高等數(shù)學第五講（4學分）

1、整理課件1第二章第二章 一元函數(shù)微分學一元函數(shù)微分學第一節(jié)第一節(jié)導數(shù)的概念導數(shù)的概念 整理課件2 引例引例1. 求變速直線運動物體的瞬時速度求變速直線運動物體的瞬時速度設描述質(zhì)點位移與時間的函數(shù)為設描述質(zhì)點位移與時間的函數(shù)為)(tfs 0t則則 到到 的平均速度為的平均速度為0tt v)()(0tftf0tt 而在而在 時刻的瞬時速度為時刻的瞬時速度為0t lim0ttv)()(0tftf0tt so)(0tf)(tft1.1導數(shù)的定義導數(shù)的定義整理課件3 xyo2. 求曲線在某點的切線求曲線在某點的切線NT0 xMx割線割線 M N 的斜率的斜率tan)()(0 xfxf0 xx00 )(-

2、)( lim0 xxxfxfkxx切線的斜率)(xfy T整理課件4同類數(shù)學問題同類數(shù)學問題:瞬時速度瞬時速度 lim0ttv)()(0tftf0tt 切線斜率切線斜率 lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx函數(shù)增量函數(shù)增量與與自變量增量自變量增量之比的極限之比的極限 .整理課件5定義定義2.1、函數(shù)在一點處可導、函數(shù)在一點處可導定義定義 . 設函數(shù)設函數(shù))(xfy 在點在點0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在存在,)(xf并稱此極限為并稱此極限為)(xfy 記作記作:;0 xxy; )(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxx

3、xf即即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000則稱函數(shù)則稱函數(shù)若若的某鄰域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義 , 在點0 x處處可導可導, 在點0 x的導數(shù)導數(shù). 整理課件60limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx若上述極限不存在若上述極限不存在 ,在點在點 不可導不可導. 0 x若若,lim0 xyx也稱也稱)(xf在0 x就說函數(shù)就說函數(shù)的導數(shù)為的導數(shù)為無窮大無窮大 .整理課件7在在 時刻的瞬時速度：位移關于時間的導數(shù)。時刻的瞬時速度：位移關于時間的導數(shù)。0t lim0ttv)()(0tft

4、f0tt 曲線在曲線在 M 點處的切線斜率：曲線在點處的切線斜率：曲線在M處的導數(shù)處的導數(shù) lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx )(0tf )(0 xf 引例問題的解：引例問題的解：導數(shù)就是一種特殊類型的極限。導數(shù)就是一種特殊類型的極限。整理課件8例：求函數(shù)例：求函數(shù)y=x2+1在在x=2處的導數(shù)。處的導數(shù)。xxxfxfxfxxfy 4)()12(1)2()2()2()()(22200解：解： 函數(shù)的增量：函數(shù)的增量：xxxxyxx 4)(limlim2004)4(lim0 xx4)2( f整理課件9在點在點0 x的某個的某個右右 鄰域內(nèi)鄰域內(nèi)單側(cè)導數(shù)單側(cè)導數(shù))(xfy 若極限若極限

5、xxfxxfxyxx)()(limlim000000則稱此極限值為則稱此極限值為)(xf在在 處的處的右右 導數(shù)導數(shù),0 x記作記作)(0 xf即即)(0 xfxxfxxfx)()(lim0000(左左)(左左)00( x)00( x)(0 xf例如例如,xxf)(在在 x = 0 處有處有,1)0(f1)0(f定義定義 . 設函數(shù)設函數(shù)有定義有定義,存在存在,整理課件10定理定理. 函數(shù)函數(shù)在點在點0 x)(xfy ,)()(00存在與xfxf且且)(0 xf. )(0 xf)(0 xf 存在存在)(0 xf)(0 xf簡寫為簡寫為可導的可導的充分必要條件充分必要條件是是例例. 證明函數(shù)證明

6、函數(shù)xxf)(在在 x = 0 不可導不可導. 整理課件11處可導在點xxf)(. 函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系定理定理.處連續(xù)在點xxf)(證證: 設)(xfy 在點在點 x 處可導處可導,)(lim0 xfxyx存在存在 , 因此必有因此必有,)(xfxy其中其中0lim0 x故xxxfy)(0 x0所以函數(shù)所以函數(shù))(xfy 在點在點 x 連續(xù)連續(xù) .注意注意: 函數(shù)在點函數(shù)在點 x 連續(xù)未必可導連續(xù)未必可導.反例反例:xy xyoxy 在在 x = 0 處連續(xù)處連續(xù) , 但不可導但不可導.即整理課件12在點在點處右右 導數(shù)存在導數(shù)存在0 x定理定理. 函數(shù)函數(shù))

7、(xf)(xf在點在點0 x必必 右右 連續(xù)連續(xù).(左左)(左左)若函數(shù)若函數(shù))(xf)(af)(bf與都存在都存在 , 則稱則稱)(xf顯然顯然:)(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a , b 上可導上可導,)(baCxf在開區(qū)間在開區(qū)間 內(nèi)可導內(nèi)可導,),(ba在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上可導上可導.,ba且整理課件13若函數(shù)在開區(qū)間若函數(shù)在開區(qū)間 I 內(nèi)每點都可導內(nèi)每點都可導,此時導數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為此時導數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導函數(shù)導函數(shù).記作記作:;y; )(xf ;ddxy.d)(dxxf就稱函數(shù)就稱函數(shù)在在 I 內(nèi)可導內(nèi)可導. 二、函數(shù)在區(qū)間上的導數(shù)二、函數(shù)在區(qū)間上的導數(shù)整理課件14例例. 求函數(shù)

8、求函數(shù)Cxf)(C 為常數(shù)為常數(shù)) 的導數(shù)的導數(shù). 例例. 求函數(shù)求函數(shù)的的導導數(shù)數(shù)。)N()( nxxfn基本初等函數(shù)的導數(shù)基本初等函數(shù)的導數(shù)整理課件15說明：說明：對一般冪函數(shù)對一般冪函數(shù)xy ( 為常數(shù)) 1)(xx例如，例如，)(x)(21 x2121xx21x1)(1x11x21xxaxxax1ln1)(ln,)(log證明：證明：整理課件16hxhxhsin)sin(lim0例例. 求函數(shù)求函數(shù)xxfsin)(的導數(shù)的導數(shù). 解解:,xh令則則)(xf hxfhxf)()(0limh0limh)2cos(2hx 2sinh)2cos(lim0hxh22sinhhxcos即即xxco

9、s)(sin類似可證得類似可證得xxsin)(cosh整理課件17第二節(jié)第二節(jié)導數(shù)的法則與基本公式導數(shù)的法則與基本公式 第二章 整理課件18一、四則運算求導法則一、四則運算求導法則 具有導數(shù)都在及函數(shù)xxvvxuu)()()()(xvxu及的和的和、 差、差、 積、積、 商商 (除分母除分母為為 0的點外的點外) 都在點都在點 x 可導可導,且且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv整理課件19此法則可推廣到任意有限項的情形此法則可推廣到任意有限項的情形.證

10、證: 設, 則vuvu )() 1 ()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh )()( )()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxu故結(jié)論成立故結(jié)論成立.wvuwvu)( ,例如例如,整理課件20(2)vuvuvu )(證證: 設, )()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故結(jié)論成立故結(jié)論成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv推論推論: )(uCuC ( C為

11、常數(shù)為常數(shù) )整理課件21)()( lim0 xvhxvh(3)2vvuvuvu證證: 設設)(xf則有則有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )( )(xu)(xvhhxv )( )(xu)(xv故結(jié)論成立故結(jié)論成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu推論推論:2vvCvC( C為常數(shù)為常數(shù) )整理課件22求此函數(shù)的導數(shù),ln)(sinxxy 例例. 例例. 求證求證,sec)(tan2xx.cotcsc)(cscxxx,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx整理課件23 )( xf二、反函

12、數(shù)的求導法則二、反函數(shù)的求導法則 定理定理. 可導可導, ,)()(1的反函數(shù)為設yfxxfy)(1yf0 )(1yf且1 )(1yf整理課件241例例. 求反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導數(shù)求反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導數(shù).解解: 1) 設,arcsin xy 則,sin yx , )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x0cosy, 則整理課件25 )(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xaaaxxln)(xxe)e(整理課件26三、基本初等函數(shù)的求導公式三、基本初等函數(shù)的求導公式 1. 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù) (P7) )(

13、C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctanx211x )cot(arcx211x整理課件27在點在點 x 可導可導,復合函數(shù)求導法則復合函數(shù)求導法則定理定理2.4.)(xgu )(ufy 在點在點)(xgu 可導可導復合函數(shù)復合函數(shù) fy )(xg且且)()(ddxgufxy在點在點 x 可導可導,整理課件28

14、xyeyxyxcos1,5sin1 求下列函數(shù)的導數(shù)求下列函數(shù)的導數(shù)整理課件29例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufuyddvuddxvdd推廣推廣：此法則可推廣到多個中間變量的情形此法則可推廣到多個中間變量的情形.整理課件30例例. 設, )cos(lnxey 求.ddxy例例. 設, )1(ln2xxy.y求關鍵關鍵: 搞清復合函數(shù)結(jié)構(gòu)搞清復合函數(shù)結(jié)構(gòu), 由外向內(nèi)逐層求導由外向內(nèi)逐層求導.整理課件31求下列函數(shù)的導數(shù)求下列函數(shù)的導數(shù)2233sinsinarctan)(ln),2sin(xxyeyxyyxx整理課件3231xy4、隱函數(shù)的導數(shù)、隱函數(shù)的導數(shù)若由

15、方程若由方程0),(yxF可確定可確定 y 是是 x 的函數(shù)的函數(shù) ,由)(xfy 表示的函數(shù)表示的函數(shù) , 稱為稱為顯函數(shù)顯函數(shù) .例如例如,013 yx可確定顯函數(shù)可確定顯函數(shù)03275xxyy可確定可確定 y 是是 x 的函數(shù)的函數(shù) ,函數(shù)為函數(shù)為隱函數(shù)隱函數(shù) .則稱此則稱此（1）隱函數(shù)與顯函數(shù)的概念。隱函數(shù)與顯函數(shù)的概念。整理課件33（2）隱函數(shù)隱函數(shù)求導求導 0),(yxF0),(ddyxFx兩邊對兩邊對 x 求導求導(解含導數(shù)解含導數(shù) 的方程的方程)y整理課件34例例. 求由方程求由方程03275xxyy)(xyy 的導數(shù)，并求在的導數(shù)，并求在 x = 0處的導數(shù)值。處的導數(shù)值。解

16、解: 方程兩邊對方程兩邊對 x 求導求導)32(dd75xxyyx得得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因因 x = 0 時時 y = 0 , 故故210dd xxy0確定的隱函數(shù)確定的隱函數(shù)整理課件35求由方程求由方程0sin21yxy確定的函數(shù)確定的函數(shù)y=y(x)的導數(shù)。的導數(shù)。整理課件36法法1、用取對數(shù)求導法求、用取對數(shù)求導法求 :uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyv5、冪指函數(shù)冪指函數(shù) 導數(shù)的求法。導數(shù)的求法。)()(xvxuy 法法2、直接變形法求導、直接變形法求導)()(ln)()(xuxvxvexuy)(ln)()()(ln

17、)()()(ln)(xuxvxuxuxvexvxuxv整理課件37的導數(shù)。例：求函數(shù)xxy)1 ( 課堂練習：求下列函數(shù)的導數(shù)課堂練習：求下列函數(shù)的導數(shù)), 0(,sin0232)(cos3xxyaxyyx整理課件38例例,)1,0,0(babaaxxbbaybax兩邊取對數(shù)兩邊取對數(shù)yln兩邊對兩邊對 x 求導求導yybalnxaxb baxaxxbbaybalnxaxbbaxlnlnlnxbalnlnaxb可用于取對數(shù)求導法的情況：可用于取對數(shù)求導法的情況：整理課件39定義定義.若函數(shù)若函數(shù))(xfy 的導數(shù)的導數(shù))(xfy可導可導, ,或或,dd22xy即即)( yy或或)dd(dddd

18、22xyxxy類似地類似地 , 二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù)二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù) ,1n階導數(shù)的導數(shù)稱為階導數(shù)的導數(shù)稱為 n 階導數(shù)階導數(shù) ,y ,)4(y)(,ny或或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的二階導數(shù)二階導數(shù) , 記作記作y )(xf 的導數(shù)為的導數(shù)為依次類推依次類推 ,分別記作分別記作則稱則稱2.3、高階導數(shù)、高階導數(shù)整理課件40的三階導數(shù)的三階導數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xexy2例： xyxxyxcos2arctan)1 (2：求下列函數(shù)的二階導數(shù)課堂練習：課堂練習：整理課件41第三節(jié)第三節(jié)微分微分 第二章 整理課件42一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: 一塊

19、正方形金屬薄片受溫度變化的影響一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少問此薄片面積改變了多少? 0 xx20 xA xx 02)( x0 x變到變到,0 xx邊長由邊長由其其2020)(xxxA 20)(2xxx主要部分主要部分高階無窮小高階無窮小0 x時為整理課件43故xxA02稱為函數(shù)在稱為函數(shù)在 的微分的微分0 x整理課件44的的微分微分,定義定義: 若函數(shù)若函數(shù))(xfy 在點在點 的增量可表示為的增量可表示為0 x)()(00 xfxxfy( A 為不依賴于為不依賴于x 的常數(shù)的常數(shù))則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xfy 而而 稱為稱為xA在)(xf0 x點記作記作yd,df

20、或即即xAyd)( xoxA在點在點0 x可微可微,微分就是函數(shù)增量的線性主部微分就是函數(shù)增量的線性主部整理課件45定理 :)(xfy 在點在點 可微的可微的充要條件充要條件是是0 x)(xfy 在點在點 處可導處可導,0 x且且, )(0 xfA即即xxfy)(d0整理課件46求函數(shù)求函數(shù)y=x在任意一點處的微分在任意一點處的微分)(xddy xxfxxfyd)()(d xxx )(從而從而)(ddxfxy導數(shù)也叫作導數(shù)也叫作微商微商xdx整理課件47微分的幾何意義微分的幾何意義xx0 xyo)(xfy 0 xyyd切線縱坐標的增量切線縱坐標的增量整理課件48例如例如,3xy yd02. 0d2xx23xxd