中考數(shù)學(xué)系列專題27與圓有關(guān)的概念

1、專題27與圓有關(guān)的概念聚焦考點(diǎn)溫習(xí)理解1 、圓的定義在一個(gè)個(gè)平面內(nèi)，線段 0A繞它固定的一個(gè)端點(diǎn) 0旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn) A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn) 0叫做圓心，線段 0A叫做半徑。連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。如圖中的AB3. 直徑經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑。如圖中的CD直徑等于半徑的2倍。4. 半圓圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。- - 1 1 -il - 1 1 i i - - 1 1 1 1 11 1 - 1 1 1 1 1 - i 1 - 1 11 1 1 1 1 1 1- 1 1 1 /- 1 1 1 1 i 1 ill.- 1 1 1 i_ 1

2、 1 1 15. 弧、優(yōu)弧、劣弧圓上任意兩點(diǎn)間的局部叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。 mawirBiaivMirnirB_BMwirwwsrwww-srvwB_BHMnirH?wewwMveiirvMnirMvwiBvrwTwsrnrMWBirwwM1w-iirwiimirw 弧用符號(hào)“一表示，以A, B為端點(diǎn)的弧記作“血，讀作“圓弧 AB或“弧AB。大于半圓的弧叫做優(yōu)弧多用三個(gè)字母表示；小于半圓的弧叫做劣弧多用兩個(gè)字母表示5、垂徑定理及其推論垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。推論1: 1平分弦不是直徑的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。2弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩

3、條弧。推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等。6、圓的對(duì)稱性1圓的軸對(duì)稱性圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱軸。2 、圓的中心對(duì)稱性圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形。7、弦心距從圓心到弦的距離叫做弦心距。rrfErrrfr名師點(diǎn)睛典例分類考點(diǎn)典例一、垂徑定理【例1】2021湖北黃石第8題如下圖，O O的半徑為13,弦AB的長(zhǎng)度是24, ON AB，垂足為N , 那么 ON A.5B.7C.9D. 11O丿j/ANB第8題圖【答案】A.【解析】試題分析：00的半徑為13,弦AB的妝度是軸ON- A ,垂足為N,由垂徑定理可得腦 再由勾股宦理可得011=5,故答秦送A,考點(diǎn)：垂徑定理；

4、勾股定理 【點(diǎn)睛】根據(jù)“兩條輔助線半徑和邊心距，一個(gè)直角三角形，兩個(gè)定理垂徑定理、勾股定理解決即可?！九e一反三】2021湖南長(zhǎng)沙第16題如圖，在OO中，弦AB=6圓心0到AB的距離0C=2那么OO的半徑長(zhǎng)為 .【解析】試題分析：弦 AB=6,圓心0到AB的距離0C為2，根據(jù)垂徑定理可得AC=BC=3 / ACO=90，由勾股定理可求得0A=, 13 考點(diǎn)：垂徑定理；勾股定理考點(diǎn)典例二、求邊心距【例2】2021貴州貴陽(yáng)第8題小穎同學(xué)在手工制作中，把一個(gè)邊長(zhǎng)為12cm的等邊三角形紙片貼到一個(gè)圓形的紙片上，假設(shè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)恰好都在這個(gè)圓上，那么圓的半徑為A. 2 3 cmB. 4.3cmC. 6

5、 3 cmD. 8 一 3cm【答案】B.【解析】試題分析；過(guò)點(diǎn)屈作眈邊上的垂線交舵于點(diǎn)亠過(guò)點(diǎn);百作M邊上的重鮫Q于點(diǎn)6那么0為圓心 設(shè)0的半徑為由等邊三角形的性質(zhì)知：205030 ,加二乩.旨眈乂a二羋乳h考點(diǎn)：三角形的外接圓與外心；等邊三角形的性質(zhì).【點(diǎn)睛】作出幾何圖形，再由外接圓半徑、邊心距和邊長(zhǎng)的一半組成的三角形中，外接圓半徑和特殊 角，可求得邊心距.考查了等邊三角形的性質(zhì).注意：等邊三角形的外接圓和內(nèi)切圓是同心圓，圓心到頂 點(diǎn)的距離等于外接圓半徑，邊心距等于內(nèi)切圓半徑.【舉一反三】如圖，半徑為 5的O A中，弦BC, ED所對(duì)的圓心角分別是/ BAC / EAD.DE=6 / BAC

6、+Z EAD=180 ,那么弦BC的弦心距等于B.【答案】D.342C. 4 D. 3考點(diǎn)：1.圓周角定理;A作AH丄BC于H,作直徑 CF,連接BF,2. 全等三角形的判定和性質(zhì)；3.垂徑定理；4.三角形中位線定理.?Zbac+Zead=180 、 Zbac+Zbafibo fAD = AB在AADE 和ZkABF 中，21DAE 三 kiBAF，AE = AT(SAS) . .,DE=BF=6.JAH丄EC j .ICH二呂IL又VCK=AFf /.AHjACBF 的中位線./.AH=BF=3.考點(diǎn)典例三、最短路線問(wèn)題【例3】如圖，MN是半徑為1的OO的直徑，點(diǎn)A在OO上，/ AMN=30

7、，點(diǎn)B為劣弧AN的中點(diǎn).直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，貝U PA+PB的最小值為A.二 B . 1 C 2 D 2 -：【答案】A.【解析】作點(diǎn) B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)B,連接OA OB OB、AB ,那么AB與MN的交點(diǎn)即為PA+PB的最小時(shí)的點(diǎn)，PA+PB的最小值=AB ,/ AMN=3 ,/ AON=2AMN=2 30 =60,點(diǎn)B為劣弧AN的中點(diǎn)，11/ BON= / AON X 60 =30,22由對(duì)稱性，/ B ON2 BON=30 ,/ AOB =Z AON：+ B ON=60 +30 =90, AOB是等腰直角三角形， AB =. 2 OA= 2 X 仁耳,即PA+PB的最小值 =2 .應(yīng)選A

8、.2倍的作半圓與AC【點(diǎn)睛】此題考查了軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的性質(zhì)，作輔助線并得到 AOB是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵.【舉一反三】2021浙江臺(tái)州第10題如圖，在 ABC中, AB=10, AG=8, BO6,以邊AB的中點(diǎn)O為圓心,相切，點(diǎn)P, Q分別是邊BC和半圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接 PQ那么PQ長(zhǎng)的最大值與最小值的和是【答案】C.1C. 9d. 323【解析】試題分析：如虱 設(shè)0與血相切于點(diǎn)厶連接 兀 作。小C垂足為鬥交OO于如 此時(shí)垂耀殳g 最短，円Q最小值為。円 00, /=10,5C=0, :.ZC=90 ； VZOPj5=90 ,S.OPy

9、 II AC巧OP咼二0P：丄八円Q：最小值為0円-0如1,如劉 當(dāng)戲在汕邊上時(shí)P2與孑重合最大值二沁諭二pq長(zhǎng)的最大值呂最小值的和杲應(yīng)選c.考點(diǎn)：切線的性質(zhì)；最值問(wèn)題.課時(shí)作業(yè)能力提升選擇題1. 2021福建南平第6題假設(shè)正六邊形的半徑長(zhǎng)為4,那么它的邊長(zhǎng)等于A. 4B. 2C. 23D. 4、3【答案】A【解析】試題分析：正六邊形的中心甬為禿乂力異眩外接圓的半輕和正六邊形的邊長(zhǎng)將組成一個(gè)等邊三角形，故正六邊形的半徑等千那么正六邊形的邊長(zhǎng)是4.應(yīng)選考點(diǎn)：正多邊形和圓.2. 2021內(nèi)蒙古巴彥淖爾第 3題如圖，線段 AB是O O的直徑，弦 CDL AB / CAE=40 那么/ ABD與ZAO

10、D分別等于A. 40, 80B.50,100C.50,80D.40,100【答案】B.【解析】試題分析：/ CDL AB,/AEC90, v/ CAB40, /-ZC=50,/-ZABD/ C=50,/ OOD /-Z ABD：/ ODB50,/Z AODZ ABDZ ODB100,應(yīng)選 B.考點(diǎn)：圓周角定理；垂徑定理.3. O O的直徑CD=10cm AB是O O的弦，AB丄CD垂足為 M 且AB=8cm那么AC的長(zhǎng)為A. 2.5cm B. 4.5cm C. 2.5cm 或 4/5cm D. 5 2_ 3cm 或 4.3cm【答案】C.【解析】試題対析：根IS題意畫(huà)出團(tuán)形由于點(diǎn):的位蓋不能踴

11、走，till衛(wèi)分兩種情況進(jìn)行討論|連接曲A0；J0O 的直各 CWlOoiij A3丄AB=Bon, J.AM= iB= - X 3=4c； 0D=0C=5cn.當(dāng)f點(diǎn).位翼如答團(tuán)1所示時(shí)，/OAsScjhCD丄AT, J. OM -OA: - AM: = 5: -4? = 3cn./.CM-OCON=5+3=8cni.F：tAAMC AC =、 一 匸胡：=4； -3 =4圧匚叭當(dāng)C點(diǎn)位詈如圍2所示時(shí)，同理可得orrsok,0C=5na?二恥弋一店血九在 RtAAIC 中 AC -JaMcSF - 一 T 1運(yùn)皿.綜上所速j AC的長(zhǎng)為2j5cm或+J5an .應(yīng)選匚答團(tuán)1答團(tuán)2考點(diǎn)：1.垂

12、徑定理；2.勾股定理；3.分類思想的應(yīng)用.4. O 0的面積為2n,那么其內(nèi)接正三角形的面積為【】A. 3 3B. 3 6C. 3. 3D. 3 62 2【答案】C.【解析】試題分析：作出圉形如虱 連接OB, A0并延長(zhǎng)交于點(diǎn)比那么AC丄EC & BH-CH, ZOBH=30V0Q的面枳為2心二OA =QB二0日4匹二AH弓近 BO&丘*Ml-Uc牛農(nóng)冷|擊應(yīng)選c.5. 如圖，MN是O 0的直徑，點(diǎn)A是半圓上的三等分點(diǎn)，點(diǎn)B是劣弧AN的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn).假設(shè)MN=2、. 2，貝U PA+PB的最小值是A. 2 ,2 B . 2 C . 1D . 2【答案】D.【解析】作點(diǎn)A關(guān)于MN

13、的對(duì)稱點(diǎn)A,連接AB,交MN于點(diǎn)P,連接OA , OA OBPA,AA.點(diǎn)A與A關(guān)于MN對(duì)稱，點(diǎn)A是半圓上的一個(gè)三等分點(diǎn)，/ A ON=/ AON=60 , PA=PA,點(diǎn)B是弧AN的中點(diǎn)，/ BON=30 ,/ A OB=/ A ON丄 BON=90 ,又OA=OA =2 , A B=2. PA+PB=PA+PB=A B=2.應(yīng)選D.二.填空題6. 2021貴州貴陽(yáng)第14題如圖，O O的半徑為6cm弦AB的長(zhǎng)為8cm, P是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BP=2cm【解析】試 18分析:作 OA/.LAB于一遠(yuǎn)如團(tuán)所示:那么j!詩(shī)月鑽AB=4cm9Q0 V0A* - AM二- 4亍=2a?51TP磚PB

14、+B叫鶴社乙OBr 二血匚二；故答案為：.PM 633考點(diǎn)：垂徑定理；解直角三角形.7.2021黑龍江綏化第16題如圖，O O的直徑CtD=20cm, AB是O O的弦，AB丄CD垂足為 M假設(shè)OM6cmcm那么AB的長(zhǎng)為【答案】16.【解析】 試題分析：連接oa o的直徑ct=20cm.OAfiocm在Rt oam中,由勾股定理得：am=Jio2 62 =8cm16.由垂徑定理得：AB=2AM=16cm 故答案為:考點(diǎn)：垂徑定理.8. 如圖，AB是O O的直徑，弦 CDL AB于點(diǎn) E, OC=5cn, CD=6cn,貝U OE=cm【答案】4.【解析】試題分樂(lè)；CD丄AB/.CE-T在 R

15、tAOCE 中,-C-=花匚3： “嘰考點(diǎn)：1.垂徑定理；2.勾股定理.9. 如圖，AB為OO的直徑，CDLAB假設(shè) AB=10, CD=8那么圓心 O到弦CD的距離為 【解析】連接 0C由AB=10得出0Q的長(zhǎng)，再根據(jù)垂徑定理求出CE的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出OE即可./ AB 為OO 的直徑，AB=10, OC=5/ CDL AB CD=8 CE=40E= OC2 CE252 42 3.考點(diǎn)：1.垂徑定理；2.勾股定理.10. 如圖，AB為OO的直徑，CDLAB假設(shè) AB=10, CD=8那么圓心 O到弦CD的距離為【答案】3.【解析】試題俞析：連接OC, S AB=LO得出0C的故，再根據(jù)垂徑定理求出CE的長(zhǎng)很協(xié)勾股定理求出QE即可.A試題解析：連接X(jué),E丁站為0的直徑,AB=107；.0C=5,TCD丄AB, CD=8,；.CE=4,/ iOE= V?C: CE = JF _ 4 =