非軸對(duì)稱荷載下考慮流體流速的飽和土穩(wěn)態(tài)動(dòng)力響應(yīng).docxVIP

1、第38卷第6期上海交通大學(xué)學(xué)報(bào)Vol.38No.62004年6月JOURNALOFSHANGHAIJIAOTONGUNIVERSITYJun.2004文章編號(hào).1006-2467(2004)06-0947-05非軸對(duì)稱荷載下考慮流體流速的飽和土穩(wěn)態(tài)動(dòng)力響應(yīng)張正林，高紹武，王建華(上海交通大學(xué)土木工程系，上海200030)摘要：由于飽和土中流固柄合，飽和土的動(dòng)力問(wèn)題不但要考慮土骨架的運(yùn)動(dòng)，而且還要考慮流體的運(yùn)動(dòng).對(duì)此，不忽略流體相對(duì)于土骨架運(yùn)動(dòng)的慣性項(xiàng)，應(yīng)用Hankel積分變換方法，對(duì)Biot波動(dòng)方程逐次解柄后直接求解得通解；根據(jù)通解和半空間內(nèi)部或表面作用水平力時(shí)的邊界條件和作用面上的連續(xù)條件，

2、求得邊值問(wèn)題的解；對(duì)邊值問(wèn)題的解進(jìn)行相應(yīng)的Hankel逆變換，就可求得應(yīng)力、應(yīng)變、位移、孔壓等.最后給出了Hankel逆變換的數(shù)值方法.關(guān)鍵詞：飽和土；非軸對(duì)稱荷載；Hankel變換；穩(wěn)態(tài)動(dòng)力響應(yīng)中圖分類號(hào)：TU411.8文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：ASteadyDynamicResponseofSaturatedSoilunderNonaxisymmetricalLoadConsideringVelocityofLiquidZHANGZheng-linGAOShao-wuWANGJian-hua(Dept,ofCivilEng.,ShanghaiJiaotongUniv.,Shanghai200030,Ch

3、ina)Abstract:ThesteadydynamicresponseofsaturatedsoilwasstudiedbymeansofHankeltransform.Theliquid*sinertiaisconsidered*i.e.thereisnotanyhypothesis.ByusingHankelintegraltransformmethodthesolutionofhorizontalharmonicforceappliedtotheinteriororthesurfaceofsaturatedsoilisobtained.Thegeneralsolutionsofthe

4、BiotdynamicequationsinfrequencydomainareestablishedthroughtheuseofHankelintegraltransformstechnique.Utilizingtheabove-mentionedgeneralsolution*theboundaryconditionsofthesurfaceofhalf-spaceandthecontinuousconditionsattheplaneofhorizontalforce*thesolutionsoftheboundaryvalueproblemcanbedetermined.Bythe

5、numericalinverseHankeltransformsmethodthestressandthedisplacementofharmonichorizontalforceareobtainable.Intheend,thenumericalmethodofinversionofHankeltransformwasgiven.Keywords:saturatedsoil；non-axisymmetricalloadiHankeltransform；steadydynamicresponse收稿日期,2003-06-21基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（59879012）；教育部博士點(diǎn)

6、基金資助項(xiàng)目（980224832）作者簡(jiǎn)介：張正林（1968-）.男.上.海人.碩土.工程師，主要從事工程管理和巖土工程數(shù)（fl計(jì)算等研究.王建華（聯(lián)系人）.男.教授.博土生導(dǎo)師.電話（Tel.）,O21-62932915；E-mail：wjh417.飽和土的動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題是土動(dòng)力學(xué)、水利工程、土木工程和地震工程等領(lǐng)域的重要研究課題.自Riot：建立飽和土的運(yùn)動(dòng)方程以來(lái)，Pau3：討論了飽和土的Lamb問(wèn)題，Chen3：推導(dǎo)出了飽和土的Green函數(shù)，楊峻等用積分變換方法分析了軸對(duì)稱條件F彈性層和飽和土體系穩(wěn)態(tài)動(dòng)力響應(yīng)，以上他們都是研究軸對(duì)稱間題.張引科等和陸建飛等利用Zienkiewicz等提

7、出的簡(jiǎn)化模型（忽略流體相對(duì)于土骨架運(yùn)動(dòng)的慣性項(xiàng)）對(duì)非對(duì)稱動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題進(jìn)行了研究，這種解適用于低頻振動(dòng).金波指：和Zeng等”分別在求解飽和土體上和土體內(nèi)圓板的軸對(duì)稱振動(dòng)問(wèn)題時(shí)，考慮了水相對(duì)于土骨架運(yùn)動(dòng)的慣性項(xiàng).本文利用飽和土的動(dòng)力基本方程Biot波動(dòng)方程及積分變換方法求解了飽和土在非軸對(duì)稱荷載下考慮水相對(duì)于土骨架運(yùn)動(dòng)慣性項(xiàng)的穩(wěn)態(tài)動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題，而且考慮了表面透水和不透水兩種邊界條件以及表面作用水平集中荷載、內(nèi)部作用水平集中荷載（圓形均布荷載）等多種荷載情況.Q3,=伊“一我式中：&=擇pjm必ibcu）p將盤(pán)（p6佝）（0。）0成尚=麗人+2“十Q+2點(diǎn)）。ft=畫(huà)（q+2“）由式（9）可得(9

8、)(10)(11)(12)(13)皿=品。，-s對(duì)式（7）進(jìn)行m階的Hankel變換,可得到一個(gè)常微分方程，解此微分方程1控制方程及通解飽和土的本構(gòu)關(guān)系為%=血戶式中:i,j=r,Ef以拉為正；為體積應(yīng)變;P為孔壓，以壓為正且孔壓的表達(dá)式為p=aMe+MS(1)p=”e個(gè)+慶一個(gè)4-CeW+Def(14)其中：由式（3）得:式中：壽+*第+票,.Wr,_1_3叫3叫r)rrr38dz/V2r+(義+“)其中，右、的分別為土骨架和流體相對(duì)于骨架的徑向、切向以及軸向位移.在非對(duì)稱情況下，柱坐標(biāo)系下的飽和土體動(dòng)力基本方程為網(wǎng),+（人+o2M+/）心+aMzu,./=pH,+P西+MiVj.y=Pji

9、i,+miv,+bw,(3)(4)drrrrlo/(p&pt)ur(a0)孕=0arVW+(A+“)+爵一號(hào)(吻_a制a?(ppt)u(a0)-i-=0AV2i+(義+)景+擇IP。位)孔(a)孕=0dZ根據(jù)Mukim的方法,則有(15)4-(16)(17)(7)(8)(18)a(r,0,z,t)=2amr,z,t)cosm0)式中、/為L(zhǎng)ame常數(shù)為考慮兩相材料壓縮性的Biot參數(shù)止=爪5為孔隙水的動(dòng)力粘滯系數(shù)涓為土體的動(dòng)力滲透系數(shù)；p=”,+（l）R；S0分別為流體和土骨架的質(zhì)量密度式（3）和（4）即為非對(duì)稱情形的流固兩相介質(zhì)動(dòng)力問(wèn)題的控制方程,本文采用逐次解耦方法求解此方程.將式（2）代

10、入式（3）和（4）,可得匕.+（義+ap=pu.+Piiv,（5）p.,=P（u,+mib,+bzv.（6）把穩(wěn)態(tài)條件/=7e-代入式（5）和（6）,且約去因子ey得p.njj+2=0&,1泌一a)P“+8122“s(r,z,，)cosS。)yM（r,z,，）sinS。）m-0oey孔5（尸，z,）cos（m。）m-0EYem(r,z,/)cos(w)(r,z,Z)cos(w)事實(shí)上.根據(jù)文獻(xiàn)12,對(duì)于作用z方向的水平力的情形，式（18）中的、下只有一項(xiàng)m=l,因此在以張正林，等：非軸對(duì)稱荷載下考慮流體流速的他和土穩(wěn)態(tài)動(dòng)力響應(yīng)949后的公式中省略下標(biāo)取式（18）中的第個(gè)分量，代入式（15）和（

11、16）,并把兩式相加后得/V2（w,+）+以+）（靠ye!-+wj)+2m(“，+如)+3pm子Pdrr(19)令并對(duì)式(19)進(jìn)行”7+1階的Hankel變換.可得Id2a)f+i.Mp0佝)IdP-),+個(gè)一M(A+QEf(a：e十p(20)同理，有人+/de+。一。dpde/du-m-l|Jp2(。a)*M(0a)A0aa%*。2=將式(14)代入式(27),可得e=aAYaAz+6/4)ez*+aAY一aA2+M)e-y+(技彳一aA+e*+aAYl一aA2+M)e*=a/e個(gè)+axBey+a2Cex*+aDe(28)式中：ax=a/f那+b、a2=a/jaV+b將式(14)、(28)

12、代入式(20),可得=Ee*+d+；(29)式中：u；=jt|i4ex*+k2Ce*+k2De*k=山=41-/f2-/f同理，有=GeV+He+妃(30)us=Jez*+KeV+；(31)式中：u：=-kAe一知Be個(gè)-k2Cer-k2Dereu：=幻Ae個(gè)+幻Be*gCe%*+g?Defh、_“2另外，利用柱坐標(biāo)系下的幾何和物理關(guān)系進(jìn)行相應(yīng)階數(shù)的Hankel變換，可得一女“，一io）-pdz（,_房T_心，一鼠尸7fxdz對(duì)式（9）進(jìn)行m階Hankel變換，可得式中,%=&/(佝少2).將式(28)(31)代入式(32)(35),可得o；=2jw(Jeze/3KeSQ+ij.Aer+7；B

13、ey*+iCeW+1=尸廠七名)一(32)(33)(34)(35)(379田土+心Ce勺+qDcf(46)Bg）L.a|S.A=0b”|：=方一皿=0e+1十：財(cái)+os0Lihtr財(cái)|一財(cái)成(Jg+Kef+Me個(gè)一加氏一個(gè)4-一中Def(38)Sm“(Ge。Hef%)+/$(Jez3*+Ke_x3*)們?cè)?。個(gè)+-aCe勺+/Oe-W(39)wg=8(./e孚乙+Ke_xir/j)4-M/le。+Ce出一JDk*(40)式中：7i2g7】+Aaa勿=2g2,2+加2a%=席I+“gif,%=M2/2+法們=弓乃+g).&=a2+幻&同理.有芯=一0(EeV+Fe-V)+yAe牛+AtjBe_zi

14、*4-K2Bor2t+K2De*(45)wm=一8(Ger+He-V)+k3A!+式中:OS.n，0C.Q=兩7+8刈灼=泊+例2&3=；-01Kq=例1PW另外.將式（28）（&2）代入式（23）.且對(duì)于任意的都成立.故J=G)(47)K=-F)(48)由此可知,A、B、C、D、E、F、G、H共有8個(gè)未知函數(shù).2邊值問(wèn)題的求解本文討論邊界完全透水條件和完全不透水兩種特殊情況.變換域內(nèi)的邊界完全透水條件和完全不透水條件分別為/|,_0=0,孳|=。（50）+%L-oJ+a|：-Q=Oj+z61x0JL-0=r）確定.由于式（50）所得出的任意函數(shù)B、D、F和H的表達(dá)式比較復(fù)雜.故本文不再列出.

15、圖1半空間飽和土表面受簡(jiǎn)諧水平力作用Fig.1Thesurfaceofsaturatedsoilsubjecttoharmonichorizontalforceinside（2）半空間內(nèi)部作用水平力.以水平力所在的水平面為界面把半空間區(qū)域分為n和d2兩個(gè)區(qū)域（見(jiàn)圖2）.其中n厚度為h的有限區(qū)域，而d2則為無(wú)限區(qū)域.對(duì)于區(qū)域。：內(nèi)的任意函數(shù)A.B,.K用：.&,，來(lái)表示；由于為無(wú)限區(qū)域.根據(jù)無(wú)窮遠(yuǎn)處正則條件.可以得出對(duì)應(yīng)于D2內(nèi)的任意函數(shù)A=C=E=G=0.其他任意函數(shù)B、D、F和H用B，D2、F，和IV來(lái)表示.由此可得.對(duì)于圖2所示的問(wèn)題有出.&，和BDFHZ共12個(gè)任意函數(shù)需要求解.因此.必

16、須相應(yīng)地建立邊界條件和連續(xù)性條件來(lái)求上述12個(gè)未知任意函數(shù).利用邊界條件和連續(xù)性條件：7l.o=o（|t_o=o|bnc=0叫+atr+l0=0，Ur+U0liWr2可得任意函數(shù)4,8,.尸和BDF2JP.由于式（51）所得出的任意函數(shù)4,可，W和BDFLH，的表達(dá)式比較復(fù)雜.故本文不再列出.張正林，等：非軸對(duì)稱荷栽下考慮流體流速的飽和土穩(wěn)態(tài)動(dòng)力響應(yīng)實(shí)際上.通過(guò)符號(hào)運(yùn)算軟件Maple不誰(shuí)得出上述任意函數(shù).此外，式（50）和（51）中的兀當(dāng)水平力大小為P的集中力時(shí)E取尸/山當(dāng)水平力合力為P、且是在半徑為R在圓上的均勻分布的沿方向的分布載荷時(shí)，n取絲竺籍，其中A為均布圓形載荷作用面面積，S為Han

17、kel變換參數(shù).圖2半空間飽和土內(nèi)部受簡(jiǎn)諧水平力作用Fig.2Theinsideofsaturatedsoilsubjecttoharmonichorizontalforceinside3數(shù)值解的實(shí)現(xiàn)以上求出的是積分形式的解.做相應(yīng)的Hankel逆變換就能求解出應(yīng)力、應(yīng)變、位移和孔壓等，Han-kel逆變換的公式為=c/（）J,（cr）dc（52）0對(duì)式（52）積分，如果對(duì)于計(jì)算點(diǎn)和力的作用點(diǎn)的垂直距離較大，則積分收斂較快；如果計(jì)算點(diǎn)和力的作用點(diǎn)在同一水平面上或計(jì)算點(diǎn)和力的作用點(diǎn)的垂直距離很近，則積分收斂較慢.因此,采用歐拉變換來(lái)加速積分的收斂.式中的為階第1類貝塞爾函數(shù).設(shè)其零點(diǎn)為&,則式（

18、52）可表示為假定式中的每一項(xiàng)的絕對(duì)值為則式（53）的積分可表示為/（r）=“0以i+（1u,+（55）假設(shè)從每m項(xiàng)開(kāi)始?xì)W拉變換,則式（55）可表示為1=、匕+r1111（一1廣分七一2泰-+百工“*一（56）式中：95】皿=wm+)umS=Ji2j+i+un參考文獻(xiàn)：1BiotMA.Thetheoryofpropagationofelasticwavesinafluid-saturatedporoussolid.J.JAcoustSocAm.1956,28(2),168-191.2PaulS.Onthedisplacementsproducedinporouselastichalf-spac

19、ebyanimpulsivelineload(no-dissipativecase)J.PureApplGeophys.976】14(5)：605-614._3ChenJ.TimedomainfundamentalsolutiontoBiot*scompleteequationofdynamicporoelasticity.PartI:Two-dimensionalsolution.JIntJSolidStruct,1994,31:1447-1490.4 楊俊.吳世明，陳云敏.彈性層和飽和半空間體系穩(wěn)定動(dòng)力響應(yīng)J.土木工程學(xué)報(bào)，1997,30(3)：3947.YANGJun,WUShi-min

20、g.CHENYunmin.Steadystateresponseofelasticsoillayerandsaturatedlayeredhalf-space.J.ChinaCivilEngineeringJournal.1997,30(3):39-47.5 張引科，黃義.禪性飽和多孔介質(zhì)在非對(duì)稱荷載下的穩(wěn)態(tài)動(dòng)力響應(yīng)J.土木工程學(xué)報(bào).2002,35(3):41一45.ZHANGYin-ke,HUANGYi.Steadydynamicresponseofelasticsaturatedporousmediumundernonoatisymmetricalload：J.ChinaCivilEngineeringJournal.2002.35(3):4145.6 陸建E,王建華.沈?yàn)槠?半空間飽和土作用水平力的格林函數(shù)J.地震學(xué)報(bào)，200】，23(2)；185-191.LUJian-fei,WANGJianhua.SHENWei-ping.Thegreensfunctionoftheharmonichorizontalforceappliedtotheinteriorofthesaturatedhalf-space：J.ActaSeismologiesSinica.2001.23(2)：1