高考綜合復(fù)習(xí)-專題21-橢圓與雙曲線

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高中數(shù)學(xué)高考綜合復(fù)習(xí)專題二十一橢圓與雙曲線一、知識網(wǎng)絡(luò) 二、高考考點1.橢圓與雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)；2.有關(guān)圓錐曲線的軌跡（或軌跡方程）的探求；3.直線與圓錐曲線的問題：對稱問題；最值問題；范圍問題等；4.圓錐曲線的探索性問題或應(yīng)用問題；5.以圓錐曲線為主要內(nèi)容的綜合問題；6.數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法以及數(shù)學(xué)學(xué)科能力、一般思維能力等基本能力。三、知識要點(一)橢圓 定義與推論1、定義1的的認(rèn)知設(shè)M為橢圓上任意一點， 分別為橢圓兩焦點， 分別為橢圓長軸端點，則有（1）明朗的等量關(guān)系： （解決雙焦點半徑問題的首選公式）（2）隱蔽的不等關(guān)系：

2、， （尋求某些基本量取值范圍時建立不等式的基本依據(jù)）2、定義2的推論根據(jù)橢圓第二定義，設(shè) 為橢圓 上任意一點， 分別為橢圓左、右焦點，則有： （d1為點M到左準(zhǔn)線l1的距離） （d2為點M到右準(zhǔn)線l2的距離）由此導(dǎo)出橢圓的焦點半徑公式： 標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中心在原點，焦點在x軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程 中心在原點，焦點在y軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程 （1）標(biāo)準(zhǔn)方程、中的a、b、c具有相同的意義與相同的聯(lián)系： （2）標(biāo)準(zhǔn)方程、統(tǒng)一形式： 2、橢圓 的幾何性質(zhì)（1）范圍： （有界曲線）（2）對稱性：關(guān)于x軸、y軸及原點對稱（兩軸一中心，橢圓的共性）（3）頂點與軸長：頂點 ，長軸2a，短軸2b（由

3、此賦予a、b名稱與幾何意義） （4）離心率： 刻畫橢圓的扁平程度（5）準(zhǔn)線：左焦點 對應(yīng)的左準(zhǔn)線 右焦點 對應(yīng)的右準(zhǔn)線 橢圓共性：兩準(zhǔn)線垂直于長軸；兩準(zhǔn)線之間的距離為 ；中心到準(zhǔn)線的距離為 ；焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為 . 挖掘與引申1、具特殊聯(lián)系的橢圓的方程（1）共焦距的橢圓的方程 且 （2）同離心率的橢圓的方程 且 2、弦長公式：設(shè)斜率為k的直線l與橢圓交于不同兩點 ，則 ；或 。（二）雙曲線、定義與推論1定義1的認(rèn)知設(shè)M為雙曲線上任意一點， 分別為雙曲線兩焦點， 分別為雙曲線實軸端點，則有：（1）明朗的等量關(guān)系： （解決雙焦點半徑問題的首選公式）（2）隱蔽的不等關(guān)系： ， （尋求某些基本量的

4、取值范圍時建立不等式的依據(jù)）2定義2的推論設(shè) 為雙曲線 上任意上點， 分別為雙曲線左、右焦點，則有 ，其中， 為焦點 到相應(yīng)準(zhǔn)線li的距離 推論：焦點半徑公式當(dāng)點M在雙曲線右支上時， ；當(dāng)點M在雙曲線左支上時， 。、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)3雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為 中心在原點，焦點在y軸上的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為 （1）標(biāo)準(zhǔn)方程、中的a、b、c具有相同的意義與相同的聯(lián)系： （2）標(biāo)準(zhǔn)方程、的統(tǒng)一形式： 或： （3）橢圓與雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的統(tǒng)一形式： 4雙曲線 的幾何性質(zhì)（1）范圍： （2）對稱性：關(guān)于x軸、y軸及原點對稱（兩軸一中心）（3）頂點與軸長：頂點 （由此賦予a,

5、b名稱與幾何意義）（4）離心率： （5）準(zhǔn)線：左焦點 對應(yīng)的左準(zhǔn)線 ；右焦點 對應(yīng)的右準(zhǔn)線 雙曲線共性：準(zhǔn)線垂直于實軸； 兩準(zhǔn)線間距離為 ；中心到準(zhǔn)線的距離為 ； 焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為 （6）漸近線：雙曲線 的漸近線方程： 、挖掘與延伸1具有特殊聯(lián)系的雙曲線的方程對于雙曲線 （）（1）當(dāng)+為定值時，（）為共焦點的雙曲線（系）方程：c2=+;（2）當(dāng) 為定值時，（）為共離心率亦為共淅近線的雙曲線（系）方程： ；（3）以直線 為漸近線的雙曲線（系）方程為： 特別：與雙曲線 共漸近線的雙曲線的方程為： （左邊相同，區(qū)別僅在于右邊的常數(shù)）2弦長公式設(shè)斜率為k的直線l與雙曲線交于不同兩點 則 經(jīng)典例題

6、1、（1）若橢圓 的一個焦點是（-2，0），則a等于 。（2）已知橢圓 的焦點為F1、F2，點P是其上的動點，當(dāng) 為鈍角時，點P的橫坐標(biāo)的取值范圍為 。分析：（1）從此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程切入。由題設(shè)知已知得： 這里 由此解得 （2）這里a=3, b=2, c= 以線段F1F2為直徑的圓的方程為 設(shè) ，則由點P在橢圓上得： 又由 為鈍角得： 由、聯(lián)立，解得： 所求點P橫坐標(biāo)的取值范圍為 點評：注意到點P對 的大小的影響可用點P與圓 相對位置關(guān)系來反映，故選擇這一解法。當(dāng)然，本題亦可由 推出 的范圍，請同學(xué)們嘗試和比較。2、已知 為橢圓的兩個焦點，過 的直線交橢圓于P、Q兩點， 且 ，求橢圓的離心率。

7、分析：不防設(shè)橢圓方程為 ， 為等腰直角三角形，注意到這一三角形含有點P、Q處的兩條焦點半徑，故想到利用橢圓第一定義構(gòu)建有關(guān)方程。解：設(shè)橢圓方程為 設(shè) ，則由 為等腰 得： 又由橢圓第一定義得 的周長為4a 即 注意到 為 ， 即 因此，代入得 由此解得 點評：這里對條件 運(yùn)用頗為充分：兩次運(yùn)用橢圓定義，第一次用于導(dǎo)出，第二項用于導(dǎo)出；兩次運(yùn)用 條件：第一次利用 為等腰 表示出 ，第二次利用 為 導(dǎo)出。充分利用題設(shè)條件，也是解題成功的保障之一。3、已知雙曲線 的左、右兩個焦點為 ，P為雙曲線上的點，又， 成等比數(shù)列且 ，求雙曲線方程。分析：這里要求b的值。注意到 ，為了求b，首先需要從題設(shè)條件入

8、手尋找關(guān)于b的方程或不等式。由題設(shè)得 ，為便于將其設(shè)為關(guān)于b的方程，考慮推導(dǎo)并利用雙曲線的焦點半徑公式。因此，解題便以判定點P位置拉開序幕。解：這里 （4的特殊性） ，即 ， 點P在雙曲線右支上設(shè)點 ，則由雙曲線第二定義以及點P在雙曲線右支上得 又由題設(shè)得 代入得 再注意到由 得 ， 即 于是、得 而 ，所以由得b=1因此，所求雙曲線方程為： 點評：這里對已知條件 的兩次運(yùn)用：第一次“粗”用，利用4=2a的特殊性判定點P在雙曲線右支上；第二次“細(xì)”用，利用 （將4作為一般正數(shù)）導(dǎo)出點P橫坐標(biāo)存在的范圍： 。粗細(xì)結(jié)合，將已知條件運(yùn)用得酣暢淋漓。4、設(shè)橢圓 的焦點為 ，P為橢圓上一點， 的最大值為

9、 。（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)直線l與橢圓交于M、N兩點，且直線l與圓心在原點，半徑等于b的圓相切，已知線段MN長度的最大值為4，求橢圓方程和直線l的方程。分析： 中 的最大值為 的最小值為 ，循著特殊與一般相互依存的辯證關(guān)系，想到從在 中運(yùn)用余弦定理推導(dǎo) 的最小值切入。解：（1）設(shè) = ， ， ， 則在 中由余弦定理得 即 的最小值為 又由題設(shè)知 的最大值，即 的最小值為 即 a=2b （2）由已知橢圓方程為 由題設(shè)知直線l不垂直于x軸設(shè)直線l的方程為 設(shè) 則由直線l與圓 相切得： 將代入得： 代入得 直線l與橢圓相交于不同兩點又由韋達(dá)定理得： ， （ 當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時等號成立） 的最

10、大值為2b（當(dāng) 時取得） 由題設(shè)得 （此時 ） a=2b=4 進(jìn)而由得 ，即 因此，由、得所求橢圓方程為 ，直線l的方程為 或 點評：這里導(dǎo)出的式為此類問題的共同基礎(chǔ)：設(shè)P為橢圓 上任意一點， ，則 最小值為 據(jù)此 若 的最大值為 ，則 （即 ）；若 的最大值為 ，則 （即 ）；若 的最大值為 ，則 （即 ）。5、已知斜率為1的直線l與離心率為 的雙曲線 交于P、Q兩點，又直線l與y軸交于點R，且 ， ，求直線和雙曲線方程。分析：主要已知條件借助向量表出，故主要問題是認(rèn)知已知條件，進(jìn)而根據(jù)問題的具體情況進(jìn)行推理或轉(zhuǎn)化。解：由 得 ， 雙曲線方程為 設(shè) ，直線l的方程為 將代入得 對于方程， 恒

11、成立由韋達(dá)定理得 即 由此得 又由題設(shè)得 ，故得 由、聯(lián)立解得 將代入得 再注意到 得 將、代入得 解得 ， 因此，由，得所求雙曲線方程為 ，所求直線方程為 點評：（）關(guān)于此類直線與圓錐曲線相交的問題，對于交點坐標(biāo)的處置適當(dāng)與否，成為解題繁簡成敗的關(guān)鍵。于是，圍繞著對交點坐標(biāo)的“解”與“設(shè)”的應(yīng)用選擇，產(chǎn)生出解題策略：解而不設(shè)與設(shè)而不解；“既設(shè)又解”與“不設(shè)不解”。在這里，我們對交點P、Q的坐標(biāo)運(yùn)用的是“既設(shè)又解”，請同學(xué)們注意品悟這里“解”的分寸的把握。（）這里解題的層次分明，已知式一轉(zhuǎn)化一代入一結(jié)論：已知式（ ）轉(zhuǎn)化代入結(jié)論；已知式（ ）轉(zhuǎn)化代入結(jié)論。同學(xué)們應(yīng)注意學(xué)習(xí)與追求這種解題的明晰與

12、漂亮。6、已知 ， （1）求點P（x，y）的軌跡C的軌跡方程；（2）若直線 與曲線C交于A、B兩點，D（0，-1），且有 ，試求m的取值范圍。分析：對于（1），從已知條件入手，利用向量的坐標(biāo)表示進(jìn)行推理；對于（2），此類關(guān)于直線與圓錐曲線相交的比較復(fù)雜的問題，要刻意向基本的弦中點或弦長問題轉(zhuǎn)化。解：（1）由已知得 ， 由 得 ， 得 所求點P的軌跡C的方程為： （2）設(shè) ，弦AB的中點 ，則將l的方程代入得 由題意得 且 即中點M的坐標(biāo)為 注意到 點D在弦AB的垂直平分線上 （ ， 且 ） ， 且 ） 于是將代入得 或 此時再注意到由得 （關(guān)于k的二次函數(shù)隱含范圍的發(fā)掘）于是由、所求m的取值范

13、圍 點評：（1）認(rèn)知已知條件 ，這時將其向基本的弦長或弦中點問題轉(zhuǎn)化，這是解決直線與圓錐曲線復(fù)雜問題的基本策略之一；（2）注意在尋求參數(shù)的取值范圍的過程中，對所使用的二次函數(shù)等有關(guān)函數(shù)的值域的發(fā)掘與運(yùn)用：在這里， 為k的二次函數(shù)，又由這里 ，故 。因此可解關(guān)于k的二次函數(shù)m的取值范圍： 。這是本題導(dǎo)出正確結(jié)果的最后的屏障，不認(rèn)知這一些，便會導(dǎo)出 的錯誤結(jié)果。五、高考真題：（一）選擇題1.橢圓 的兩個焦點為 ，過 作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個交點為P，則 =（ ）A. B. C. D. 4分析：由已知 不防設(shè)點P在x軸正方，則以 代入橢圓方程得 ，故得點 ，從而 ，故選C。2.點P（-3，

14、1）在橢圓 （a>b>0）的左準(zhǔn)線上，過點P且方向為 的光線經(jīng)過直線y=-2反射后通過橢圓的左焦點，則這個橢圓的離心率為（ ）A. B. C. D. 分析：運(yùn)用入射光線與反射光線的物理性質(zhì)，刻意運(yùn)用入射光線與反射光線的性質(zhì)與聯(lián)系。點P（-3，1）關(guān)于直線y=-2的對稱點為 左焦點 又方向為 的直線的斜率為 ，設(shè)入射光線與直線y=-2的交點為M，則由入射光線與反射光線傾斜角之間的關(guān)系得 ，解得：c=1.再由點P（-3，1）在左準(zhǔn)線上得 ， ，應(yīng)選A。3.若動點（x，y）在曲線 （b>0）上變化，則 的最大值為（ ）A. B. C. D. 2b分析：注意到曲線方程二次方程，故考慮

15、向二次函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化。由 得 設(shè) ，則 又由中 得 ，且的對稱軸為 （1）當(dāng) ，即 時， ；（2）當(dāng) ，即 時， ，于是由（1）、（2）知應(yīng)選A。4.設(shè)直線 關(guān)于原點對稱的直線為 ，若 與橢圓 的交點為A、B，P為橢圓上的動點，則使 的面積為 的點P的個數(shù)為（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4分析： 的方程為 ，且易知 的下方有兩個滿足題設(shè)條件的點。以下考察直線 上方是否存在滿足題設(shè)的點P設(shè)在 上方且與橢圓相切于點P的直線 的方程為 ，將它與橢圓方程聯(lián)立，消去y得 由=0得： ， 取 與 之間的距離 ， 直線 上方不存在滿足題設(shè)的點P 于是由，知應(yīng)選B。點評：運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，解

16、題過程變得簡捷。5.已知雙曲線 的右焦點為F，右準(zhǔn)線與一條漸近線交于點A， 的面積為 （O為原點），則兩條漸近線的夾角為（ ）A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°分析：首先著眼于尋找a，b的聯(lián)系，由題設(shè)知F（c，0），右準(zhǔn)線方程為 ，并且取點 ，則 ，a=b，雙曲線為等軸雙曲線，兩漸近線夾角為90°，應(yīng)選D。6.已知雙曲線 的焦點為 ，點M在雙曲線上，且 軸，則 到直線 的距離為（ ）A. B. C. D. 分析：立足于計算與推理，由已知得： 軸， ，代入橢圓方程得 ， 即 當(dāng)點 到直線 的距離為h，則由 得 ， 應(yīng)選C。點評

17、：這里線段 為半正焦弦，故 ，利用它更為方便。7.已知雙曲線 的焦點為 ，點M在雙曲線上且 ，則點M到x軸的距離為（ ）A. B. C. D. 分析：由已知得 ， ， ， 由，得 設(shè)所求距離為h，于是由 得 ，故選C。8.已知 是雙曲線 的兩個焦點，以線段 為邊作正 ，若邊 的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D. 分析：從認(rèn)知 的特性切入，尋找關(guān)于a，c的等式（或方程） 為正三角形， 點M在y軸上設(shè)邊 的中點為P，連結(jié) ，得 ， ， ， 又由題設(shè)知點P在雙曲線左支上， 代入得 ，應(yīng)選D。（二）填空題1.若雙曲線的漸近線方程為 ，它的一個焦點是 ，則雙曲線方程為 。分析

18、：由題設(shè)得： ， 由 得 ， 所求雙曲線方程為 2.設(shè)雙曲線 的右焦點為F，右準(zhǔn)線l與兩條漸近線交于P、Q兩點，如果 為 ，則雙曲線的離心率為 。分析：設(shè)右準(zhǔn)線l與x軸交于點R，則 ，又 由此解得 a=b，故得 3.過雙曲線 的左焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于M、N兩點，以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過雙曲線的右頂點，則雙曲線的離心率等于 。分析：設(shè)左焦點為 ，右頂點為A，則由題意得 （）注意到MN為雙曲線的正焦弦，故 由（）得 由此解得 e=2。4.以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題中設(shè)A、B是兩個定點，k為非零常數(shù)，若 ，則動點P的軌道為雙曲線；過定圓C上的一定點A作圓的動弦AB，O為坐標(biāo)原點，若 ，

19、則動點P的軌跡為橢圓；方程 的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；雙曲線 與橢圓 有相同的焦點。其中真命題的序號為 （寫出所有真命題的序號）。分析：對各命題依次辯析，由雙曲線定義知，中點P軌跡是雙曲線一支；對于，點P軌跡是橢圓上除去點A的曲線；對于，方程兩根分別為 和2，可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；對于，可知是真命題，綜上可知應(yīng)填、。（三）解答題1.如圖，點A、B分別是橢圓 長軸的左、右端點，點F為橢圓右焦點，點P在橢圓上，且位于x軸上方， （1）求點P坐標(biāo)；（2）設(shè)M是橢圓長軸AB上一點，M到直線AP的距離等于 ，求橢圓上的點到點M的距離d的最小值。分析：從設(shè)點P坐標(biāo)切入，解題運(yùn)用向量垂

20、直的充要條件列方程，以解出點P坐標(biāo)。解：（1）這里 ， ， ， ， 設(shè)點 ，則 ， 由 得 又點P在橢圓上 將、聯(lián)立，消去y得 或 注意到 y>0，故 ，從而 點P坐標(biāo)為 （2）由（1）知，直線AP的方程為 設(shè) ，則點M到直線AP的距離為 ， 由已知得 又 ，解得 m=2，即 又設(shè)橢圓上的 到點M的距離為d，則 ，當(dāng) 時，d取得最小值 點評：將 轉(zhuǎn)化為 ，從而使解題辟出另一途徑。2.如圖，已知橢圓中心在原點，焦點 在x軸上，長軸 的長為4，左準(zhǔn)線l與x軸的交點為M， 。（1）求橢圓方程；（2）若直線 ，P為 上的動點，使 最大的點P記為Q，求點Q的坐標(biāo)（用m表示）分析：（1）以設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)

21、方程切入；（2）從設(shè)點P坐標(biāo)切入，易知 為銳角或零角，故從求 的最大值突破。解：（1）設(shè)橢圓方程為 ： ，則 ， 由題意得 ， 解得a=2， ，c=1 所求橢圓方程為 （2）設(shè) ；（）當(dāng) 時， ；（）當(dāng) 時， ， 為銳角 只需求出 的最大值由題意，直線 的斜率 ，直線 的斜率 當(dāng)且僅當(dāng) 即 時等號成立。 的最大值為 （當(dāng)且僅當(dāng) 時取得）注意到正切函數(shù)在 內(nèi)為增函數(shù) 當(dāng)且僅當(dāng) 時， 取得最大值 此時點Q坐標(biāo)為 點評：欲求 的最大值，當(dāng) 為銳角時，可轉(zhuǎn)化為求 的最大值。因此，欲求 的最大值，在進(jìn)入實質(zhì)性計算之前，要首先考察 的范圍，以決定這一轉(zhuǎn)化是否適當(dāng)。3.已知橢圓 的左、右焦點分別為 ，離心率為e，直線 與x軸、y軸分別交于A、B，M是直線l與橢圓C的一個公共點，P是點 關(guān)于直線l的對稱點，設(shè) 。（1）證明： ；（2）確定 的值，使得 是等腰三角形。分析：（1）從得出點A、B、M的坐標(biāo)切入，利用兩向量相等的充要條件求解 ；（2）由題設(shè)知，l為線段 的垂直平分線，利用這一特性來判定 的特殊性或必然性， 為鈍角（可從圖形受到啟發(fā)），故只有 一種情況。由這一等式入手并將其演變?yōu)殛P(guān)于e的方程，則解題便勝利在望了。解：（1）證：由題設(shè)易得 ， 由 解得 點M坐標(biāo)為 ， 由 得 故得 由此解得 （2）解：由題設(shè)