數(shù)列極限的性質(zhì)

1、數(shù)列極限的性質(zhì)數(shù)列極限的性質(zhì)1.1.有界性有界性 定理定理“收斂的數(shù)列必定有界收斂的數(shù)列必定有界”注意：注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論：推論：無界數(shù)列必定發(fā)散無界數(shù)列必定發(fā)散. .1( 1).n如：發(fā)散2.唯一性唯一性 定理定理“每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限”3.3.保號(hào)性定理保號(hào)性定理lim,0(0),0,N,0(0).nnnnxAAANnxx 若且或則 正整數(shù)當(dāng)時(shí) 都有或推論：推論：0(0)lim,0(0).nnnnnxxxxAAA 若數(shù)列 從某項(xiàng)起有或，且那么或1.4 函數(shù)極限函數(shù)極限重點(diǎn)：重點(diǎn)：1. 自變量各種趨向下函數(shù)極限的定

2、義；自變量各種趨向下函數(shù)極限的定義；2. 2. 唯一性、局部有界性、局部保號(hào)性；唯一性、局部有界性、局部保號(hào)性；3. 3. 無窮小、無窮大的定義；無窮小、無窮大的定義；4. 4. 無窮小與極限的關(guān)系；無窮小與極限的關(guān)系；5. 5. 水平漸近線、鉛直漸近線；水平漸近線、鉛直漸近線；難點(diǎn)：難點(diǎn)：函數(shù)極限的精確定義及證明。函數(shù)極限的精確定義及證明。1、定義：、定義：自變量自變量各種趨向各種趨向下函數(shù)極限的定義；下函數(shù)極限的定義；2、性質(zhì)：、性質(zhì)：唯一性、局部有界性、局部保號(hào)性、不等式性質(zhì)、唯一性、局部有界性、局部保號(hào)性、不等式性質(zhì)、 左右極限、無窮小的性質(zhì)左右極限、無窮小的性質(zhì): 3、計(jì)算：、計(jì)算：

3、用定義、用定義、極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則（1.5）、極限存在準(zhǔn)則（）、極限存在準(zhǔn)則（1.6） 兩個(gè)重要極限（兩個(gè)重要極限（1.6）、等價(jià)無窮小替換、左右極限、）、等價(jià)無窮小替換、左右極限、 羅比達(dá)法則；常用方法：（例羅比達(dá)法則；常用方法：（例1.5.11.5.9）。）。4、應(yīng)用：、應(yīng)用：水平漸近線、鉛直漸近線判斷；幾何意義；微積分的水平漸近線、鉛直漸近線判斷；幾何意義；微積分的 理論基礎(chǔ)；其它。理論基礎(chǔ)；其它。00,0,0,( )xxf xA 0 xxlimf(x)=A當(dāng)時(shí)0 xAAA0 x0 x)(xfy xyo一、各種趨向下函數(shù)的極限一、各種趨向下函數(shù)的極限1.（定義（定義 1.4.2）|

4、f(x)A| 00 |( )xx 00( )()f xUx設(shè)在有定義，*例例1 1lim(21)0 xx證明證明證明0 對(duì)|( ) 1| |(21) 1|f xx要使2故取.得證2|1|1|2xx只要，即x-1則，當(dāng)0| 時(shí)，恒有|(2x-1)-1|0,(, ),|( )| 1xxf xAxUxf xM“若則存在常數(shù)M 0，及當(dāng)例如：時(shí) 有（取可證）3 3、局部保號(hào)性、局部保號(hào)性 定理定理1.4.21.4.2 ).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(lim000 xfxfxUxAAAxfxx或或時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)則則或或且且若若定理定理1.4.31.4.3000(, ),( )0( )0),lim

5、( ),0(0).xxxUxf xf xf xAAA若當(dāng)時(shí)或且則或1lim0 xAx如：4、不等式性質(zhì)（局部）（、不等式性質(zhì)（局部）（P21 TH1.5.6）定理定理( (保序性保序性) ).),()(),(, 0.)(lim,)(lim0000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx 則則有有若若設(shè)設(shè)定理定理1.4.2 1.4.2 ).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(lim000 xfxfxUxAAAxfxx或或時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)則則或或且且若若推論：推論：000lim( ),(0),0,(, ),|( )| |.2xxf xA AAxUxf x若則當(dāng)時(shí)0 x00Alim020,(, ),xx

6、Ux設(shè)f(x)=A0,取， 則當(dāng)證：時(shí)明有A|f(x)-A|A-22=0，得證.且有推論：三、無窮小與無窮大三、無窮小與無窮大1.無窮小無窮小例如例如:, 0sinlim0 xx.0sin時(shí)的無窮小時(shí)的無窮小是當(dāng)是當(dāng)函數(shù)函數(shù)xx, 01lim xx.1時(shí)的無窮小時(shí)的無窮小是當(dāng)是當(dāng)函數(shù)函數(shù) xx, 0)1(lim nnn.)1(時(shí)的無窮小時(shí)的無窮小是當(dāng)是當(dāng)數(shù)列數(shù)列 nnnlim( )0 xf x定義：“若， 則稱f(x)在這種趨向下是無窮小”注意注意 1)稱稱函數(shù)為無窮小函數(shù)為無窮小，必須指明自變量的趨向；，必須指明自變量的趨向；2)無窮小是變量無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆不能與很小的數(shù)混淆

7、;3)零是可以作為無窮小的唯一的數(shù)零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).意義：意義： 1)將將一般極限問題一般極限問題轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為特殊極限問題特殊極限問題(無窮小無窮小);02)( )( ),( ).f xxf xAx給出了函數(shù)在 附近的近似表達(dá)式誤差為定理：無窮小定理：無窮小與與函數(shù)極限函數(shù)極限的關(guān)系的關(guān)系:lim( )()xf x 定義：“若或， 則稱f(x)在這種趨向下為無窮大”注意注意無窮大是變量無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆;2. 無窮大無窮大3. 無窮小與無窮大的關(guān)系無窮小與無窮大的關(guān)系定理定理 在同一過程中在同一過程中, ,無窮大的倒數(shù)為無窮小無窮大的倒數(shù)為無窮小;

8、;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大. .意義意義 關(guān)于無窮大的討論關(guān)于無窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論都可歸結(jié)為關(guān)于無窮小的討論.?1li1?mxx 例.)(,)(lim:00的圖形的鉛直漸近線的圖形的鉛直漸近線是函數(shù)是函數(shù)則直線則直線如果如果定義定義xfyxxxfxx x11lim212xx.)(,)(lim:的圖形的水平漸近線的圖形的水平漸近線是函數(shù)是函數(shù)則直線則直線如果如果定義定義xfycycxfx 11lim1xx即：四、應(yīng)用四、應(yīng)用1、定義：、定義：自變量自變量各種趨向各種趨向下函數(shù)極限的定義；下函數(shù)極限的定義；2、性質(zhì)：、性質(zhì)：唯一性、局部有界性、局部保號(hào)性、不等式性質(zhì)、唯一性、局部有界性、局部保號(hào)性、不等式性質(zhì)、 左右極限、無窮小的性質(zhì)左右極限、無窮小的性質(zhì): 3、計(jì)算：、計(jì)算：用定義、用定義、極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則（1.5）、極限存在準(zhǔn)則（）、極限存在準(zhǔn)則（1.6） 兩個(gè)重要極限（兩個(gè)重要極限（1.6）、等價(jià)無窮小替換、左右極限、）、等價(jià)無窮小替換、左右極限、 羅比達(dá)