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1、第二章習(xí)題21 一重塊,支承在平臺(tái)上,如題2-1圖所示。重塊下聯(lián)結(jié)兩個(gè)彈簧,其剛度均為。在圖示位置時(shí),每個(gè)彈簧已有初壓力。設(shè)將平臺(tái)突然撤去,則重塊下落多少距離? Wk k 題21圖 解答:由題可知:彈簧在初始時(shí)的形變?cè)O(shè)重塊將下落h m,則: 于是: 2-3求題2-3圖所示的軸系扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的固有頻率。軸的直徑為d,剪切彈性摸量為G,兩端固定。圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,固定于軸上,至軸兩端的距離分別為。解:以圓軸的軸線(xiàn)為固定軸,建立系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程 慣性力矩: 恢復(fù)力矩:由動(dòng)靜法得 因此 2-4 一均質(zhì)等直桿AB,重為W,用兩相同尺寸的鉛垂直線(xiàn)懸掛如題2-4圖所示。線(xiàn)長(zhǎng)為,兩線(xiàn)相距為。試推導(dǎo)AB桿繞通過(guò)
2、重心的鉛垂軸作微擺動(dòng)的振動(dòng)微分方程,并求出其固有頻率。aaABWbbFTT解:AB桿繞重心擺動(dòng),則: 2-5 有一簡(jiǎn)支梁,抗彎剛度EI=2E10 Nc,跨度為L(zhǎng)=4m,用題圖(a),(b)的兩種方式在梁跨中連接一螺旋彈簧和重塊。彈簧剛度K=5kN/cm,重塊質(zhì)量W=4kN,求兩種彈簧的固有頻率。 (a) (b) 解:根據(jù)材料力學(xué)理論可知簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)的剛度(a) 圖可以看作彈簧和桿的并聯(lián)彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的固有頻率已知EI=2E10 Nc, K=5kN/cm, W=4kN代入數(shù)據(jù)得(b) 圖可以看作彈簧和桿的串聯(lián) 所以代入數(shù)據(jù)得29一有黏性阻尼的單自由度系統(tǒng),在振動(dòng)時(shí),它的振幅在5個(gè)周期之后減少了50%
3、。試求系統(tǒng)的相對(duì)阻尼系數(shù)。 【解】 由(2-33)式得 兩端取對(duì)數(shù),得 則:210 列出題210圖所示系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程,并計(jì)算其振動(dòng)頻率。解:系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)的受力如上所示由動(dòng)靜法原理可得: 令 , 則 ,振動(dòng)頻率: 211如題21圖所示軸承,軸的直徑剪切彈性模量。圓盤(pán)饒對(duì)稱(chēng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,并在(kNcm)的外力偶矩作用下發(fā)生扭振,求振幅值。 2-11解:慣性力矩 恢復(fù)力矩 微分方程 所以,振幅 已知 ,,代入數(shù)據(jù)得 212 已知一彈簧系統(tǒng),質(zhì)量塊重,彈簧剛度,作用在質(zhì)量塊上的力為,而受阻力為。的單位均為,的單位為的單位為。求(1)忽略阻力時(shí),質(zhì)量塊的位移和放大因子;(2)考慮阻力時(shí),質(zhì)量塊的位移
4、和放大因子。解: 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為: 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng):其中:忽略阻力時(shí),即, 則 放大因子:則系統(tǒng)的響應(yīng)為:(2)考慮阻力時(shí),則: 放大因子: 則系統(tǒng)的響應(yīng)為:213 一有阻尼的彈簧質(zhì)量系統(tǒng),其固有頻率為,彈簧剛度為,黏性阻尼系數(shù)。求在外力作用下的振幅和相位角。解答:由題可知: ;由于 則 2-14 試寫(xiě)出有阻尼的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)在初始條件, =0和質(zhì)量塊上受有 =時(shí)的響應(yīng)。解:阻尼較小時(shí),即,系統(tǒng)響應(yīng)為 其中, 代入初始條件 =0,解得 因此,系統(tǒng)響應(yīng)為 215 一電動(dòng)機(jī)裝置在由螺旋彈簧所支承的平臺(tái)上,電動(dòng)機(jī)與平臺(tái)總質(zhì)量為100kg,彈簧的總剛度k=700N/cm。電動(dòng)機(jī)軸上有一偏心質(zhì)量為1kg,
5、偏心距離e=10cm,電機(jī)轉(zhuǎn)速n=2000r/min,求平臺(tái)的振幅。 解:由公式得= 該系統(tǒng)的振動(dòng)為偏心振動(dòng),故運(yùn)動(dòng)微分方程可寫(xiě)為:式中,圓頻率 () 頻率比 設(shè)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)則, 由公式得,() 2-17 寫(xiě)出題2-17圖所示系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程,并求出穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的解。 題2-17圖解:系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程為: 方程的解可表示為:其中為方程的特解,亦即穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的解,令其形式為:將及其一階、二階導(dǎo)數(shù)代入運(yùn)動(dòng)微分方程,整理得:令 ,則 , ,從而得于是得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為:相應(yīng)地求得相位角:2-20 試寫(xiě)過(guò)如題2-20圖所示結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程,并求出系統(tǒng)的固有頻率,相對(duì)阻尼系數(shù)和穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的振幅。解:得;則 方程轉(zhuǎn)化為 , 2-21 一彈簧質(zhì)量系統(tǒng)在如題2-21圖所示的激振力作用下作強(qiáng)迫振動(dòng)。試求其穩(wěn)定振動(dòng)的響應(yīng)。x/02/03/04/0y 1 0 -1解:先將分解為各簡(jiǎn)諧激勵(lì),并計(jì)算傅立葉系數(shù)由圖可知,激勵(lì)的均值系統(tǒng)的響應(yīng)為222 一彈簧質(zhì)量系統(tǒng)如題222圖所示的激振里作用下作強(qiáng)迫振動(dòng)。試求其穩(wěn)態(tài)振動(dòng)
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