第二章 流體靜力學(xué)

1、第二章 流體靜力學(xué)第一節(jié) 流體靜壓強(qiáng)及其特性第二節(jié) 流體靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律第三節(jié) 壓強(qiáng)的計(jì)算基準(zhǔn)和量度單位第四節(jié) 液柱測(cè)壓計(jì)第五節(jié) 作用于平面的液體壓力第六節(jié) 作用于曲面的液體壓力第七節(jié) 液體平衡微分方程第八節(jié) 液體的相對(duì)平衡第一節(jié) 流體靜壓強(qiáng)及其特性 流體在靜止時(shí)不能承受切向力，因?yàn)槿缬星邢蛄Υ嬖?，靜止流體將會(huì)發(fā)生流動(dòng)。流體不能承受拉力，沿法向方向的力必為壓力（如圖2-1）。流體靜壓強(qiáng)的特性 靜止體中任意點(diǎn)壓強(qiáng)的大小與作用面的方向無(wú)關(guān)。只是空間坐標(biāo)的函數(shù)，即 ( , , )pp x y zB I VD IIACD IICABP A a 圖2-1 靜止流體中的壓力第一節(jié) 流體靜壓強(qiáng)及其特性第二節(jié)

2、 流體靜壓強(qiáng)的分布規(guī)律液體靜壓強(qiáng)的基本方程式 式中 p液體內(nèi)某點(diǎn)的壓強(qiáng)，Pa； p0液面氣體壓強(qiáng)， Pa； 液體的密度，kg/m3； h某點(diǎn)在液面下的深度，m。 該式表明在靜止液體中，壓強(qiáng)隨深度按直線變化的規(guī)律。靜止液體中任一點(diǎn)的壓強(qiáng)是由也面壓強(qiáng)和該點(diǎn)在液面下的深度與密度和重力加速度的乘積兩部分組成。從這兩部分看出，壓強(qiáng)的大小與容器大形狀無(wú)關(guān)。ghpp0 以單位體積液體的重量g 除以靜力學(xué)基本方程，得式中 z 某點(diǎn)在基準(zhǔn)面以上的高度，稱位置高度或測(cè)壓管的液面到該點(diǎn)的高度，稱測(cè)壓管高cgpzgpgpz壓管水頭。cgpz靜止液體中，各點(diǎn)的測(cè)壓管水頭相同。 度。位置水頭。測(cè)壓管的液面到基準(zhǔn)面的總高度

3、，稱測(cè)2Z1Zgp2gp121OO42圖測(cè)壓管水頭例2-2 密度為 和 的兩種液體，裝在圖2-11的容器中，各也面深度如圖所示。若=1000kg/m3 ，大氣壓強(qiáng)pa=98kPa, 求 及 。解 先求 ，由于自由面的壓強(qiáng)均等于大氣壓強(qiáng)，所以，p1=p4=pa=98kPa 根據(jù)靜止、連續(xù)、同種液體的水平面為等壓面的規(guī)律，p2=p3。由基本方程式2-6得到 p2=pa+ g0.5m p3=pa+ g m 由p2=p3，故得 0.5 = =0.35 所以 ababaa（0. 85-0. 5）ba（0. 85-0. 5）bb33ab=0.7=0.71000kg/m =700kg/m再求A點(diǎn)的壓強(qiáng)pA

4、，先求出分界面上的壓強(qiáng)，然后，應(yīng)用分界面是多種液體壓強(qiáng)關(guān)系的聯(lián)系面，再求出分界面以下A點(diǎn)的壓強(qiáng)pA。分界面2-2是等壓面，面上各個(gè)點(diǎn)的壓強(qiáng)相等，即再根據(jù)分界面上的壓強(qiáng)p2，求A點(diǎn)的壓強(qiáng)pA為實(shí)際上，求A點(diǎn)的壓強(qiáng)，可以不先求出界面上的壓強(qiáng)，就直接以界面為壓強(qiáng)關(guān)系的聯(lián)系面，一次就可以求出A點(diǎn)的壓強(qiáng)。即322aap =p +0.5mg=98kPa+0.5700kg/m9.8m/s101.5kPa32A2bp =p +0.5mg=101.5kPa+0.51000kg/m9.8m/s106.4kPaAaabp =p +0.5mg+0.5g=106.4kPa 另外，我們也可以根據(jù)容器底面水平的特點(diǎn)，利用水

5、平面是等壓的規(guī)律，從容器做端一次求出A點(diǎn)壓強(qiáng)。即Aabp =p +0.85mg=106.4kPa氣體壓強(qiáng)計(jì)算 以上規(guī)律，雖然是在液體的基礎(chǔ)上提出來(lái)的，但對(duì)于不可壓縮氣體仍然適用。由于氣體密度很小的特點(diǎn)，在高差不是很大的情況下，氣柱體產(chǎn)生的壓強(qiáng)很小，因而可以忽略 的影響，則靜壓強(qiáng)的計(jì)算可以簡(jiǎn)化為 上式表明空間各點(diǎn)氣體壓強(qiáng)相等，例如液體容器、測(cè)壓管、鍋爐等上部的氣體空間，我們就認(rèn)為各點(diǎn)的壓強(qiáng)也是相等的。gh0pp第三節(jié) 壓強(qiáng)的計(jì)算基準(zhǔn)和量度單位 壓強(qiáng)的兩種計(jì)算基準(zhǔn) 壓強(qiáng)有兩種計(jì)算基準(zhǔn)：絕對(duì)壓強(qiáng)和相對(duì)壓強(qiáng)。以毫無(wú)一點(diǎn)氣體存在的絕對(duì)真空為零點(diǎn)起計(jì)算的壓強(qiáng)，稱為絕對(duì)壓強(qiáng)，以 表示，當(dāng)問(wèn)題涉及流體本身的性

6、質(zhì)，例如采用氣體狀態(tài)方程進(jìn)行計(jì)算時(shí)，必須采用絕對(duì)壓強(qiáng)。 以當(dāng)?shù)赝叱痰拇髿鈮簭?qiáng) 為零點(diǎn)起計(jì)算的壓強(qiáng)，稱為相對(duì)壓強(qiáng)，以p表示。采用相對(duì)壓強(qiáng)基準(zhǔn)，則大氣壓強(qiáng)的相對(duì)壓強(qiáng)為零。相對(duì)壓強(qiáng)、絕對(duì)壓強(qiáng)和大氣壓強(qiáng)的相互關(guān)系是 負(fù)壓的絕對(duì)值又稱為真空度（真空表讀數(shù)），以 表示， 當(dāng)pP，則物體下沉至底；（2）重力等于浮力，即G=P，則物體可在任一水深維持平衡；（3）重力小于浮力，即GP，則物體浮出液體表面，直至液 面下部分所排開(kāi)的液體所受重力等于物體所受重力為止。這 種物體稱浮體，船就是浮體的一個(gè)例子。第七節(jié) 流體平衡微分方程x靜止流體內(nèi)取邊長(zhǎng)分別為 dx, dy, dz 的微元六面體，yOzOdxdydzxa

7、yzbcddabcpMpN中心點(diǎn) O(x,y,z) 壓強(qiáng) p(x,y,z)。足力平衡方程。以 x 方向?yàn)槔篗N 表面力：除 abcd 與 abcd 兩面外，其余面上作用的力 在x 軸 上投影均為0。此兩面中心點(diǎn)壓強(qiáng)可用泰勒 (G.Taylor) 級(jí)數(shù)展開(kāi)，取前兩項(xiàng)：兩個(gè)面上的總壓力則為：xxpppd21Mxxpppd21NzyxxppPddd21MzyxxppPddd21NzyxXFdddbx列 x 方向力平衡方程得：化簡(jiǎn)后得:上式即液體平衡微分方程，由瑞士學(xué)者歐拉（L.Euler)于0dddddd21ddd21zyxXzyxxppzyxxpp01xpX同理:01ypY01zpZ1755導(dǎo)出

8、，又稱歐拉平衡微分方程。 等壓面等壓面等壓面壓強(qiáng)相等的空間點(diǎn)構(gòu)成的面。 在等壓面上，p = c，dp = 0，平衡微分方程的全微分式則可表示為：上式稱等壓面方程。根據(jù)等壓面方程，單位質(zhì)量力與等壓面上任意線段的點(diǎn)0dddzZyYxXlfzZyYxXdddd等壓面方程中，X、Y、Z 為單位質(zhì)量力在三個(gè)坐標(biāo)軸的分力，而 dx、dy、dz 則是等壓面上任意線段在三個(gè)坐標(biāo)軸的投影，由矢量代數(shù)得：乘積等于0，這說(shuō)明這兩個(gè)向量相互垂直，即質(zhì)量力與等壓面相互垂直，如重力與水平面。第八節(jié) 液體的相對(duì)平衡al等加速直線運(yùn)動(dòng)中液體的平衡 如圖2-35,一敞開(kāi)容器盛有液體,以等加速度a向前做直線運(yùn)動(dòng)質(zhì)量力有重力慣性力

9、總的質(zhì)量力為1212120XXXaYYYZZZg 1110,0,XYZg 222,0,0Xa YZ gyxz圖2-35aa由平衡微分方程可得:積分并根據(jù)邊界定積分常數(shù)得對(duì)于自由液面, ,則上式為可見(jiàn)自由液面為傾斜面,該斜面與水平面夾角為 . 容易看出該斜面和質(zhì)量力的合力正交。等加速直線運(yùn)動(dòng)的等壓面，不再象靜止液體那樣水平，而是傾斜，原因是在x方向上有質(zhì)量力，x方向上也有壓強(qiáng)的變化。tanag ()dpadxgdz()paxgzazxg 0pl容器等角速度旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)中液體的平衡 和等加速直線運(yùn)動(dòng)類似，如圖2-36,質(zhì)量力有重力：慣性力總質(zhì)量力1110,0,XYZg 21221212XXXxYYYxZZZg 22222,0Xx Yy ZyxyxzoAgxyAr2r2x2y圖2-36代入平衡微分方程，積分整理后得；壓強(qiáng)p為常數(shù)時(shí)得等壓面方程 常數(shù)或 常數(shù) P=0時(shí)，即自由面為在等角速度旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)同一水平面上 ，旋轉(zhuǎn)中心壓強(qiáng)最低，外邊緣最高。等角速度旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的這一特性在實(shí)際問(wèn)題中有許多應(yīng)用的例子，如油脂分離器，空氣除塵等。222122uprgzgz22uzg2 22rzg2212rzg例例2-8一半徑為R=30cm的圓柱形容器盛滿水，然后用螺栓連接的蓋板封閉，蓋板中