初中因式分解淺談

1、初中因式分解淺談合道中學(xué)曹德文內(nèi)容摘要因式分解是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中很重要的恒等變形之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué) 學(xué)習(xí)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這 些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，開展 學(xué)生的思維能力，都有著十分獨(dú)特的作用.關(guān)鍵詞 初中因式分解的方法、技巧首先，我們必須把握因式分解的定義，把一個(gè)多項(xiàng)式化成了幾個(gè)整式的積的形式， 像這樣的式子變形叫著把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解。明確因式分解實(shí)質(zhì)只是一個(gè)多項(xiàng)式的變形 而已，不是計(jì)算。強(qiáng)調(diào)考查對象是一個(gè)多項(xiàng)式，目的是要把它化成幾個(gè)整式積的形式。即等式的左邊是一個(gè)多項(xiàng)式，右邊是

2、幾個(gè)整式相乘的形式。可見，因式分解與整式乘法是相 反方向的變形。最起碼的特征是等式的右邊的式子是相乘的。其次，我們必須掌握幾種簡單的分解方法。初中主要表達(dá)以幾種方法：一提公因式法。多項(xiàng)式中每一項(xiàng)都有的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式的公因式。通過觀 察探討，我們發(fā)現(xiàn)，一個(gè)多項(xiàng)式的公因式實(shí)質(zhì)上是取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)和相同字母的 最低次幕的積的形式。具體做法是：1找出各項(xiàng)的公因式。2把公因式寫在等式的右 邊，然后用多項(xiàng)式除以公因式，再把所得的商寫在括號里與公因式相乘。注意：1假設(shè)多項(xiàng)式的首項(xiàng)為負(fù)數(shù)，為使提公因式后括號里首項(xiàng)不含負(fù)號，可提一個(gè)帶負(fù)號的公因式。2結(jié)果中出現(xiàn)相同因式時(shí)寫成乘方的形式公因式中字母也可以

3、是整式。3多項(xiàng)式中某一項(xiàng) 全提公因式后不要漏掉“ 1這一項(xiàng)。4提公因式要一次提“全提“盡，直到不能再 分解為止。例如，把以下多項(xiàng)式分解因式：(1) 8a3b2 12ab3c(2)322m + 4m+ 2m(3) 6 (x 2)+ x (2 x)(4)18b (a b) 212 (a b) 3解：(1) 8a3b2 12ab3c(2)322m + 4m+2m=4ab2 (2a2 3bc)=22m (m2 2m 1)(3) 6 (x 2)+ x (2 x)(4)18b (a b) 2 12 (a b) 3=6 x2xx2 =6 ab 公式特點(diǎn)：1多項(xiàng)式是由三局部組成的。 2其中有兩局部或通過提負(fù)號

4、可化成平方和的形式。3第三局部是兩平方項(xiàng)的底數(shù)積的二倍。 4右邊是兩平方項(xiàng)的底數(shù)的和或差的平方。 左邊第三項(xiàng)為正那么右邊是兩底數(shù)和的平方； 左邊第三項(xiàng)為負(fù)那么右邊是 兩平方項(xiàng)底數(shù)的差的平方。 方法步驟：1多項(xiàng)式中有公因式先提公因式。2表示出兩平方項(xiàng)并驗(yàn)證第三項(xiàng) 是否是兩平方項(xiàng)底數(shù)積的二倍。 3右邊表示成公因式與兩平方項(xiàng)底數(shù)的和或差的平方的3b 2ab= x2 6 x=6ab25b 2a二運(yùn)用公式法。初中階段主要涉及兩類三個(gè)公式： 平方差公式a2 b2= a+ b a b；2 2 2 2 2 2完全平方公式 a + 2ab+ b= a+ ba 2ab+ b = a b一平方差公式 a2 b2=a

5、+ bab；1 公式特點(diǎn)：1這個(gè)多項(xiàng)式有兩局部組成。2這兩局部可以表示成平方差的形式，即這兩局部異號。 3等式的右邊是左邊兩平方項(xiàng)的底數(shù)的和與差的積。2 方法步驟：1把左邊多項(xiàng)式化成兩局部平方差的形式， 認(rèn)準(zhǔn)兩平方項(xiàng)的底數(shù)。2右邊寫成兩底數(shù)和與差的積的形式。 3 最后把括號里和與差化簡徹底，使等式中不再有中括號、同類項(xiàng)，直到不能再分解為止。3例題展示，把以下各式分解因式1)21 25b23)2216( a b) 9( a+ b)222)(x+p) 2(x+q) 244( 4) x4 y4解：( 1 ) 1 25b2 =12(5b) 2=( 1 + 5b)( 1 5b)=2)(x+p) 2(x+

6、q)x+p)+(x+q) (x+p)(x+q) 2x+ p+ q)( p q)3) 16( a b) 9( a+ b)444) x y=4(ab) 23(a+b) x2) 2(y2)=4(ab)+ 3(a+b) 4 (ab)3(a+b) 2 2 2 2x+y)(xy)=(7a b)( a 7b)22x+y)(a+b)(ab)二完全平方公式22a 2+ 2ab+ b2=( a+ b)222 2ab+ b2=( a b)3例題展示，把以下各式分解因式114x2y24xy2 x24y24xy4 63 52 4223 16m4n624m3n59m2n44 9 xa230xaxb25xb222解：11

7、4x y 4xy=1 2 2xy2 4xy= 12xy 2=3 16m4n6 24m3n59m2n4= m2n416m2n224mn9= m2n44mn 2 24mn 32= m2n4 4mn32分組分解法。采用分組分解法，222 x 4y 4xy x 22y24xy x 2y2xa230xaxb 25xb2xa 230x axb5x b 2xa 5xb 2 8x3a5b2關(guān)鍵在于分組，分組不僅要將有公因式或能用公式4 9=3=3的項(xiàng)劃歸一組，同時(shí)還要預(yù)見到下一步還有公因式可提或能套用公式。用不同的方法分解 因式但正確的結(jié)果是唯一的。一分組提公因式法分解因式例如，把以下各式分解因式21a ab

8、acbc22ax5by10aybx解： 1 a2ab acbc= a2ab ac bc22ax5by10aybx= 2ax bx 5by10ay= a ab cab=x 2ab 5y2ab= a bac=二分組運(yùn)用公式分解因式2abx5y例如，把以下各式分解因式2 2 2 2 21x2y2 ax ay 2a22ab b2c23223 x x y xy y22解：1 x y + ax + ay2 2 22 a 2abb cx2 y2 axaya2 2abb2 c222x y x y a xy= a b 2c2= x y x yaa b c a b c3 x3x2y23 xy yx3x2y xy2

9、y3=(X+ y) (X2 y2)2=(X+ y)(X y)四十字相乘法一x2 +(a+ b) x + ab= (x + a) (x + b)型2對于二次三項(xiàng)式x +(a+ b) x + ab型的因式分解，可以分解成兩個(gè)一次二項(xiàng)式的積的形式。其中這兩個(gè)一次二項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)之和正是二次三項(xiàng)式的系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)之積正是二次三項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)。通過題型訓(xùn)練總結(jié)如下：(1) 例如分解因式x2+ 5x+ 6或x2 5x+ 6常數(shù)項(xiàng)6可分解為2X 3或(2)x( 3) 而2+ 3=5、( 2) + ( 3) = 5正是一次項(xiàng)的系數(shù)?？梢妼τ诙雾?xiàng)系數(shù)為1、常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)的二次三項(xiàng)式，當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)時(shí)，二次三 項(xiàng)式

10、的常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)正數(shù)且使兩正數(shù)的和恰是一次項(xiàng)的系數(shù)；當(dāng)一次項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)數(shù) 時(shí)，二次三項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)負(fù)數(shù)且使兩負(fù)數(shù)的和恰是一次項(xiàng)的系數(shù)。即常數(shù)項(xiàng)分 解的兩個(gè)數(shù)的和等于一次項(xiàng)的系數(shù)的絕對值。(2) 例如分解因式x2+ x 6或x2 x 6常數(shù)項(xiàng)都為6可分解為3X( 2)或(3) X 2 而 3+( 2) =3 2=1 ( 3)+ 2=2 3= 1 正是一次項(xiàng)的系數(shù)?？梢妼τ诙雾?xiàng)系數(shù)是1、常數(shù)項(xiàng)是負(fù)數(shù)的二次三項(xiàng)式，當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)時(shí)，二次三 項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)的絕對值分解成兩個(gè)正數(shù)的差等于一次項(xiàng)的系數(shù)，用較大因數(shù)減較小因數(shù)， 即寫成字母加大因數(shù)與字母減小因數(shù)的積的形式(加大減小)；當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)， 二次三項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)的絕對值分解成兩個(gè)正數(shù)的差等于一次項(xiàng)的系數(shù)，用較小因數(shù)減較大 因數(shù)，即寫成字母加小因數(shù)與字母減大因數(shù) 的積的形式(加小減大)。例如(1) mi+ 5m 14常數(shù)項(xiàng)-14的絕對值14=2X 7 一次項(xiàng)系數(shù)是5=7 2故 吊+ 5m- 14=( m+ 7)( m- 2) (2) y2 6y 40常數(shù)項(xiàng)-40的絕對值40=4X 10 一次項(xiàng)系數(shù)是6=4 10故y 6y 40= (y + 4)(y10)當(dāng)然，因式分解不限