一、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則

1、一、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則一、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則( )( )( )( )u xv xxu xv x 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)與與在在點點 處處可可導(dǎo)導(dǎo)，則則函函數(shù)數(shù)，( )( )( )( ( )0)( )u xu xv xv xxv x，在在點點 處處也也可可導(dǎo)導(dǎo)并并且且有有：定理定理1 1( )( ) ( ) ( )u xv xuxvx 、 2( )( ) ( )( )( ) ( )u xv xuxv xu xvx 、2( ) ( )( )( ) ( )3( )( )u xuxv xu xvxv xvx 、推論推論:1、 （c為常數(shù)）為常數(shù)） ( ) ( )cu xcux 2、 （c為常數(shù)）為常數(shù)）2 (

2、)( )( )cc uxu xux 公式公式(1)、(2)具有遞推性：具有遞推性：12121( )( )( )( )( )( )nnu xuxuxuxuxux、 1232( )( )( )( )nu x ux uxux 、 123123( )( )( )( )( )( )( )( )nnux ux uxuxu x ux uxux 123123( )( )( )( )( )( )( )( )nnu x ux uxuxu x ux uxux證明：證明：(下面僅給公式下面僅給公式(2)的證明的證明)設(shè)設(shè) ，則，則( )( )yu xv x () ()( ) ( )yu xx v xxu x v x

3、= () ()( ) ()u xx v xxu x v xx ( ) ()( ) ( )u x v xxu x v x =( ) ()( )( )u x v xxu xv x 那么，那么，00( )( )lim= lim()( )xxyu xv xv xxu xxxx ( )( )yu xv xx而而在在點點 處處可可導(dǎo)導(dǎo)，即即00( )( )( )lim, ( )limxxu xv xu xv xxx ( )yv xx 且且在在點點 處處必必連連續(xù)續(xù)，即即0lim ()( )xv xxv x 所以所以00( )( )lim= lim()( )xxyu xv xv xxu xxxx = ( )

4、( )( ) ( )uxv xu xvx即即 ( )( ) ( )( )( ) ( )u xv xuxv xu xvx例例14541627cosloglnayxxxx求求函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)。解：解：4541627cosloglnayxxxx 445627 =cosloglnaxxxx 9354265=4sinlnxxxxa 例例2510lnxyx ex 求求函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)。解：解： 55510lnlnlnxxxyxexxexx ex455110 5=lnlnxxxx exx exx ex 41051 =lnlnxx exxx例例322xyx 求求函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)。解：解：22xyx

5、 222222xxxxx 2222xxx 242x 例例4解：解：lnxxye lnxxye 求求函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)。 2lnlnxxxxex ee 2lnxxxeexxe 1lnxxxxe 例例5解：解：tanyx 求求函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)。 sintancosxyxx 2sincossincoscosxxxxx 222cossincosxxx 221seccosxx類似可得：類似可得： 2cotcscxx secsectanxxx csccsccotxxx 二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理定理2( )( )uxxyf u 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在點點 處處可可導(dǎo)導(dǎo)，函函數(shù)數(shù)在在

6、( )uyfxx 對對應(yīng)應(yīng)點點 處處可可導(dǎo)導(dǎo)，則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)在在點點 處處也也可可導(dǎo)導(dǎo)，ddddddyyuxux ( ( )( )( ),fxfux 且且有有或或記記為為證明證明0( )( )limuyyf uufuu 因因為為在在對對應(yīng)應(yīng)點點 處處可可導(dǎo)導(dǎo)，即即那那么么，由由無無窮窮小小與與函函數(shù)數(shù)極極限限的的關(guān)關(guān)系系，有有0= ( )+yfuuu ，（其其中中 為為當當時時的的無無窮窮小?。┑玫? ( )+y fuuu 于是于是00( )+limlimxxyfuuuxx = =0lim( )xuufuxx 000( ) limlimlimxxxuufuxx ( )( )fu u x

7、值得指出的是，值得指出的是，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法，有時也稱為鏈復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法，有時也稱為鏈導(dǎo)法，它可用于多次復(fù)合的情形。導(dǎo)法，它可用于多次復(fù)合的情形。例如，設(shè)例如，設(shè) ，則，則 ( ),( ),( )yf u uu v vv xddddddddyyuvxuvx或?qū)憺榛驅(qū)憺? )( ) ( )yfu u v v x 例例6376()yxy 設(shè)設(shè)，求求 。解：解：因為因為 是由是由376()yx 736,yuux復(fù)合而成。而，復(fù)合而成。而，6273dd,ddyuuxux所以所以236216ddd()dddyyuxxxux例例7 正確掌握復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程后，可不必給出中正確掌握復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程后，

8、可不必給出中間變量，直接對復(fù)合函數(shù)進行求導(dǎo)運算。間變量，直接對復(fù)合函數(shù)進行求導(dǎo)運算。sin(ln )yxy 設(shè)設(shè)，求求 。解：解：1cos(ln )cos(ln )xyxxx例例8解：解：4ln(tan )yxxy 設(shè)設(shè)，求求 。32414(sec)tanyxxxx 3244sectanxxxx 例例9解：解：3sin xyey 設(shè)設(shè)，求求 。333sincosxyex333sincosxxe 例例1021ln()yxxy 設(shè)設(shè)，求求 。221112121yxxxx211x 解：解：三三 、反函數(shù)的求導(dǎo)法則、反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理定理3( )xx y 若若函函數(shù)數(shù)在在某某一一區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)

9、，可可導(dǎo)導(dǎo)，0( )( )x yyy x且且，則則它它的的反反函函數(shù)數(shù)在在對對應(yīng)應(yīng)區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)也也可可導(dǎo)導(dǎo)，11d( )d( )ddyy xxx yxy且且，或或記記為為。證明：證明： 由可導(dǎo)必連續(xù)知，由可導(dǎo)必連續(xù)知， 在某區(qū)間內(nèi)單在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)連續(xù)調(diào)連續(xù),則其反函數(shù)則其反函數(shù) 在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)也在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)也必單調(diào)連續(xù)。必單調(diào)連續(xù)。( )xx y ( )yy x 于是于是0( )= limxyy xx 001()limyxxy 1( )x y 所以，命題成立。所以，命題成立。例例11解：解：11arcsin ()yxx 求求的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)。11arcsin ()sinyxxxy 因因為為是是的

10、的反反函函數(shù)數(shù)，2 2(,)y 當當時時，0sin( )cosxyx yy單單調(diào)調(diào)可可導(dǎo)導(dǎo)，且且，11(, )x 所所以以，當當時時，11( )=( )cosy xx yy 22111111()sinxyx 即即 21111arcsin()xxx 類似地，類似地， 21111arccos()xxx 例例12解：解：arctan ()yxx 求求的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)。arctan ()tanyxxxy 因因為為是是的的反反函函數(shù)數(shù)。2 2(,)y 當當時時，20tan( )secxyx yy單單調(diào)調(diào)可可導(dǎo)導(dǎo)，且且，所以所以211( )=( )secy xx yy 221111tan yx即即 211ar

11、ctan ()xxx 類似地，類似地，21arccot ()1xxx 例例13解：解：01(,)xyaaay設(shè)設(shè)，求求 。01(,)logxyayaaax因因為為是是的的反反函函數(shù)數(shù)。0( ,)y當當時時，10log( )lnaxyx yya單單調(diào)調(diào)可可導(dǎo)導(dǎo)，且且，所以所以1( )=ln =ln( )xy xya aax y 特別地，特別地， =e ()xxeaex 當當時時，即即 01=ln (,)xxaaa aa例例14解：解：()yxy 設(shè)設(shè)為為實實數(shù)數(shù) ，求求 。lnxyxe由由得得， yx lnxe 11lnxexx 即即 1xx 例例16解：解：2arcsinxyy 設(shè)設(shè)，求求 。

12、 2arcsinxy 112212arcsin=lnxxx 1222arcsinln=xxx 四、四、 初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式01= ()( )CC為為常常數(shù)數(shù) 12=( ) xx 13logn(=l)xaxa 14) ln(=xx 5=ln( )xxaaa 6)=(xxee7(sins()=coxx8(cos ) =-( )sinxx29(tan )( )=secxx210(cot) =-c()scxx11(sec ) =sec()tanxxx12(csc ) =-csc)o(c txxx21131(arcsin ) =()xx 基本初

13、等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式21141(arccos ) =-()xx 21151(arctan ) =()xx 21161(arccot) =()xx 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式2、 導(dǎo)數(shù)的四則運算法則導(dǎo)數(shù)的四則運算法則 1( )( )( ) ( ) ( )u xv xuxvx 2( )( )( ) ( )( )( ) ( )u xv xuxv xu xvx 3( )( ) ( )()Cu xCux C 為為常常數(shù)數(shù)24( ) ( )( )( ) ( )( )( )( )u xuxv xu xvxv xvx 250 ( )( )( )( )( )CCuxCu xu

14、 xux 為為常常數(shù)數(shù), ,3. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則( )( )( ( )yf uuxyfx 設(shè)設(shè)，則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為ddd dddyyuxux或或 ( )( )( )fxfux 4. 反函數(shù)求導(dǎo)法則反函數(shù)求導(dǎo)法則( )( )yy xxx y設(shè)設(shè)的的反反函函數(shù)數(shù)為為，則則10( )( )( )y xx yx y，()()或記為或記為10dd()ddddyxxxyy( )( )g xyf x （1 1）求求函函數(shù)數(shù)（這這種種形形式式函函數(shù)數(shù)稱稱為為冪冪指指函函數(shù)數(shù)）的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)。解解例例160()xyxxy設(shè)設(shè)，求求 。兩邊取對數(shù)得兩邊取對數(shù)得lnlnyxx 兩邊對兩邊對 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得x11lnyxxyx所以所以11(ln)(ln)xyyxxx5、對數(shù)求導(dǎo)法、對數(shù)求導(dǎo)法（2）由多個因子積、商、乘方、開方構(gòu)成的函數(shù)的）由多個因子積、商、乘方、開方構(gòu)成的函數(shù)的求導(dǎo)問題求導(dǎo)問題例例172223331214() ()()xxyxyx 設(shè)設(shè)，求求。 分析：分析：若直