必修五不等式與不等關(guān)系

1、不等關(guān)系與不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解不等式的性質(zhì)（重點(diǎn)）.2.能用不等式（組）表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系（難點(diǎn)）.自主預(yù)習(xí)探新知1 .不等符號(hào)與不等關(guān)系的表示：（1）不等符號(hào)有;（2）不等關(guān)系用 來表小.2 .不等式中的文字語言與符號(hào)語言之間的轉(zhuǎn)換大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于思考：不等式ab和a& b有怎樣的含義?3 .比較兩實(shí)數(shù)a, b大小的依據(jù)如果那么 如果a<a那么 如果二6=0,那與結(jié)論;確定任意兩個(gè)實(shí)數(shù)如6的尢小關(guān)系.只需確定 的無爾森4.不等式的性質(zhì)名稱式子表達(dá)性質(zhì)i（對(duì)稱性）a>b? b<a性質(zhì)2（傳遞性）a>b, b>c? a>

2、;c性質(zhì)3（可加性）a>b? a+c>b+c推論a+b>c? a>cb性質(zhì)4（可乘性）a>b, c>0? ac>bca>b, c<0? ac<bc性質(zhì)5（不等式同向可加性）a>b, c>d? a+ c>b+d性質(zhì)6(不等式同向正數(shù)口乘性)a>b>0, c>d>0? ac>bd性質(zhì)7(乘力性)a>b>0? an>bn(n N, n> 1)性質(zhì)8(開方性)a>b>0? na>nb(n N, n>2)思考：關(guān)于不等式的性質(zhì)，下列結(jié)論中正確的有哪些

3、？(1)a>b 且 c>d 則 a c>b d.(2)a>b 貝U ac>bc.(3)a>b>0 且 c>d>0 貝4>b.(4)a>b>0 貝U an>bn.c d(5)a>b貝氏烹提示對(duì)于不等式的性質(zhì)，有可加性但沒有作差與作商的性質(zhì)，(1)中例如5>3且4>1時(shí)，則5-4>3-1是錯(cuò)的，故 錯(cuò).5 3 一(2)中當(dāng)c< 0時(shí)，不成立.(3)中例如5>3且4>1,則5>3是錯(cuò)的，故(3)錯(cuò).(4)中對(duì)n00均不成立，例如a = 3, b = 2, n=1,則3T>

4、;2- .此類問題的難點(diǎn)是如何正確地找出題中的顯性不等關(guān)系和隱性不等 關(guān)系.2.當(dāng)問題中同時(shí)滿足幾個(gè)不等關(guān)系，則應(yīng)用不等式組來表示它們之間 的不等關(guān)系，另外若問題有幾個(gè)變量，選用幾個(gè)字母分別表示這些變量 即可.3.用不等式(組)表示不等關(guān)系的步驟：(1)審清題意，明確表示不等關(guān)系的關(guān)鍵詞語：至多、至少、不多于、顯然錯(cuò)，故(4)錯(cuò).(5)因?yàn)?>0,所以a kb馬，故(5)正確.因此正確的結(jié)論有(5). c ， c c基礎(chǔ)自測1 .思考辨析(1)不等式x>2的含義是指x不小于2.()若a<b或a= b之中有一個(gè)正確，則 a< b正確.()若 a>b,則 ac>

5、bc一定成立.()(4)若 a+c>b+d,則 a>b, c>d.()提示：(1)正確.不等式x>2表示乂>2或乂= 2,即x不小于2.(2)正確.不等式a& b表示a<b或a= b.故若a<b或a= b中有一個(gè)正確，則a&b 一定正確.錯(cuò)誤.由不等式的可乘性知，當(dāng)不等式兩端同乘以一個(gè)正數(shù)時(shí)，不等號(hào)方向 不變，因此若a>b,則ac>bc不一定成立.(4)錯(cuò)誤.取 a = 4, c=5, b = 6, d = 2.滿足 a+c>b+d,但不滿足 a>b.2 .大橋頭豎立的“限重40噸”的警示牌，是指示司機(jī)要安全通過

6、該橋，應(yīng)使車貨總重量T不超過40噸，用不等式表示為()AT<40B. T>40C. T<40D. T>40C 限重就是不超過，可以直接建立不等式 T<40.3 .已知 a>b, c>d,且 cdw0,貝U()A ad>bc B. ac>bc C. a c>b dD. a+c>b+dD a, b, c, d的符號(hào)未確定，排除A、B兩項(xiàng)；同向不等式相減，結(jié)果 未必是同向不等式，排除C項(xiàng)，故選D項(xiàng).4 .設(shè) m=2a2 + 2a+1, n=(a+1)2,則 m, n 的大小關(guān)系是.m> n mn = 2a2 + 2a+1 (a+

7、1)2= a2>0.例題賞析題型一、用不等式表示不等關(guān)系例1、用一段長為30 m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長 18 m,要求 菜園的面積不小于110 m2,靠墻的一邊長為x m.試用不等式表示其中的 不等關(guān)系.解由于矩形菜園靠墻的一邊長為x m,而墻長為18 m,所以0<x&18,30 xx這時(shí)菜園的另一條邊長為302- = 15x(m).xx因此菜園面積S= x 15-x ,依題意有S> 110,即x 15-2 >110,故該題中的不等關(guān)系可用不等式表示為x _0<x< 18,x 15-2 >110. 規(guī)律方法 1不少于等.適當(dāng)?shù)脑O(shè)

8、未知數(shù)表示變量.（3）用不等號(hào)表示關(guān)鍵詞語，并連接變量得不等式跟蹤訓(xùn)練1.某礦山車隊(duì)有4輛載重為10 t的甲型卡車和7輛載重為6 t的乙型卡車，有9名駕駛員.此車隊(duì)每天至少要運(yùn) 360 t礦石至冶煉廠.已知甲型卡車每輛每天可往返6次，乙型卡車每輛每天可往返8次，寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不解設(shè)每天派出甲型卡車x輛，乙型卡車y輛，則x+y<9, 5x+ 4y>30, 0<x<4, xC N, 0<y<7, y C N.x+y<9, 10X6x+6X8y>360, 0<x<4, xC N, 0<y<7, y N ,題型二、比較

9、兩數(shù)(式)的大小例2、已知a, b為正實(shí)數(shù)，試比較a b 一 一6十 丁與« +般的大小.思路探究：注意結(jié)構(gòu)特征，嘗試用作差法或者作商法比較大小.解法（作差法）關(guān)+耒-他 + Vb上關(guān)-加+關(guān)-余 弋+ /ab g vbyg（b2 yJab,ab. a, b為正實(shí)數(shù),.,依 + 缶>0, Vab>0, (VaVb)2>0,a一如2 ya+也ab>0,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立.左+j/a+yb（當(dāng)且僅當(dāng)a= b時(shí)取等號(hào)）.法二：（作商法）m+木_也3+也3 _+也 a+ b/ab aabb >/ab+ 機(jī)>/ab/a+fba+ b/abg一而 2+j

10、qbab；ab=1+麗裝匠1,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).；ab- b a,g+4b>0，；赤+詬?ja+jb（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等方）.規(guī)律方法1 .作差法比較兩個(gè)數(shù)大小的步驟及變形方法：作差法比較的步驟：作差 一變形一定號(hào)一結(jié)論.（2）變形的方法：因式分解；配方；通分；對(duì)數(shù)與指數(shù)的運(yùn)算 性質(zhì)；分母或分子有理化；分類討論.2 .如果兩實(shí)數(shù)同號(hào)，亦可采用作商法來比較大小，即作商后看商是大 于1,等于1,還是小于1.跟蹤訓(xùn)練2 .已知x<1,比較x3 1與2x22x的大小.解(x3-1)-(2x2-2x) = (x-1)(x2 + x+1)-2x(x-1)= (X1)(X2x+ D=(X

11、D x-1 +3.24iy1 2 3因?yàn)?x<1,所以 x 1<o.又 x2 +4>o,所以(x1) x_2 +4<0.所以 x31<2x22x.題型三、不等式性質(zhì)的應(yīng)用探究問題1 .小明同學(xué)做題時(shí)進(jìn)行如下變形：1 1 12<b<3, ；3<b<2，又 6<a<8, 2<7<4.b你認(rèn)為正確嗎？為什么?提示：不正確.因?yàn)椴坏仁絻蛇呁艘砸粋€(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變，但同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變，在本題中只知道一6<a<8.不明確a值的 一 一一，一，1 1 1,正負(fù).故不目匕將3Vb<2與6<

12、;a<8兩邊分別相乘，只有兩邊都走正數(shù)的 同向不等式才能分別相乘.2,由6<a<8, -4<b<2,兩邊分別相減得2<ab<6,你認(rèn)為正確嗎？提示：不正確.因?yàn)橥虿坏仁骄哂锌杉有耘c可乘性.但不能相減或相除，解題時(shí)要充分利用條件，運(yùn)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行等價(jià)變形，而不可隨意“創(chuàng) 造”性質(zhì).3 .你知道下面的推理、變形錯(cuò)在哪兒嗎? 2<a b<4, 4<b a< 2.又. 2<a+b<2, a 0<a<3, -3<b<0,一3<a + b<3.這怎么與一2<a+b<2矛盾了呢

13、?提示：利用幾個(gè)不等式的范圍來確定某不等式的范圍要注意：同向不等式兩邊可以相加（相乘），這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形.本題中將 2<ab<4與2<a + b<2兩邊相加得0<a<3,又將4<ba< 2與2<a+b<4兩邊相加得出一3<b<2,又將該式與0<a<3兩邊相加得出一3<a+b<3,多次使用 了這種轉(zhuǎn)化，導(dǎo)致了 a+ b范圍的擴(kuò)大.a b例 3、已知 oa>b>0,求證：>cZb.思路探究：如何證明a<c?由c<b怎樣得到ca c b<"V?解c>

14、a>b>0,ca>0, cb>0.由 a>b>0? 1<1 c>0 ? cvc, a b a bb>0 ?二>ccavcy-b c- a>0 c-b>0 a>0 a b探究：1.(變條件，變結(jié)論)將例題中的條件c>a>b>0” 變?yōu)?“a>b>0, c<0” 證明：然a b1證明因?yàn)閍>b>0,所以ab>0, ab>0.1,111c c于zeaXab>bXab，即b>a.由 c<°，得不6 2.(變條件，變結(jié)論)將例題中的條件“

15、c>a>b>0”變?yōu)椤耙阎?<a<8,2<b<3"a.如何求出2a+b, a-b及弓的取值氾圍.解 因?yàn)?<a<8,2<b<3,所以12<2a<16,1 1 1所以10<2a+ b<19.又因?yàn)?<b< 2,所以9<ab<6.又3<b<2,、1,r 1a(1)當(dāng) 00a<8 時(shí)，0&b<4;當(dāng)6<a<0 時(shí)，3<b<0.由(1)(2)得一3<a<4.規(guī)律方法1. .利用不等式的性質(zhì)證明不等式注意事項(xiàng)(1

16、)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式.解決此類問題一 定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用.應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條 件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則.2. 利用不等式性質(zhì)求代數(shù)式的范圍要注意的問題恰當(dāng)設(shè)計(jì)解題步驟，合理利用不等式的性質(zhì).運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)要切實(shí)注意不等式性質(zhì)的前提條件，切不可用似乎是很顯然的理由，代替不等式的性質(zhì)，如由a>b及c>d,推不出ac>bd；由 a>b,推不出 a2>b2等.準(zhǔn)確使用不等式的性質(zhì)，不能出現(xiàn)同向不等式相減、相除的錯(cuò)誤.當(dāng)堂

17、達(dá)標(biāo)周雙基3. (2019年海淀區(qū)模擬)某校對(duì)高一美術(shù)生劃定錄取分?jǐn)?shù)線，專業(yè)成績x不低于95分，文化課總分y高于380分，體育成績z超過45分，用不等式組表 示為.【答案】x>95 y>380 z>45“不低于”即匕”，“高于”即“>”，”超過”即“>"，所以x> 95,y>380,z>45.4. (2019年廈門模擬)若1<1<0,則下列不等式：a+ b<ab;|a|>|b|; a ba<b中，正確的不等式有 個(gè).【答案】1 由:<<0,得a<0, b<0,故a+ b<0且ab>0,所以a+ b<ab, a b即正確；由1<1<0,得1 > 1 ，兩邊同乘|ab|,得|b|>|a|,故錯(cuò)誤；由知 a b a b|b|>|a|, a<0, b<0,那么 a>b,故錯(cuò)誤.5. (2019年嘉興期中)已知a, b均為實(shí)數(shù)，則(a+3)(a 5)® + 2)(a _4)(填“>” “<”或一).【答案】 < 因?yàn)?a + 3)(a 5) (a + 2)(a 4) = (a2 2a 15) (a2 -2a- 8) =7<0,所以(a+3