量子力學(xué)的矩陣表示

1、§4.2量子力學(xué)的矩陣表示一、態(tài)的表示二、算符的表示三、量子力學(xué)公式的矩陣表示 用力學(xué)量完全集 的正交、歸一和完備的本征態(tài)矢量的集合作基底的表象，稱為表象。為書寫簡便，用代表，用代表，用代表本征值譜. 把表象簡稱為表象。以分立譜為例本征方程： 基底： 正交歸一化： 封閉關(guān)系： 一、態(tài)的表示 態(tài)在表象上的表示為一個列矩陣矩陣元 代表態(tài)在基底上的投影，或稱為展開系數(shù)。它可在坐標(biāo)表象上計(jì)算態(tài)和的內(nèi)積可以通過列矩陣相乘得到其中，.這是因?yàn)?若 ，則稱態(tài)和正交。而則是指態(tài)是歸一化的。 基底在自身表象上的表示為 ¬ 第行基底的正交歸一化寫成 .態(tài)向基底的展開寫成展開系數(shù).對于連續(xù)譜情況

2、本征方程： 基底： 正交歸格化： 封閉關(guān)系： 態(tài)在表象上的表示矩陣成為本征值的函數(shù)態(tài)和的內(nèi)積為 因?yàn)闅w一化條件為 .而基底在自身表象上表示為 .二、算符的表示1算符用矩陣表示算符是通過對態(tài)的作用定義的。因?yàn)閼B(tài)用列矩陣表示，所以算符應(yīng)該用矩陣表示。矩陣是算符在表象上的表示矩陣元為可以在坐標(biāo)表象上計(jì)算。下面會看到，在坐標(biāo)表象上矩陣元的計(jì)算公式為式中.【例】用包括Hamilton量在內(nèi)的力學(xué)量完全集的共同本征態(tài)的集合作基底的表象，稱為能量表象。在一維諧振子的能量表象上，計(jì)算坐標(biāo)，動量和本身的表示矩陣。利用矩陣元公式 得坐標(biāo)，動量和的表示矩陣 2在自身表象上力學(xué)量算符的表示 在自身表象上力學(xué)量算符的表

3、示是一個對角矩陣，而對角元素就是這個力學(xué)量的本征值。因此，求解力學(xué)量的本征值問題，可以通過選擇合適的基底，使這一力學(xué)量算符的表示矩陣成為對角矩陣。對角元素就是待求的本征值，而所用的基底就是待求的本征態(tài)。3Hermite共軛矩陣和Hermite矩陣（1）Hermite共軛矩陣矩陣的Hermite共軛矩陣定義為：將轉(zhuǎn)置且矩陣元取復(fù)共軛 .例如，.若算符的表示矩陣為，則Hermite共軛算符的表示矩陣必為的Hermite共軛矩陣 證明：即«，«.（2）Hermite矩陣若，則稱為Hermite矩陣。若為Hermite矩陣，則Hermite矩陣的非對角元是關(guān)于主對角線復(fù)共軛反射對稱

4、的，對角元為實(shí)數(shù)。 (對角元)例如，的Hermite矩陣一定取下面形式其中和為實(shí)數(shù)。Hermite算符的表示矩陣必為Hermite矩陣。4算符在坐標(biāo)和動量表象上的表示（1）在坐標(biāo)表象上的表示例如Hamilton量表示為注意，式中的函數(shù)代表“矩陣”是對角的，只在積分運(yùn)算中起作用。上述動量的表示可作如下理解將上式中的被積函數(shù)寫成則原式為 即為什么被積函數(shù)不寫成的形式呢？這完全是為了符合基本假定.為導(dǎo)出算符在坐標(biāo)表象上的表示，首先把按和作展開。如果二元函數(shù)在附近可作展開則算符可展開為然后計(jì)算矩陣元，即可得到.【例】證明坐標(biāo)表象上矩陣元 的計(jì)算公式為其中.證明：【例】證明 證明：要證明的第二式是第一式

5、的復(fù)數(shù)共軛。（2）動量表象 例如在動量表象上Hamilton量表示為.【例】一維諧振子能量本征方程的動量表象形式為.證明： 其中 代入后積分，即證?！纠吭O(shè)質(zhì)量為的粒子處于勢場中， 為非零常數(shù)。求與能量對應(yīng)的本征波函數(shù)。解.顯然無束縛態(tài)解。本征方程坐標(biāo)表象形式為而動量表象形式為比坐標(biāo)表象形式容易求解。 通過Fourie變換可得本征態(tài)的坐標(biāo)表象表示.【思考】證明 三、量子力學(xué)公式的矩陣表示下面列出量子力學(xué)重要公式在表象上的矩陣形式。1薛定諤方程的矩陣形式其中， ， 證明： ，2力學(xué)量平均值公式的矩陣形式 ， 證明： 【例】在自身表象上，寫出力學(xué)量在態(tài)上的平均值。解. 3本征方程的矩陣形式 有非零解的條件稱為“久期方程”這是一個次冪代數(shù)方程，為表象空間的維數(shù)。求解久期方程可得個實(shí)根，構(gòu)成本征值譜把 代回本征方程可得相應(yīng)本征態(tài)，若有重根，則出現(xiàn)簡并?！纠恳阎谡粴w一化基底 所張開的三維空間中，體系能量算符的表