高數(shù)中的重要定理與公式及其證明(二)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上高數(shù)中的重要定理與公式及其證明（二）考研數(shù)學中最讓考生頭疼的當屬證明題，而征服證明題的第一關就是教材上種類繁多的定理證明。如果本著嚴謹?shù)膶Υ龜?shù)學的態(tài)度，一切定理的推導過程都是應該掌握的。但考研數(shù)學畢竟不是數(shù)學系的考試，很多時候要求沒有那么高。而有些定理的證明又過于復雜，硬要要求自己掌握的話很多時候可能是又費時又費力，最后還弄得自己一頭霧水。因此，在這方面可以有所取舍。現(xiàn)將高數(shù)中需要掌握證明過程的公式定理總結如下。這些證明過程，或是直接的考點，或是蘊含了重要的解題思想方法，在復習的初期，先掌握這些證明過程是必要的。6）定積分比較定理如果在區(qū)間上恒有，則有推論：如果在區(qū)間

2、上恒有，則有； 設是函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值，則有：【點評】：定積分比較定理在解題時應用比較廣，定積分中值定理也是它的推論。掌握其證明過程，對理解及應用該定理很有幫助。具體的證明過程教材上有。7）定積分中值定理設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則在積分區(qū)間上至少存在一點使得下式成立：【點評】：微積分的兩大中值定理之一，定積分比較定理和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的推論，在證明題中有重要的作用。考研真題中更是有直接用到該定理證明方法的題目，重要性不嚴而喻。具體證明過程見教材。8）變上限積分求導定理如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)在上可導，并且它的導數(shù)是設函數(shù)，則有。【點評】：不說了，考試直接就考過該定理的證明。

3、具體證明過程見教材。9）牛頓-萊布尼茲公式如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則有，其中是的原函數(shù)?！军c評】：微積分中最核心的定理，計算定積分的基礎，變上限積分求導定理的推論。具體證明過程見教材。10）費馬引理：設函數(shù)在點的某領域內(nèi)有定義，并且在處可導，如果對任意的，有，那么【點評】：費馬引理是羅爾定理的基礎，其證明過程中用到了極限的保號性，是很重要的思想方法。具體證明過程見教材。11）羅爾定理：如果函數(shù)滿足（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間上可導（3）在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即 那么在內(nèi)至少存在一點，使得。【點評】：羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理是一脈相承的三大定理；它們從形式上看是由特殊到一般，后面的定理包含前面的定理，但實際上卻是相互蘊含，可以相互推導的。這幾個定理的證明方法也就是與中值有關的證明題主要的證明方法。中值定理的證明是高數(shù)中的難點，一定要多加注意。具體證明過程見教材。12）拉格朗日中值定理：如果函數(shù)滿足（1）在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在開區(qū)間上可導那么在內(nèi)至少存在一點，使得?！军c評】：同上。13）柯西中值定理：如果