第2章隨機(jī)變量及其分布

1、第第2章章 隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布 在第一章里，我們研究了隨機(jī)事件及其概率，建立了概率論中的一些基本概念，通過隨機(jī)事件的概率計(jì)算使我們初步了解了如何定量描述和研究隨機(jī)現(xiàn)象及其統(tǒng)計(jì)規(guī)律的基本方法然而實(shí)際中由一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)導(dǎo)出的隨機(jī)事件是多種多樣的，因此，想通過隨機(jī)事件概率的計(jì)算來達(dá)到了解隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性顯得很不方便 本章，我們將引進(jìn)概率論中的一個(gè)重要概念隨機(jī)變量隨機(jī)變量的引進(jìn)是概率論發(fā)展史上的 重大事件，它使概率論的研究從隨機(jī)事件轉(zhuǎn)變?yōu)殡S機(jī)變量，使隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，這有利于我們用分析的方法來研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律 本章我們將介紹隨機(jī)變量的概念、隨機(jī)變量的分布及一些常見的典型分布，給出

2、分布函數(shù)的概念及計(jì)算，最后給出隨機(jī)變量函數(shù)的分布教學(xué)要求：教學(xué)要求： 理解并掌握隨機(jī)變量的概念理解并掌握隨機(jī)變量的概念;隨機(jī)事件可以采取數(shù)量的標(biāo)識(shí)。如：隨機(jī)事件可以采取數(shù)量的標(biāo)識(shí)。如：抽樣檢查產(chǎn)品時(shí)廢品的個(gè)數(shù)。抽樣檢查產(chǎn)品時(shí)廢品的個(gè)數(shù)。擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。對(duì)沒有數(shù)量標(biāo)識(shí)的事件，可以人為加上數(shù)量標(biāo)志。對(duì)沒有數(shù)量標(biāo)識(shí)的事件，可以人為加上數(shù)量標(biāo)志。產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品記為產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品記為1，次品記為，次品記為2，廢品記為，廢品記為3。天氣下雨記為天氣下雨記為1，不下雨記為，不下雨記為0。 一、 隨機(jī)變量的概念 隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果本身有兩種表達(dá)形式：一種是數(shù)值型，一種是描述型為了全面地研究隨機(jī)試驗(yàn)

3、的結(jié)果，揭示客觀存在著的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，我們將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，引入隨機(jī)變量的概念. 實(shí)際中試驗(yàn)的結(jié)果不管是哪種形式，我們總可以設(shè)法使其結(jié)果與唯一的實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來，將它轉(zhuǎn)化為數(shù)值型這樣，不管隨機(jī)試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果是否為數(shù)值型，我們總可以在試驗(yàn)的樣本空間上定義一個(gè)函數(shù)，使試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果都與唯一的實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來Ex1 (1) 擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).)6(,),2(),1(621點(diǎn)點(diǎn)出現(xiàn)出現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)出現(xiàn)出現(xiàn)點(diǎn)點(diǎn)出現(xiàn)出現(xiàn)eeeS 引入引入: 654321 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1)(eeeeeeeeeeeeeXX,33來表示來表示可用可用點(diǎn)點(diǎn)出現(xiàn)出現(xiàn)且事

4、件且事件 X.44來表示來表示可用可用出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)不大于出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)不大于事件事件 X（3 3）某燈泡廠所產(chǎn)的一批燈泡中燈泡的壽命）某燈泡廠所產(chǎn)的一批燈泡中燈泡的壽命X X。X X 的可能取值為的可能取值為 0,+ 0,+ ) )（2 2）某電話總機(jī)在一分鐘內(nèi)收到的呼叫次數(shù)）某電話總機(jī)在一分鐘內(nèi)收到的呼叫次數(shù)X.X.X X 的可能取值為的可能取值為 0 0，1 1，2 2，.（4 4）在）在00，11區(qū)間上隨機(jī)取點(diǎn)，該點(diǎn)的坐標(biāo)區(qū)間上隨機(jī)取點(diǎn)，該點(diǎn)的坐標(biāo)X.X.X X 的可能取值為的可能取值為 0 0，11上的全體實(shí)數(shù)。上的全體實(shí)數(shù)。2. 定義定義 .)(,)(,上的隨機(jī)變量上的隨機(jī)變量叫做樣本空間叫做

5、樣本空間則將單值實(shí)函數(shù)則將單值實(shí)函數(shù)與之對(duì)應(yīng)與之對(duì)應(yīng)有一個(gè)實(shí)數(shù)有一個(gè)實(shí)數(shù)如果對(duì)于每一個(gè)如果對(duì)于每一個(gè)的樣本空間為的樣本空間為設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)SeXXeXSeSE .X記為記為3. 注意注意 (1)實(shí)質(zhì)上，隨機(jī)變量就是把樣本空間進(jìn)行了量化實(shí)質(zhì)上，隨機(jī)變量就是把樣本空間進(jìn)行了量化. . ,)2(來表示來表示母母隨機(jī)變量通常用大寫字隨機(jī)變量通常用大寫字ZYX.,表示它們可能取的值表示它們可能取的值用小寫字母用小寫字母zyx(3)隨機(jī)變量為一個(gè)實(shí)值函數(shù)，定義域?yàn)闃颖究臻g隨機(jī)變量為一個(gè)實(shí)值函數(shù)，定義域?yàn)闃颖究臻g. . ;)(是單值函數(shù)是單值函數(shù)eXX 自變量自變量e取哪一點(diǎn)具有隨機(jī)性，由于隨機(jī)變量取

6、值取哪一點(diǎn)具有隨機(jī)性，由于隨機(jī)變量取值有一定的概率，對(duì)于取某一點(diǎn)又有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性；有一定的概率，對(duì)于取某一點(diǎn)又有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性； .)(法則法則一般是人為規(guī)定的對(duì)應(yīng)一般是人為規(guī)定的對(duì)應(yīng)eXX (5)有了隨機(jī)變量，隨機(jī)事件都可用隨機(jī)變量來表示有了隨機(jī)變量，隨機(jī)事件都可用隨機(jī)變量來表示. .,:等等比如比如xXxX (4)(6)隨機(jī)變量的分類隨機(jī)變量的分類: : 離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量所取的一切可能值為有限多個(gè)或可列個(gè)隨機(jī)變量所取的一切可能值為有限多個(gè)或可列個(gè). . 如如ex1中（中（1）、（）、（2）連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量：隨機(jī)變量所取的一切可能值可以充滿某個(gè)空間隨機(jī)變量所取的一

7、切可能值可以充滿某個(gè)空間. .如如ex1中中（3 3）、（）、（4 4） 其他類型隨機(jī)變量其他類型隨機(jī)變量. . 教學(xué)要求：教學(xué)要求：1. 理解離散型隨機(jī)變量的分布律及性質(zhì)理解離散型隨機(jī)變量的分布律及性質(zhì); 2. 掌握幾個(gè)常用的離散型分布掌握幾個(gè)常用的離散型分布; 3. 會(huì)應(yīng)用概率分布計(jì)算有關(guān)事件的概率會(huì)應(yīng)用概率分布計(jì)算有關(guān)事件的概率; 一、離散型隨機(jī)變量的概率分布一、離散型隨機(jī)變量的概率分布 定義定義 設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為的所有可能取值為 ), 2 , 1( kxk相應(yīng)的概率為相應(yīng)的概率為, 2 , 1 , kpxXPkk稱上式為隨機(jī)變量稱上式為隨機(jī)變量X的概率

8、分布的概率分布或或分布律分布律. . 注意注意 1.概率分布可用表格表示為概率分布可用表格表示為: : Xkp1x2xnx1p2pnp2.概率分布滿足兩個(gè)條件概率分布滿足兩個(gè)條件: : );, 2 , 1( , 10)1( kpk. 1)2(1 kkp以上兩式即為概率分布的性質(zhì)以上兩式即為概率分布的性質(zhì). . ex1. 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為的分布律為 X02 .2P X求P414121Solution. .412 XPXPex2.將將 1 枚硬幣擲枚硬幣擲 3 次，令次，令X -3 -1 1 3 kP X：出現(xiàn)的正面次數(shù)與反面次數(shù)之差：出現(xiàn)的正面次數(shù)與反面次數(shù)之差試求：試求： （1

9、）X 的分布律；的分布律；解：解： X 的可能取值為的可能取值為81838381-3， - 1，1，3并且分布率為并且分布率為 .35 .0)2( XP 1 XP.83 35 . 0XPex3. 從一裝有從一裝有4個(gè)紅球，個(gè)紅球，2個(gè)白球的口袋中，按以下兩個(gè)白球的口袋中，按以下兩 種方式取出種方式取出5個(gè)球：個(gè)球：(1) 每取一個(gè)，記下顏色后放回，再取下一個(gè)；每取一個(gè)，記下顏色后放回，再取下一個(gè)；(2) 取后不放回；取后不放回； 求取出球中紅球個(gè)數(shù)求取出球中紅球個(gè)數(shù)X的分布律的分布律.Solution. X012345P556254115624C53225624C52335624C544562

10、4C5564X34P562234CCC561244CCC練習(xí)：一練習(xí)：一袋中有袋中有5 5個(gè)乒乓球，編號(hào)分別為個(gè)乒乓球，編號(hào)分別為1 1，2 2，3 3，4 4，5 5，從中隨機(jī)抽取，從中隨機(jī)抽取3 3個(gè)，以個(gè)，以X X表示取出的表示取出的3 3個(gè)球中最大個(gè)球中最大的號(hào)碼，求的號(hào)碼，求X X的的分布律分布律3511310P XC233513410CP XC243516510CP XCex4.設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布律為的分布律為 ， 2141 ncnXPn試試求求常常數(shù)數(shù) c解：解：由分布率的性質(zhì)，得由分布率的性質(zhì)，得 11411nnncnXP該級(jí)數(shù)為等比級(jí)數(shù)，故有該級(jí)數(shù)為等比級(jí)數(shù)，故

11、有 1411nnc341141cc 所以所以3 c練習(xí)：練習(xí)： 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為的分布律為,1,2,aP XkkNN試確定常數(shù)試確定常數(shù)a. .11NNkkaP XkN1a 1aNN二、幾個(gè)常用的離散型分布二、幾個(gè)常用的離散型分布 1. 0-1-1分布分布 or or 兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X只能取兩個(gè)值只能取兩個(gè)值, 它的分布律是它的分布律是Xkp01qp,1pq 則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為p的的0-1分布或兩點(diǎn)分布分布或兩點(diǎn)分布,)., 1(pBX記為記為2. 伯努利試驗(yàn)與伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 伯努利試驗(yàn)的定義伯努利試驗(yàn)的定義: 在一固定不變的條件

12、下做一種試驗(yàn)（在一固定不變的條件下做一種試驗(yàn)（n次）次） ;:)1(AA與與有兩個(gè)有兩個(gè)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果只每次試驗(yàn)的可能結(jié)果只; 1,)(,)()2( qpqAPpAP(3)各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響, ,即相互獨(dú)立即相互獨(dú)立. . 這樣一串試驗(yàn)稱為這樣一串試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn)重伯努利試驗(yàn). . 當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)時(shí), ,稱為兩點(diǎn)分布稱為兩點(diǎn)分布. . 在在n重貝努利試驗(yàn)中重貝努利試驗(yàn)中A出現(xiàn)出現(xiàn)k次的概率公式次的概率公式 .1,)( ,pqpAPqpCkXPknkkn 其中其中Proof. 根據(jù)獨(dú)立事件概率的乘法定理，在根據(jù)獨(dú)立事件概率的乘法定理，在n次試驗(yàn)中，次試驗(yàn)中，事件

13、事件A在指定的在指定的k次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生，而在其余的次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生，而在其余的n-k次試驗(yàn)中不發(fā)生的概率為次試驗(yàn)中不發(fā)生的概率為 ,knkqp 而事件而事件A在在n次試驗(yàn)中發(fā)生次試驗(yàn)中發(fā)生k次，而不限定哪次，而不限定哪k次，所次，所以應(yīng)有以應(yīng)有 ,種種不不同同方方式式knC由此有由此有 .1 ,pqqpCkXPknkkn 注意到注意到: k的取值為的取值為0，1，2,n，于是，于是 )()1()0()(0nPPPkPnnnnkn . 1)( nqp二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分布律是的分布律是)., 2 , 1 , 0( ,1 ,nkpqqpCkXPknkkn 則稱則稱X服從參數(shù)為服從參

14、數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布的二項(xiàng)分布,).,(pnBX記為記為3. 泊松分布泊松分布(Poisson)分布分布 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分布律是的分布律是)., 2 , 1 , 0( , 0 ,! kekkXPk 則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布的泊松分布, ).( X記為記為4. 幾何分布幾何分布 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分布律是的分布律是)., 2 , 1( ,)1(1 kppkXPk則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為p的幾何分布的幾何分布, ).(pGX記為記為注意注意: 1. 兩點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布的特殊情況，二項(xiàng)分布是兩點(diǎn)兩點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布的特殊情況，二項(xiàng)分布是兩點(diǎn) 分布的推廣分布的推廣

15、. 2. 泊松分布是概率論中最重要的分布之一。在實(shí)際泊松分布是概率論中最重要的分布之一。在實(shí)際應(yīng)用泊松分布主要用來描述大量重復(fù)試驗(yàn)中稀有事應(yīng)用泊松分布主要用來描述大量重復(fù)試驗(yàn)中稀有事件（即概率較小的事件）出現(xiàn)的次數(shù)。如某時(shí)間段件（即概率較小的事件）出現(xiàn)的次數(shù)。如某時(shí)間段中來到公用設(shè)施前要求提供服務(wù)的人數(shù)、某時(shí)間段中來到公用設(shè)施前要求提供服務(wù)的人數(shù)、某時(shí)間段內(nèi)系統(tǒng)發(fā)生故障的次數(shù)、商店里每天賣出的貴重商內(nèi)系統(tǒng)發(fā)生故障的次數(shù)、商店里每天賣出的貴重商品的件數(shù)、書籍中出現(xiàn)的印刷錯(cuò)誤個(gè)數(shù)等。此外，品的件數(shù)、書籍中出現(xiàn)的印刷錯(cuò)誤個(gè)數(shù)等。此外，在管理科學(xué)中，泊松分布也具有十分重要的地位。在管理科學(xué)中，泊松分布

16、也具有十分重要的地位。 泊松分布的概率計(jì)算問題可通過查泊松分布表泊松分布的概率計(jì)算問題可通過查泊松分布表（見附表（見附表2）完成。）完成。泊松定理泊松定理 設(shè)設(shè) 0是一常數(shù)，是一常數(shù)，n是任意整數(shù)，設(shè)是任意整數(shù)，設(shè)npn=，則，則對(duì)任意一固定的非負(fù)整數(shù)對(duì)任意一固定的非負(fù)整數(shù)k，有，有 ekppCkknnknknn!1limknknnkknnn 1!)1()1(時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)對(duì)對(duì)于于固固定定的的 nk證明證明knknnnknnk 111121111!11111121n111 knnennkn 有有由由npn knnknknppC 1定理的條件定理的條件npn=，意味著，意味著n很大時(shí)候很大時(shí)候pn必

17、定很小。必定很小。因此當(dāng)因此當(dāng)n很大，很大，p很小時(shí)有近似公式很小時(shí)有近似公式 ekppCkknkkn!1其中其中=np。 ekk!在實(shí)際計(jì)算中，當(dāng)在實(shí)際計(jì)算中，當(dāng) 時(shí)用時(shí)用 （=np）作為作為 的近似值效果很好。的近似值效果很好。而當(dāng)而當(dāng) 時(shí)效果更佳。時(shí)效果更佳。 05. 020n p， knnknknppC 110np100n ， ekk!的值有表可查。的值有表可查。 ekppCkknnknknn!1lim從而從而ex5. 一張考卷上有一張考卷上有5道選擇題，每道題列出道選擇題，每道題列出4個(gè)可能個(gè)可能答案，其中只有一個(gè)答案是正確的某學(xué)生靠猜測(cè)答案，其中只有一個(gè)答案是正確的某學(xué)生靠猜測(cè)能答

18、對(duì)能答對(duì)4道題以上的概率是多少？道題以上的概率是多少？,對(duì)對(duì)的的題題數(shù)數(shù)表表示示該該學(xué)學(xué)生生靠靠猜猜測(cè)測(cè)能能答答設(shè)設(shè)X ，答答對(duì)對(duì)一一道道題題 A則答則答5道題相當(dāng)于做道題相當(dāng)于做5重重Bernoulli試驗(yàn)試驗(yàn) 415，則則BX 41 AP則則解：解：每答一道題相當(dāng)于做一次每答一道題相當(dāng)于做一次Bernoulli試驗(yàn)，試驗(yàn)，所以所以 44 XPP道題道題至少能答對(duì)至少能答對(duì) 54 XPXP5445414341 C641 ex6. 若某人做某事的成功率為若某人做某事的成功率為1%，他重復(fù)努力，他重復(fù)努力400次，次，則至少成功一次的概率為則至少成功一次的概率為400110 =1 0.990.9

19、820P XP X 成功次數(shù)服從二項(xiàng)概率成功次數(shù)服從二項(xiàng)概率 (400,0.01)B有百分之一的希望，就要做百分之百的努力有百分之一的希望，就要做百分之百的努力 ex7. 一大批產(chǎn)品的次品率為一大批產(chǎn)品的次品率為0.1，現(xiàn)從中取，現(xiàn)從中取出出15件試求下列事件的概率：件試求下列事件的概率： B= 取出的取出的15件產(chǎn)品中恰有件產(chǎn)品中恰有2件次品件次品 C= 取出的取出的15件產(chǎn)品中至少有件產(chǎn)品中至少有2件次品件次品 ,取取出出一一件件產(chǎn)產(chǎn)品品為為次次品品 A . 1 . 0 AP則則 由于從一大批產(chǎn)品中取由于從一大批產(chǎn)品中取15件產(chǎn)品，故可近似看作件產(chǎn)品，故可近似看作是一是一15重重Berno

20、ulli試驗(yàn)試驗(yàn)解：解：所以，所以， 1322159 . 01 . 0 CBP CPCP 1141151500159 . 01 . 09 . 01 . 01 CCex8. 假設(shè)一廠家生產(chǎn)的每臺(tái)儀器，以概率假設(shè)一廠家生產(chǎn)的每臺(tái)儀器，以概率0.7可以直接可以直接出廠；以概率出廠；以概率0.3需進(jìn)一步調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后以概率需進(jìn)一步調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后以概率0.8可以出廠，以概率可以出廠，以概率0.2定為不合格品不能出廠，現(xiàn)該廠定為不合格品不能出廠，現(xiàn)該廠新生產(chǎn)了新生產(chǎn)了1000臺(tái)儀器（假設(shè)各臺(tái)儀器的生產(chǎn)過程相互臺(tái)儀器（假設(shè)各臺(tái)儀器的生產(chǎn)過程相互獨(dú)立），求獨(dú)立），求:(1)全部能出廠的概率全部能出廠的概率 ;

21、(2)其中恰好有兩件不能出廠的概率其中恰好有兩件不能出廠的概率 ;(3)其中至少有兩件不能出廠的概率其中至少有兩件不能出廠的概率 .Solution. 設(shè)設(shè)A=儀器能出廠儀器能出廠， B1 =儀器能直接出廠儀器能直接出廠,B2=儀器需進(jìn)一步調(diào)試儀器需進(jìn)一步調(diào)試,.21SBB 則則, 7 . 0)(1 BP且且3 . 0)(2 BP, 1)|(1 BAP, 8 . 0)|(2 BAP由全概率公式得由全概率公式得: .94. 0)|()()|()()(2211 BAPBPBAPBPAP設(shè)設(shè)X為所生產(chǎn)的為所生產(chǎn)的1000臺(tái)儀器中能出廠的臺(tái)數(shù)，則臺(tái)儀器中能出廠的臺(tái)數(shù)，則X作為作為1000次獨(dú)立試驗(yàn)中儀

22、器能出廠的次數(shù)，為次獨(dú)立試驗(yàn)中儀器能出廠的次數(shù)，為貝努利試驗(yàn)，貝努利試驗(yàn)，,94. 0 p并且并且).94. 0 ,1000( BX即即;)94. 0(1000)1(1000 XP ;)06. 0()94. 0(21000)2(29989981000CXP 998010009991)3(kXPXPkXP .)94. 0()06. 0()94. 0(110009999991000 C 已知某電話交換臺(tái)每分鐘接到的呼喚次數(shù)已知某電話交換臺(tái)每分鐘接到的呼喚次數(shù)X X服從服從4 的泊松分布，分別的泊松分布，分別 求（求（1 1）每分鐘內(nèi)恰好接到）每分鐘內(nèi)恰好接到3 3次呼喚的概率；（次呼喚的概率；（2

23、 2）每分鐘不超過）每分鐘不超過4 4次的概率次的概率(4)(0)(1)(2)(3)(4)P XP XP XP XP XP X4,3k()!kP Xkek344(3)3!P Xeex9.解解0.195630.628838ex10.設(shè)一女工照管設(shè)一女工照管800個(gè)紗錠，若每一個(gè)紗錠單位時(shí)間個(gè)紗錠，若每一個(gè)紗錠單位時(shí)間內(nèi)紗線被扯斷的概率為內(nèi)紗線被扯斷的概率為0.005，求單位時(shí)間內(nèi)扯斷次數(shù)，求單位時(shí)間內(nèi)扯斷次數(shù)不大于不大于10的概率的概率.Solution. 設(shè)設(shè)X為單位時(shí)間內(nèi)扯斷次數(shù)，則為單位時(shí)間內(nèi)扯斷次數(shù)，則).4()005. 0 ,800( BX)10( XP所所求求概概率率為為0.9971

24、60查表ex11. 有同類設(shè)備有同類設(shè)備300臺(tái)，各臺(tái)工作狀態(tài)相互獨(dú)立。已知臺(tái)，各臺(tái)工作狀態(tài)相互獨(dú)立。已知每臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障的概率為每臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障的概率為0.01，若一臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障，若一臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障需要一人去處理，問至少需要配備多少工人，才能保證需要一人去處理，問至少需要配備多少工人，才能保證設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)修理的概率小于設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)修理的概率小于0.01？ 130001. 0!3!1111NkkNkkNkknkknkekeppCNXPNXP 查表可知，滿足上式最小的查表可知，滿足上式最小的N是是8。至少需配備至少需配備8個(gè)工人才能滿足要求。個(gè)工人才能滿足要求。 解：解：

25、設(shè)設(shè)X表示同一時(shí)刻發(fā)生故障的設(shè)備臺(tái)數(shù)，依題意知表示同一時(shí)刻發(fā)生故障的設(shè)備臺(tái)數(shù)，依題意知XB(300,0.01)，若配備，若配備N位維修人員，所需解決的問題位維修人員，所需解決的問題是確定最小的是確定最小的N，使得：，使得：PXN0.01 （=np=3） 從一批次品率為從一批次品率為p p的產(chǎn)品中，有放回抽的產(chǎn)品中，有放回抽樣直到抽到次品為止。求抽到次品時(shí)，已樣直到抽到次品為止。求抽到次品時(shí)，已抽取的次數(shù)抽取的次數(shù)X X的分布律。的分布律。 解解 記記A Ai i= =“第第i i次次取到正品取到正品”,i=1,2,3,i=1,2,3, 則則 A Ai i , , i=1,2,3,i=1,2,3

26、, 是相互獨(dú)立的！是相互獨(dú)立的！ 且且X X的的所有所有可能取值為可能取值為 )(121kkAAAAP( ( X=k )X=k )對(duì)應(yīng)著事件對(duì)應(yīng)著事件 kkAAAA121ex12.教學(xué)要求：教學(xué)要求：理解隨機(jī)變量分布函數(shù)的概念及性質(zhì)理解隨機(jī)變量分布函數(shù)的概念及性質(zhì). 一、分布函數(shù)的概念一、分布函數(shù)的概念 對(duì)于離散隨機(jī)變量對(duì)于離散隨機(jī)變量X，我們可以用分布律來描述概率分布，我們可以用分布律來描述概率分布，對(duì)于非離散型隨機(jī)變量由于其可能取的值不能一一列出，因?qū)τ诜请x散型隨機(jī)變量由于其可能取的值不能一一列出，因此想采用分布律的形式來描述其概率分布是不可能的然而此想采用分布律的形式來描述其概率分布是不

27、可能的然而,我們可以轉(zhuǎn)而去研究該隨機(jī)變量在一個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概我們可以轉(zhuǎn)而去研究該隨機(jī)變量在一個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率如率如,考慮對(duì)于任意實(shí)數(shù)考慮對(duì)于任意實(shí)數(shù) （ ），落在區(qū)間），落在區(qū)間 上上的概率的概率 , 但由于但由于 = 因此我們只需考慮因此我們只需考慮 和和 形式的概率就可以了，形式的概率就可以了，而而 與與 具有相同的形式，因此，我們有下面的具有相同的形式，因此，我們有下面的概念概念. 21xx，21xx 21xx，21xXxP21xXxP12xXPxXP2xXP1xXP2xXP1xXP1. 分布函數(shù)的定義分布函數(shù)的定義 .)( ,的分布函數(shù)的分布函數(shù)稱為稱為函數(shù)函數(shù)是任意實(shí)數(shù)是任意實(shí)數(shù)是

28、一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量設(shè)設(shè)XxXPxFxX 注意注意:;1 , 0),()()1(值域?yàn)橹涤驗(yàn)榈亩x域?yàn)榈亩x域?yàn)榉植己瘮?shù)分布函數(shù)xF.)()2(00 xXPxF 性質(zhì)性質(zhì)2. , 1)(0 xF, 0)(lim)( xFFx. 1)(lim)( xFFx性質(zhì)性質(zhì)1. .)(為單調(diào)不減函數(shù)為單調(diào)不減函數(shù)xF).()(,2121xFxFxx 時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng)性質(zhì)性質(zhì)3. .)(是右連續(xù)的是右連續(xù)的xF).()(lim)0(000 xFxFxFxx 即即證明：證明：:,)1(2121得得則則如如xXxXxx 21xXPxXP 21xFxF 11(2) 01lim0lim01 2xnnnnnnF x

29、F xF xF xFnAXnnAAA 由的定義易得。利用的單調(diào)性,要證，只要證?？紤]事件，則，)(lim)(lim)(limnnnxAPnFxF 0)(1 nnAP可類似證明極限1)(limxFx xFnxFn )1(lim110lim()lim()nnnnF xF xPAn xFxXP 只只須須證證明明：的的單單調(diào)調(diào)性性，為為證證此此性性質(zhì)質(zhì)由由xF)3(，令令211 nnxXAn，則則11xXAAAnnnn 則則為兩個(gè)實(shí)數(shù)為兩個(gè)實(shí)數(shù)設(shè)設(shè),ba),()(aFbFbXaP ),0()( aFaFaXP),(1aFaXP ),0(1 aFaXP),0( bFbXP),0()( aFbFbXaP)

30、.()0(aFbFbXaP Proof. )(aXbXPbXaP aXPbXP ).()(aFbF 性質(zhì)性質(zhì)4. 1limaXkaPaXPk )1()(limkaFaFk ).0()( aFaF XaPaXP).(1)()(aFaFF )( XaaXPaXP)(1)0()(aFaFaF ).0(1 aF同理可證另外的等式同理可證另外的等式. . ex1.設(shè)設(shè)X是隨機(jī)變量，已知它的分布函數(shù)為是隨機(jī)變量，已知它的分布函數(shù)為F(x)，試，試用分布函數(shù)表示下列事件的概率：用分布函數(shù)表示下列事件的概率：4 )3( ;512 )2( ;1 )1(2 XXXSolution. 111 )1( XPXP).1

31、()01( FF2512 )2( XPXP).2(1F 224 )3(2 XPXP).02()2( FFex2.設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 2 120 sin0 0)( xxxAxxF.6| XPA及及求求Solution. ,2sin)2(AAF ,1)02( F由分布函數(shù)的右連續(xù)性，可得由分布函數(shù)的右連續(xù)性，可得 .1 A666 XPXP而而)6()06( FF.2106sin 求求: (1) 常數(shù)常數(shù)A，B的值；的值； (2) P(0X1)練習(xí)練習(xí)1：設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為：的分布函數(shù)為：xBarctgxAxF,)(1)(0)() 1 (FF由性質(zhì)解：1

32、)2(0)2(BABA121BA)0() 1 () 10()2(FFXP410,10,0)()(xxxxxFC練習(xí)練習(xí)2:下列函數(shù)中可作為隨機(jī)變量分布函數(shù)的是下列函數(shù)中可作為隨機(jī)變量分布函數(shù)的是 ( )arctgxxFBxxFA2143)()(11)()(212)()(arctgxxFD10)()(FA 說明：021)()(FB 12)()(FD ) 0()(lim)1)(, 0)()()(00FxFiiiFFiixFiCx單增為正確答案易證C二二. 離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù) xxkxxkkkpxXPxXPxF)( xxxxxppxxxpxx 1 032212111分布

33、函數(shù)的特點(diǎn)：分布函數(shù)的特點(diǎn)：F(x)為一階梯形右連續(xù)函數(shù)，跳躍點(diǎn)為一階梯形右連續(xù)函數(shù)，跳躍點(diǎn)在在x=xk處，跳躍值為處，跳躍值為pk.由概率分布得出了分布函數(shù)，同樣分布函數(shù)也可惟一由概率分布得出了分布函數(shù)，同樣分布函數(shù)也可惟一確定確定xk及及pk, 即惟一決定分布律即惟一決定分布律.如圖所示如圖所示x)(xF1x2x3xoex3.設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為的分布律為,2/16/13/1210ipX求求).(xF解解)(xXPxF 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí), , xX故故0)( xF當(dāng)當(dāng)10 x時(shí)時(shí), ,310)( XPxXPxF21613110)( XPXPxF當(dāng)當(dāng)21 x時(shí)時(shí), ,當(dāng)當(dāng)2 x時(shí)時(shí)

34、, ,1210)( XPXPXPxF故故,2, 121, 2/110, 3/10, 0)( xxxxxF)(xFx1/61/21/3121 1/621O)(xF的圖形是階的圖形是階在在躍躍, ,2, 1, 0 x處有跳處有跳其躍度分別其躍度分別,0 XP,1 XP.2 XP梯狀的圖形梯狀的圖形, ,等于等于練習(xí)練習(xí).設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為的分布律為X02 P414121求求X的分布函數(shù)的分布函數(shù).Solution. . 12 4320 410 0)( xxxxxFex4.設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為,3, 132,19/1521,19/91, 0)( xxxxxF求

35、求X的概率分布的概率分布. .解解由于由于)(xF是一個(gè)階梯型函數(shù)是一個(gè)階梯型函數(shù), , 故知故知X是一是一個(gè)離散型隨機(jī)變量個(gè)離散型隨機(jī)變量, ,)(xF的跳躍點(diǎn)分別為的跳躍點(diǎn)分別為 1, 2, 3,對(duì)應(yīng)的跳躍高度分別為對(duì)應(yīng)的跳躍高度分別為 9/19, , 6/19, , 4/19, , 如圖如圖. .3211199/196/194/)(xFx.19/419/619/9321ipX故故X的概率分布為的概率分布為X 0 1 2P 0.4 0.4 0.2解：解：0, 00.4, 01( )0.8, 121, 2xxF xxx 練習(xí)練習(xí).已知 X 的分布函數(shù)如下,求 X 的分布列.ex5. 考慮如下

36、試驗(yàn)：在區(qū)間考慮如下試驗(yàn)：在區(qū)間0，1上任取一點(diǎn)，記錄它上任取一點(diǎn)，記錄它的坐標(biāo)的坐標(biāo)X。那么。那么X是一隨機(jī)變量，根據(jù)試驗(yàn)條件可以認(rèn)為是一隨機(jī)變量，根據(jù)試驗(yàn)條件可以認(rèn)為X取到取到0，1上任一點(diǎn)的可能性相同。求上任一點(diǎn)的可能性相同。求X的分布函數(shù)。的分布函數(shù)。 當(dāng)當(dāng)x0時(shí)時(shí) 0 xF時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)10 x xxXPxXPxF 0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)1 x 110 XPxXPxF解解 ： 由幾何概率的計(jì)算不難求出由幾何概率的計(jì)算不難求出X的分布函數(shù)的分布函數(shù) 1 110 0 0 xxxxxF所以：所以：教學(xué)要求：教學(xué)要求：1. 理解連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度及性質(zhì)理解連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度及性質(zhì);2. 掌握正態(tài)分

37、布、均勻分布和指數(shù)分布掌握正態(tài)分布、均勻分布和指數(shù)分布; 3. 會(huì)應(yīng)用概率密度計(jì)算有關(guān)事件的概率會(huì)應(yīng)用概率密度計(jì)算有關(guān)事件的概率. .密度密度連續(xù)型隨機(jī)變量的概率連續(xù)型隨機(jī)變量的概率一一 .幾種常用的連續(xù)型分布幾種常用的連續(xù)型分布二二 .正態(tài)分布正態(tài)分布三三 .注意事項(xiàng)及課堂練習(xí)注意事項(xiàng)及課堂練習(xí)四四一、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度一、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度 連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量X所有可能取值充滿一個(gè)區(qū)間所有可能取值充滿一個(gè)區(qū)間, 對(duì)這對(duì)這種類型的隨機(jī)變量種類型的隨機(jī)變量, 不能象離散型隨機(jī)變量那樣不能象離散型隨機(jī)變量那樣, 以以指定它取每個(gè)值概率的方式指定它取每個(gè)值概率的方式, 去給出

38、其概率分布去給出其概率分布, 而而是通過給出所謂是通過給出所謂“概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)”的方式來討論的方式來討論.1. 連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)的定義連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)的定義.,)(,)()( ,),(),(簡(jiǎn)稱概率密度簡(jiǎn)稱概率密度概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)的的稱為稱為其中函數(shù)其中函數(shù)為連續(xù)型隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量則稱則稱有有使對(duì)于任意實(shí)數(shù)使對(duì)于任意實(shí)數(shù)函數(shù)函數(shù)存在非負(fù)存在非負(fù)的分布函數(shù)的分布函數(shù)如果對(duì)于隨機(jī)變量如果對(duì)于隨機(jī)變量XxfXdttfxXPxFxxfxFXx 2. 概率密度函數(shù)的性質(zhì)概率密度函數(shù)的性質(zhì); 0)( )1( xf; 1)( )2( dxxf這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)

39、這兩條性質(zhì)是判定一個(gè)函數(shù)函數(shù) f(x)是否為某是否為某r.vX的的概率密度函數(shù)的充要條件概率密度函數(shù)的充要條件. f (x)xo面積為面積為1;)()()( )3(211221 xxdxxfxFxFxXxP);()(,)( )4(xfxFxf 的連續(xù)點(diǎn)處的連續(xù)點(diǎn)處在在;)(,)(不存在不存在的不連續(xù)點(diǎn)處的不連續(xù)點(diǎn)處在在xFxf )()(lim)(0000證明證明用用xxFxxFxFx ; 0)0()(, )5( aFaFaXPa對(duì)任意實(shí)數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù).)( 2121212121 xxdxxfxXxPxXxPxXxPxXxP從而從而注意注意: (1) F(x)為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù); (2) 概率為

40、概率為0的事件，不一定是不可能事件；的事件，不一定是不可能事件；(3) 對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，求區(qū)間上的概率時(shí)可以不對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，求區(qū)間上的概率時(shí)可以不 考慮端點(diǎn)的情況考慮端點(diǎn)的情況. 即有即有(4) 可由分布函數(shù)求分布密度，對(duì)于可由分布函數(shù)求分布密度，對(duì)于 不存在不存在 的點(diǎn)可人為的補(bǔ)充定義的點(diǎn)可人為的補(bǔ)充定義. . )(xF badxxfbXaPbXaPbXaPbXaP)( 故故 X的密度的密度 f(x) 在在 x 這一點(diǎn)的值，恰好是這一點(diǎn)的值，恰好是X落在區(qū)間落在區(qū)間 上的概率與區(qū)間長(zhǎng)度上的概率與區(qū)間長(zhǎng)度 之比的極限之比的極限. 這里，如果把概率理解為質(zhì)量，這里，如果把概率理解為質(zhì)量

41、， f (x)相當(dāng)于線密度相當(dāng)于線密度.x ,(xxx 若若x是是 f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則：的連續(xù)點(diǎn)，則：xxxXxPx )(lim0 x)(lim0 xxxxdttf=f(x)(5). 對(duì)對(duì) f(x)的進(jìn)一步理解的進(jìn)一步理解: 要注意的是，密度函數(shù)要注意的是，密度函數(shù) f (x)在某點(diǎn)處在某點(diǎn)處a的高度，并不反映的高度，并不反映X取值的概率取值的概率. 但是，這但是，這個(gè)高度越大，則個(gè)高度越大，則X取取a附近的值的概率就越附近的值的概率就越大大. 也可以說，在某點(diǎn)密度曲線的高度反也可以說，在某點(diǎn)密度曲線的高度反映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度. f (x)xo若不計(jì)高階

42、無窮小，有：若不計(jì)高階無窮小，有：xxfxxXxP)( 它表示隨機(jī)變量它表示隨機(jī)變量 X 取值于取值于 的的概率近似等于概率近似等于 .,(xxxxxf)(xxf)(在連續(xù)型在連續(xù)型r.v理論中所起的作用與理論中所起的作用與kkpxXP)(在離散型在離散型r.v理論中所起的理論中所起的作用相類似作用相類似.ex1.設(shè)設(shè)X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為,1 110 0 0)( xxxxxF求求X的分布密度的分布密度).(xf解解),()(xFxf 而端點(diǎn)處情況可人為規(guī)定而端點(diǎn)處情況可人為規(guī)定. 其它其它 010 1)(xxf. 010 1)( 其它其它xxfor xdttfxXPxF)()()(解解:

43、 其它其它0,11,12)(2xxxf 求求 : F(x) 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 f (x)ex2.1x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí),( )0F x 11,x 當(dāng)當(dāng) xdttdtxF121120)( 21arcsin112 xxx 1, 111,21arcsin111, 0)(2xxxxxxxF 即得所求的分布函數(shù)為即得所求的分布函數(shù)為:112112( )0101F xdtt dtdt 1x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí),ex3.設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 其它其它 022 cos)( xxaxf.40)3(),()2( ,)1( XPxFa求求解解得得由由1)()1(

44、 dxxf,2cos122adxxa .21 a; 00)(,2)2( dxxFxx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) dxxfxFxx )()(,22時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) );1(sin21cos212 xdxxx dxxfxFxx )()(,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) . 1cos2122 dxx 2 122 )1(sin212 0)( xxxxxF,42)0()4(40)3( FFXP .42cos214040 dxxXP 或或練習(xí)：練習(xí)：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為1|x|01|x|x1A)x(f2 求(1)A; (2)P(-1/2X1/2); 解解:(1)由性質(zhì)2得:1121dxx1Adx)x(f即11xarcsinAA=1,所以 A=1/

45、(2)P(-1/2X1/2)=2/12/1dx)x(f2/12/12dxx112/12/1xarcsin1=1/(/6+/6)=1/3.)3(;2)2(;,)1(:., 1,arcsin, 0)(的概率密度的概率密度隨機(jī)變量隨機(jī)變量的值的值系數(shù)系數(shù)求求的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量XaXaPBAaxaxaaxBAaxxFX ex4.),(lim)(xFaFax 故有故有解解 (1) 因?yàn)橐驗(yàn)?X 是連續(xù)型隨機(jī)變量是連續(xù)型隨機(jī)變量, )(lim)(xFaFax ,)(連續(xù)連續(xù)所以所以xF aaBAarcsin aaBAarcsin即即BA2 , 0 BA2 , 1 .1

46、 B ., 1,arcsin121, 0)(axaxaaxaxxF 所所以以,21 A解之得解之得)2(aF 0)2arcsin(121 aa6121 2)2(aXaP )( aF .32 )()(xFxf 的概率密度為的概率密度為隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X)3( ., 0,122其其它它axaxa 二、幾種常用的連續(xù)型分布二、幾種常用的連續(xù)型分布 1. 均勻分布均勻分布 若若 r.vX的概率密度為：的概率密度為：其它, 0,1)(bxaabxf)(xfab則稱則稱X服從區(qū)間服從區(qū)間( a, b)上的均勻分布，記作：上的均勻分布，記作： X U(a, b)它的實(shí)際背景是：它的實(shí)際背景是： r.v X

47、 取值在區(qū)間取值在區(qū)間(a, b) 上，并且上，并且取值在取值在(a, b)中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比長(zhǎng)度成正比. 則則 X 具有具有(a,b)上的上的均勻分布均勻分布.其分布函數(shù)為其分布函數(shù)為: bxbxaabaxaxxF , 1 , , 0)(概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)f(x)與分布函數(shù)與分布函數(shù)F(x)的圖形可用圖示的圖形可用圖示abO xfabO xF1ex5.某公共汽車站從上午某公共汽車站從上午7時(shí)起，每時(shí)起，每15分鐘來一班車，分鐘來一班車，即即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等時(shí)刻有汽車到達(dá)此站，等時(shí)刻有汽車到達(dá)此站，

48、如果乘客到達(dá)此站時(shí)間如果乘客到達(dá)此站時(shí)間 X 是是7:00 到到 7:30 之間的均勻之間的均勻隨機(jī)變量隨機(jī)變量, 試求他候車時(shí)間少于試求他候車時(shí)間少于5 分鐘的概率分鐘的概率.解解依題意，依題意，以以7:00為為起點(diǎn)起點(diǎn)0，以分為單位，以分為單位其它其它,)(0300301xxf0, 30 .XU 為使候車時(shí)間為使候車時(shí)間X少于少于 5 分鐘，乘客必須在分鐘，乘客必須在 7:10 到到 7:15 之間，或在之間，或在7:25 到到 7:30 之間到達(dá)車站之間到達(dá)車站.所求概率為：所求概率為：30251510XPXP3130130130251510dxdx即乘客候車時(shí)間少于即乘客候車時(shí)間少于5

49、 分鐘的概率是分鐘的概率是1/3.從上午從上午7時(shí)起，每時(shí)起，每15分鐘來一班車，即分鐘來一班車，即 7:00，7:15，7:30等時(shí)刻有汽車到達(dá)汽車站，等時(shí)刻有汽車到達(dá)汽車站，ex6. 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量XU1, 6 ，求一元二次方程，求一元二次方程 t 2+Xt +1= 0有實(shí)根的概率。有實(shí)根的概率。 解解 當(dāng)當(dāng)=X2-40時(shí)，方程有實(shí)根。所求概率為時(shí)，方程有實(shí)根。所求概率為P XP XXP XP X2(40)(22)(2)(2) 或或而而X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為1,16,( )50,xf x 其其它它. .662214(2)( )55P Xf x dxdx (2)0P X 24(40

50、)5P X 從而從而另解另解22(40)1(40)P XP X1( 22)PX 22211141( )11555f x dxdx xf x1,16,( )50, 其其它它. .ex7. 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 在在 2, 5 上服從均勻分布，現(xiàn)對(duì)上服從均勻分布，現(xiàn)對(duì) X 進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè)進(jìn)行三次獨(dú)立觀測(cè) ,試求至少有兩次觀測(cè)值大于試求至少有兩次觀測(cè)值大于3 的的概率概率. X 的分布密度函數(shù)為的分布密度函數(shù)為 ., 0, 52,31)(其其他他xxf設(shè)設(shè) A 表示表示“對(duì)對(duì) X 的觀測(cè)值大于的觀測(cè)值大于 3 ”, Y 表示表示3次獨(dú)次獨(dú)立觀測(cè)中觀測(cè)值大于立觀測(cè)中觀測(cè)值大于3的次數(shù)的次數(shù).解解

51、)(3XPAP由由于于,32d3153 x則則23,.3YB2 YP.2720 因而有因而有22322133C 303322133C 2. 指數(shù)分布指數(shù)分布 若若 r.vX的概率密度為：的概率密度為： 0 , 00 ,1)(xxexfx .,0的指數(shù)分布的指數(shù)分布服從參數(shù)為服從參數(shù)為則稱則稱為常數(shù)為常數(shù)其中其中 X ).( EX記為記為其分布函數(shù)為其分布函數(shù)為: 0 , 00 ,1)(xxexFx 指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計(jì)研究中，如元件的壽命指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計(jì)研究中，如元件的壽命.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度具有概率密度0( )(0)00 xxef xx為常數(shù)則稱則稱X

52、服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分布。的指數(shù)分布。0001)( xxexFx 指數(shù)分布的另一常見的定義方式指數(shù)分布的另一常見的定義方式其分布函數(shù)為其分布函數(shù)為 f(x)和和F(x)可用圖形表示可用圖形表示)(xfxO )(xFxO1ex8. 電子元件的壽命X(年）服從參數(shù)為1/3的指數(shù)分布(1)求該電子元件壽命超過2年的概率。 (2)已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用兩年的概率為多少？解解: :, 0003)(3xxexfx,.32) 1 (623edxeXPx65 . 135 . 33335 . 15 . 1, 5 . 35 . 1|5 . 3)2(edxedxeXPXXPXXPxxe

53、x9.設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間(以分計(jì)以分計(jì))服服 從指數(shù)分布，其密度函數(shù)為從指數(shù)分布，其密度函數(shù)為 其它其它 00 51)(51xexfx某顧客等待時(shí)間超過某顧客等待時(shí)間超過10分鐘，他就離開分鐘，他就離開.一個(gè)月他去銀一個(gè)月他去銀行行5次次.以以X表示一個(gè)月內(nèi)他未等到服務(wù)而離去的次數(shù)，表示一個(gè)月內(nèi)他未等到服務(wù)而離去的次數(shù)，寫出寫出X的分布律并求的分布律并求 .1 XP解解以以Y表示顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間，表示顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間， 則顧客未等到服務(wù)而離去的概率為則顧客未等到服務(wù)而離去的概率為 10 YPp.5121051 e

54、dxex的的分分布布律律為為X).5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0( )1(5225 keeCkXPkkk011 XPXP5205)1(1 eC.)1(152 e 正態(tài)分布是概率統(tǒng)計(jì)中最重要的分布，一方面，正態(tài)分布是正態(tài)分布是概率統(tǒng)計(jì)中最重要的分布，一方面，正態(tài)分布是自然界最常見的一種分布，例如測(cè)量的誤差，炮彈彈落點(diǎn)的分自然界最常見的一種分布，例如測(cè)量的誤差，炮彈彈落點(diǎn)的分布，電子管或半導(dǎo)體器件中熱噪聲電流和電壓，人的生理特征布，電子管或半導(dǎo)體器件中熱噪聲電流和電壓，人的生理特征的尺寸：身高，體重等；農(nóng)作物的收獲量；工廠產(chǎn)品的尺寸：的尺寸：身高，體重等；農(nóng)作物的收獲量；工廠產(chǎn)品的尺寸

55、：直徑，長(zhǎng)度，寬度，高度；直徑，長(zhǎng)度，寬度，高度；都近似服從正態(tài)分布。一般說來都近似服從正態(tài)分布。一般說來，若影響某個(gè)數(shù)量指標(biāo)，若影響某個(gè)數(shù)量指標(biāo)的的隨機(jī)因素很多，而每個(gè)因素所起的作隨機(jī)因素很多，而每個(gè)因素所起的作用不太大，則用不太大，則這個(gè)這個(gè)指標(biāo)服從正態(tài)分布，這點(diǎn)可以利用概率論的指標(biāo)服從正態(tài)分布，這點(diǎn)可以利用概率論的極限定理加以證明，另一方面，極限定理加以證明，另一方面， 正態(tài)分布具有許多良好的性質(zhì)正態(tài)分布具有許多良好的性質(zhì)，許多分布可以利用正態(tài)分布來近似，另外一些分布又可以通，許多分布可以利用正態(tài)分布來近似，另外一些分布又可以通過正態(tài)分布來導(dǎo)出，因此在理論研究中，過正態(tài)分布來導(dǎo)出，因此在

56、理論研究中， 正態(tài)分布十分重要。正態(tài)分布十分重要。三、正態(tài)分布三、正態(tài)分布 1. 正態(tài)分布的定義正態(tài)分布的定義 如果連續(xù)型隨機(jī)變量如果連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為的概率密度為 )( 21)(222)( xexfx .,)0(,分布或高斯分布分布或高斯分布的正態(tài)的正態(tài)服從參數(shù)為服從參數(shù)為則稱則稱為常數(shù)為常數(shù)其中其中 X ).,(2 NX記為記為得得令令特別地特別地1, 0, )( 21)(22 xexx 稱稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.).1 , 0( NX記為記為2. 正態(tài)分布的分布函數(shù)正態(tài)分布的分布函數(shù) .d21)( ),(222)(2 xttexFXNX 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為則

57、則若若.d21)( ),1 , 0(22 xttexXNX 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為則則若若XN(,2) 密度函數(shù)為密度函數(shù)為 ， x e21xf 2x22（1 1） 圖形關(guān)于圖形關(guān)于x =對(duì)稱。對(duì)稱。 X單調(diào)減，單調(diào)減，（2 2）X=時(shí)有時(shí)有最大值最大值 M=M= 21（3 3）固定）固定,變小變小, 圖形陡峭圖形陡峭 變大變大, 圖形平坦圖形平坦.3. 正態(tài)分布的簡(jiǎn)單性質(zhì)正態(tài)分布的簡(jiǎn)單性質(zhì) （4 4）固定）固定 ,增大圖形往右平移，增大圖形往右平移，減小圖形往減小圖形往 左平移左平移xf(x)0增大增大減小減小 x dxe21xF x2x22,)()(XN(,2） 其 分 布 函 數(shù) 圖

58、形 為 和和 的圖形如圖所示。的圖形如圖所示。 )(x )( x )(x xO)(x xO21aa ( ),0,( )()xxxx顯然，為偶函數(shù) 關(guān)于對(duì)稱 即(5) ()1( );xx 證證dtexxt 2221)( dyexyyt 2221 令令-xdyexy 22211 ).(1x (x).)()(，可以查表求值xxXP 例如查表可得例如查表可得 ).( 101 ).(750 ).(101X750P0.8643226607734017501.).( 637702266086430750101.).().( )()(1221xxxXxP1)(2)()(xxxxXP)(1 2xxXP另外還有幾

59、個(gè)重要公式：另外還有幾個(gè)重要公式： 當(dāng)當(dāng)X N (0,1), );()( )6( xxF證證dtexFxt 222)(21)( dzexzzt 2221).( x可見可見則則若若),(2 NX)()(aFbFbXaP ).()( ab因此可用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表計(jì)算一般正態(tài)分布事件的概率因此可用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表計(jì)算一般正態(tài)分布事件的概率.);(1)( )7( xxf);1 , 0(,),( )8(2NYXYNX則則若若 210.(108,9)(108,3 ),exXNN設(shè);6 .1171 .101)1( XP求求;9 . 0)2( aXPa使使求求.01. 0|)3( aaXPa使使求求解解)1 .1

60、01()6 .117(6 .1171 .101)1(FFXP )31081 .101()31086 .117( )3 . 2()2 . 3( .9886. 00107. 09993. 0 查查表表)()2(aFaXP , 9 . 0)3108( a,28. 13108 a查查表表得得.84.111 a02|)3( XPaXPaaXP)0()2(1FaF )3108()31082(1 a,01. 0)31082(1 a,99. 0)31082( a,33. 231082 a查表得查表得.495.57 a練習(xí)練習(xí)1:1:2 (2, ), (24)0.3, (0).XNPXP X若隨機(jī)變量且求802