(xfy x y xy00 xxx 0 x y )(xfy 2.函數(shù)函數(shù) 在在 點連續(xù)的等價定義點連續(xù)的等價定義)(xf0 x定義：設函數(shù)定義：設函數(shù) 自變量由自變量由 變到變到 , ,則則)(xf0 x

3、x0 xxx叫做叫做自變量的增量自變量的增量；相應的函數(shù)值由；相應的函數(shù)值由 變到變到 , ,)(0 xf)(xf則則 叫做叫做函數(shù)值函數(shù)值 的增量的增量y)()(0 xfxfy（改變量）（改變量）)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx,0,0當xxx0時, 有yxfxf)()(0函數(shù)函數(shù)0 x)(xf在點在點連續(xù)有下列等價命題連續(xù)有下列等價命題: :0)()(lim:000 xfxxfx即)()()(000 xfxfxf右連續(xù)左連續(xù)例例2. 2. 證明函數(shù)證明函數(shù)xysin在在0 x點連續(xù)點連續(xù) . .定義定義1 1：若：若)(xf在某區(qū)間上每一點都

4、連續(xù)在某區(qū)間上每一點都連續(xù) , , 則稱它在則稱它在該區(qū)間上連續(xù)該區(qū)間上連續(xù) , , 或稱它為該或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù). .同理可證：函數(shù)同理可證：函數(shù)xycos在在0 x點連續(xù)點連續(xù) . .3. 3. 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) . .,)(,),(2上連續(xù)在閉區(qū)間則稱函數(shù)處左連續(xù)在右端點處右連續(xù)并且在左端點內(nèi)連續(xù)：如果函數(shù)在開區(qū)間定義baxfbxaxba連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線. .由例由例2 2知函數(shù)知函數(shù)xysin及及 在其定義域區(qū)間在其定義域區(qū)間),(內(nèi)是連續(xù)的內(nèi)是連續(xù)的xycos二、二、 函數(shù)的間斷點函數(shù)

5、的間斷點若函數(shù)0 x在)(xf點不連續(xù)，則稱 在點 間斷，0 x稱為間斷點間斷點 . 0 x)(xf在在(1) 函數(shù))(xf0 x(2) 函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3) 函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx存在 ,但)()(lim00 xfxfxx 不連續(xù) :則下列情形之一函數(shù) 在點雖有定義 , 但雖有定義 , 且在無定義 ;)(xf0 x1.1.可去間斷點可去間斷點，則稱，則稱 為為 的可去間斷點的可去間斷點但但如果如果 ，而，而 在在 點無定義，或者有定義點無定義，或者有定義Axfxx)(lim0f0 xAxf)(00 xf1x1121例例2 2：設：設11)(

6、2xxxf, ,討論在討論在x=1x=1的連續(xù)性的連續(xù)性1)0(,f.0為函數(shù)的可去間斷點為函數(shù)的可去間斷點 x注意：注意：可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的 定義定義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.例例3 3：設：設010)(2xxxxf, ,討論在討論在x=0 x=0處的連續(xù)性處的連續(xù)性0lim)(lim200 xxfxx解解: :)0()(lim0fxfx2.2.跳躍間斷點跳躍間斷點例例4 4：.0, 0,1, 0,)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( f

7、f.0為為函函數(shù)數(shù)的的跳跳躍躍間間斷斷點點 xoxy則稱則稱 為函數(shù)為函數(shù) 的跳躍間斷點的跳躍間斷點如果如果 在在 點存在左、右極限，但點存在左、右極限，但)(lim)(lim00 xfxfxxxxf0 x0 xf跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點. .特點：特點：.0處處的的左左、右右極極限限都都存存在在函函數(shù)數(shù)在在點點 x3.3.第二類間斷點第二類間斷點f則稱則稱 為為 的第二類間斷點的第二類間斷點函數(shù)函數(shù) 在在 點的左、右極限至少有一個不存在，點的左、右極限至少有一個不存在，0 x0 xf例例5 5：處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù)t

8、gxxf)(2xxytan2xyo例例6 6.0, 0, 0,1)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.1為函數(shù)的第二類間斷點為函數(shù)的第二類間斷點 x.斷斷點點這這種種情情況況稱稱為為無無窮窮間間例例7 7.01sin)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxf解解xy1sin ,0處沒有定義處沒有定義在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0為第二類間斷點為第二類間斷點 x.斷斷點點這這種種情情況況稱稱為為的的振振蕩蕩間間三、小結三、小結1.1.函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件;

9、 ;3.3.間斷點的分類與判別間斷點的分類與判別; ;2.2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù); ;第一類間斷點第一類間斷點第二類間斷點第二類間斷點間斷點間斷點( (見下圖見下圖) )可去間斷點可去間斷點跳躍間斷點跳躍間斷點左右極限都存在左右極限都存在 無窮間斷點無窮間斷點振蕩間斷點振蕩間斷點左右極限至少有左右極限至少有一個不存在一個不存在第一類間斷點第一類間斷點oyx跳躍型跳躍型無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點第二類間斷點oyx0 xoyx0 x可去型可去型oyx0 x四、連續(xù)函數(shù)的性質與運算性四、連續(xù)函數(shù)的性質與運算性性質性質1:1:（局部有界性）（局部有界性）若函數(shù)若函數(shù) 在在 點連

10、續(xù)點連續(xù))(xfy 0 x則存在則存在 的一個鄰域的一個鄰域 及定值及定值 ，當，當0 x),(0 xUM),(0 xUx時，有時，有 。Mxf)(當當 時，時，性質性質2:2:（局部保號性）（局部保號性）若函數(shù)若函數(shù) 在在 點連續(xù)點連續(xù))(xfy 0 x，則存在，則存在 的一個鄰域的一個鄰域 ，0 x),(0 xU),(0 xUx有有 )0)(0)(xfxf或)0)(0)(00 xfxf或.)0)()()(),()(),()(,)(),(000處也連續(xù)在點則處連續(xù)在點若函數(shù)xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf性質性質3 3：（連續(xù)函數(shù)的四則運算法則）：（連續(xù)函數(shù)的四則運算法則）例如：例如

11、：,),(cos,sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xx.csc,sec,cot,tan在在其其定定義義域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)故故xxxx例例1 1：證明函數(shù)：證明函數(shù) 在在 內(nèi)是連續(xù)的。內(nèi)是連續(xù)的。nxy ),(）（即連續(xù)。在點則復合函數(shù)連續(xù)在點函數(shù)）（即點連續(xù)，在設函數(shù)).(lim)()(lim)(,)(),)(lim()(000000000 xfufxfxxfyuufyuxxxxuxxxxxx性質性質4 4：（復合函數(shù)的連續(xù)性）：（復合函數(shù)的連續(xù)性）例例2 2：討論函數(shù)：討論函數(shù) 的連續(xù)性。的連續(xù)性。21cosxy 在在 上連續(xù)，上連續(xù)，uycos),(在在 上各自連續(xù)連續(xù)，上各自連續(xù)連續(xù)，21xu )

12、, 0()0 ,(解：函數(shù)解：函數(shù) 可以看做是由可以看做是由 ，21cosxy uycos21xu 復合而成的，復合而成的，21cosxy 在在 上各自連續(xù)。上各自連續(xù)。), 0()0 ,(所以所以性質性質5 5：（反函數(shù)的連續(xù)性）：（反函數(shù)的連續(xù)性） 連續(xù)且嚴格單調(diào)遞增（遞減）的反函數(shù)必是連續(xù)連續(xù)且嚴格單調(diào)遞增（遞減）的反函數(shù)必是連續(xù)且嚴格單調(diào)遞增（遞減）的函數(shù)且嚴格單調(diào)遞增（遞減）的函數(shù). .五、初等函數(shù)的連續(xù)性五、初等函數(shù)的連續(xù)性定理定理2 2：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的. .例如例如, ,2,2sin上上單單調(diào)調(diào)增增加加且且連連續(xù)續(xù)在在 x

13、y.1 , 1arcsin上上也也是是單單調(diào)調(diào)增增加加且且連連續(xù)續(xù)在在故故 xy定理定理1 1：基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的. .備用題備用題 確定函數(shù)間斷點的類型.xxexf111)(解解: 間斷點1,0 xx)(lim0 xfx,0 x為無窮間斷點;,1 時當x xx1,0)(xf,1 時當x xx1,1)(xf故1x為跳躍間斷點. ,1,0處在x.)(連續(xù)xf1 1、.0, 0, 2, 0, 2)(連續(xù)性連續(xù)性處的處的在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),

14、0(f 右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處處不不連連續(xù)續(xù)在在點點故故函函數(shù)數(shù) xxf2 2、.0, 0, 0,cos)(,處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)取何值時取何值時當當 xxxaxxxfa解解,)0(af xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ),0()00()00(fff 要使要使, 1 a,1時時故當且僅當故當且僅當 a.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf四、小結連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的和差積商的連續(xù)性.復合函數(shù)的連續(xù)性復合函數(shù)的連續(xù)性.初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性.定義區(qū)間與定義域的區(qū)別定義區(qū)間與定義域

15、的區(qū)別;求極限的又一種方法求極限的又一種方法.兩個定理兩個定理; 兩點意義兩點意義.反函數(shù)的連續(xù)性反函數(shù)的連續(xù)性.思考題思考題 設設xxfsgn)( ，21)(xxg ，試研，試研究復合函數(shù)究復合函數(shù))(xgf與與)(xfg的連續(xù)性的連續(xù)性.思考題解答思考題解答21)(xxg )1sgn()(2xxgf 1 2sgn1)(xxfg 0, 10, 2xx在在),( 上上處處處處連連續(xù)續(xù) )(xgf在在)0 ,( ), 0( 上上處處處處連連續(xù)續(xù) )(xfg0 x是它的可去間斷點是它的可去間斷點 0, 10, 00, 1)(xxxxf一、一、 填空題：填空題：1 1、 43lim20 xxx_.

16、.2 2、 xxx11lim0_. .3 3、 )2cos2ln(lim6xx _._.4 4、 xxx24tancos22lim _. .5 5、 tett1lim2_. . 6 6、設設,0,0,)( xxaxexfx 當當 a_ _ _ _ _ _時時，)(xf在在 ),( 上上連連續(xù)續(xù) . .練練 習習 題題7 7、 函數(shù)函數(shù)61)(24 xxxxxf的連續(xù)區(qū)間為的連續(xù)區(qū)間為 _. _.8 8、 設設 時時當當時時當當1,11,2cos)(xxxxxf確定確定 )(lim21xfx_; ; )(lim1xfx_._.二、二、 計算下列各極限：計算下列各極限：1 1、axaxax sin

17、sinlim； 2 2、xxxcot20)tan31(lim ；3 3、1)1232(lim xxxx；三、三、 設設 0),ln(0,10,)(22xxxbxxxaxf已知已知)(xf在在 0 x處連續(xù)，試確處連續(xù)，試確 定定a和和b的值的值. .四、四、 設函數(shù)設函數(shù))(xf在在0 x處連續(xù)，且處連續(xù)，且0)0( f, ,已知已知)()(xfxg ，試證函數(shù)，試證函數(shù))(xg在在0 x處也連續(xù)處也連續(xù). .一、一、1 1、2 2； 2 2、21； 3 3、0 0； 4 4、0 0；5 5、)11(212 e； 6 6、1 1；7 7、), 2(),2 , 3(),3,( ；8 8、22,0

18、,0,不存在不存在. .二、二、1 1、acos； 2 2、1 1； 3 3；21e. .三、三、eba , 1. .練習題答案練習題答案第一類間斷點第二類間斷點.)(1 . 1 0處無定義在：情形xxfxOy0 xx)(xfy x0 xx自由地趨于A注意到：這種間斷點稱為可去間斷點.)(,)( )()(lim 0000處連續(xù)在那么這個新的處的值為在新定義存在，因此如果我們重在這種情形下，xxfAxfxxfAxfxxxOy0 xx)(xfy x注意到：這種間斷點稱為可去間斷點.)(,)( )()(lim 0000處連續(xù)在那么這個新的處的值為在新定義存在，因此如果我們重在這種情形下，xxfAxf

19、xxfAxfxx.)(lim)(lim.)(1.1 000存在但處有或無定義在：情形xfxfxxfxxxxAxfxfxfxxxx)(lim)(lim)(000補充定義：A.)( .)(2 . 1 00的值太高了但處有定義在：情形xfxxfxOy)(xfy 注意到：這種間斷點稱為可去間斷點.)(,)( )( ).()(lim 00000處連續(xù)在那么這個新的處的值為在我們修改定義因此如果存在，但是在這種情形下，xxfAxfxxfxfAAxfxxAxf)(0修改定義：A0 xxx.)( .)(2 . 1 00的值太低了但處有定義在：情形xfxxfxOy)(xfy 0 xxx注意到：這種間斷點稱為可去

20、間斷點.)(,)( )( ).()(lim 00000處連續(xù)在那么這個新的處的值為在我們修改定義因此如果存在，但是在這種情形下，xxfAxfxxfxfAAxfxxAxf)(0修改定義：AxOy)(xfy .),(lim)(lim.)(2 000都存在但處有定義在：情形xfxfxxfxxxx0 xxx注意到：這種間斷點稱為跳躍間斷點.)( ,)()(lim 000限存在，有較好的性質的單側極的左右兩邊，但分別考慮處連續(xù)在不存在，因此無法使得在這種情形下，xfxxxfxfxx 這點放哪兒能接上呢？xOy0 xx)(xfy x.)( .)(lim)(lim.)(3 0000的漸進線稱為此時，直線或或

21、一個為至少有和或無定義處有在：情形xfyxxxfxfxxfxxxx哎，小紅點，你跑哪去了？快救救我，我要跑到未知世界去了！這種間斷點稱為無窮間斷點0 xx xx. )(4 0無限震蕩（無）定義，處有在：情形xxf：Hi, 小紅點，你能不能停??？我怎么也停不住，那可怎么連上?。浚篐i, 小藍點，你停不住，我也停不住啊。還想連上，你可真逗！xy1sinxy11這種間斷點稱為震蕩間斷點。有界定理 ; 最值定理 ; 零點定理 ; 介值定理 .3. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質例3. 設函數(shù))(xf,2)cos1 (xxa0 x,10 x, )(ln2xb0 x在 x = 0 連續(xù) ,

22、則 a = , b = .提示:20)cos1 (lim)0(xxafx2a21cos2sin2xx)(lnlim)0(20 xbfxblnbaln122e1當0 x時，xxsin2較x2sin2等價無窮小量 (B) 同階無窮小量 (C) 低階無窮小量 (D) 高階無窮小量是 （ ）課堂測驗課堂測驗2下列各式中正確的是 （ ） 1)11 (lim0 xxxB exxx)11 (lim0 C exxx)11 (lim D exxx)11 (limA3無窮小量是（ ）A 比零稍大一點的一個數(shù) B 一個很小很小的數(shù)C 以零為極限的一個變量 D 數(shù)零4. 已知已知2)1 (lim10 xxax，則，則a=_。20sin2(1) lim3xxx5. 計算計算22121(2) lim1xxxx一一、 填填空空題題：1 1、 指指出出23122 xxxy 在在1 x是是第第_ _ _ _ _ _ _ _類類間間斷斷點點；在在2 x是是第第_ _ _ _ _ _類類間間斷斷點點 . .2 2、 指指出出)1(22 xxxxy在在0 x是是第第_ _ _ _ _ _ _ _ _類類間間斷斷點點；在在1 x是是第第_ _ _ _ _ _ _類類間間斷斷