直線與橢圓位置關(guān)系學(xué)案

1、第 5 章 第 1 課時(shí) 直線與橢圓位置關(guān)系(一)1、掌握直線與橢圓位置關(guān)系各種處理方法2、掌握弦長問題、中點(diǎn)弦問題、面積問題、定點(diǎn)定值問題、最值范圍等問題3、進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想方法自主學(xué)習(xí)回歸教材：1、研究直線與橢圓的方法 判別式 位置直線（幾何）轉(zhuǎn)化 直線方程 消y px2+qx+r=0（q0） 求根公式 交點(diǎn)橢圓 橢圓方程 韋達(dá)定理 弦長、弦中點(diǎn)等2、弦長的計(jì)算設(shè)斜率為k(k0)的直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB|x1x2| ·|y1y2|.3、中點(diǎn)弦問題5、兩種常見設(shè)變量的方法設(shè)點(diǎn)法設(shè)k法課前自測題1、已知直線l過橢圓8x2

2、9y272的一個(gè)焦點(diǎn)，斜率為2，l與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，則弦|MN|=_破題切入點(diǎn)根據(jù)條件寫出直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，用弦長公式求出解由得11x218x90.由根與系數(shù)的關(guān)系，得xMxN，xM·xN.由弦長公式|MN|xMxN|·.2、已知點(diǎn)（4，2）是直線l被橢圓所截得的弦中點(diǎn)，則l方程是_3、若橢圓mx2ny21 (m>0，n>0)與直線y1x交于A、B兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段AB的中點(diǎn)的連線斜率為，則的值為_4、橢圓1上任意一點(diǎn)P，M(0，6)，N(0，6)在橢圓上，則直線PM、PN的斜率乘積為_若為橢圓C：1(a>b>0)上任意兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對

3、稱的點(diǎn), 點(diǎn)為橢圓上異于的任意點(diǎn)，則直線PM、PN的斜率乘積為_證明設(shè)P(x，y)，則有1，得.又kPM(x0)，kPN(x0)，kPM·kPN·.故直線PM、PN的斜率之積為一定值5、過橢圓的上頂點(diǎn)A作兩條直線分別交橢圓于點(diǎn)B，C（不同于點(diǎn)A），且它們的斜率分別為k1，k2，若k1k2 = - 4，則直線BC過定點(diǎn)_例題講練直線過定點(diǎn)（點(diǎn)在橢圓上）例1、已知橢圓1(a>b>0)的離心率為，且過點(diǎn)A(0,1)(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于M，N兩點(diǎn)求證：直線MN恒過定點(diǎn)解：(1)由題意知，e，b1，所以a2c21，解得a2，所以

4、橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)設(shè)直線AM的方程為ykx1.聯(lián)立方程組得(4k21)x28kx0，解得x1，x20，所以xM，yM.同理可得xN，yN.則kMP，kNP，所以kMPkNP，故直線MN恒過定點(diǎn)P.變式1、已知橢圓兩焦點(diǎn)、在軸上，短軸長為，離心率為，是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn)，且，過P作關(guān)于直線F1P對稱的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點(diǎn)。 （1）求P點(diǎn)坐標(biāo)；2）求證直線AB的斜率為定值；（1）設(shè)橢圓方程為，由題意可得，方程為，設(shè)則點(diǎn)在曲線上，則 從而，得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（2）由（1）知軸，直線PA、PB斜率互為相反數(shù)，設(shè)PB斜率為，則PB的直線方程為： 由得設(shè)則 同理可得，則

5、 所以：AB的斜率為定值變式2、如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，過點(diǎn)A(a，0)與B(0，b)的直線與原點(diǎn)的距離為 ，又有直線yx與橢圓C交于D，E兩點(diǎn)，過D點(diǎn)作斜率為k的直線l1直線l1與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為P，與直線x4的交點(diǎn)為Q，過Q點(diǎn)作直線EP的垂線l2（1）求橢圓的方程；（2）求證：直線l2恒過點(diǎn)QBADOEPl1l2yx:直線過定點(diǎn)（點(diǎn)不在橢圓上）例2、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，且右焦點(diǎn)F到左準(zhǔn)線l的距離為3. （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）過F的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點(diǎn)P，C，

6、若PC=2AB，求直線AB的方程.【答案】（1）（2）或變式1、已知橢圓，其中心為O，A,B是橢圓上的兩點(diǎn)，連接OA，OB，它們的斜率分別為（1）若，求證：為定值。（2）若 求證：的定值 求證：原點(diǎn)O到AB的距離為定值變式2、如圖，橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為.(I)求橢圓的方程；(II)經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)（均異于點(diǎn)），證明：直線與的斜率之和為2.【答案】(I) ； (II)證明略，詳見解析.第 5 章 第 1 課時(shí) 【課后檢測與評估作業(yè)】1.已知橢圓y21及點(diǎn)B(0，2)，過左焦點(diǎn)F1與B的直線交橢圓于C、D兩點(diǎn)，F(xiàn)2為其右焦點(diǎn)，求CDF2的面積解析F1(1,0)直線CD方程

7、為y2x2，由得9x216x60，而>0，設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，則|CD|，|CD|.F2到直線DC的距離d，故SCDF2|CD|·d.9設(shè)橢圓C：1(ab0)過點(diǎn)(0,4)，離心率為.(1)求C的方程；(2)求過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)解：(1)將(0,4)代入橢圓C的方程得1，b4.又e得，即1，a5，C的方程為1.(2)過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線方程為y(x3)，設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線方程y(x3)代入C的方程，得1，即x23x80.解得x1，x2，AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，(x1x26).即中點(diǎn)為（，

8、）.5設(shè)橢圓1(a>b>0)的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.點(diǎn)P(a，b)滿足PF2F1F2.(1)求橢圓的離心率e.(2)設(shè)直線PF2與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)若直線PF2與圓(x1)2(y)216相交于M，N兩點(diǎn)，且MNAB，求橢圓的方程審題視角第(1)問由PF2F1F2建立關(guān)于a、c的方程；第(2)問可以求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)或利用根與系數(shù)的關(guān)系求AB均可，再利用圓的知識求解規(guī)范解答解(1)設(shè)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c>0)，因?yàn)镻F2F1F2，所以2c.整理得2()210，得1(舍)，或.所以e.4分(2)由(1)知a2c，bc，可得橢圓方程為3x24y212c2，直線

9、PF2的方程為y(xc)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組消去y并整理，得5x28cx0.解得x10，x2c.8分得方程組的解不妨設(shè)A(c，c)，B(0，c)，所以ABc.于是MNAB2c.12分圓心(1，)到直線PF2的距離d.因?yàn)閐2()242，所以(2c)2c216.整理得7c212c520，得c(舍)，或c2.所以橢圓方程為1.16分*17. 如圖，圓O與離心率為的橢圓T：1(a>b>0)相切于點(diǎn)M(0,1)(1)求橢圓T與圓O的方程；(2)過點(diǎn)M引兩條互相垂直的直線l1，l2與兩曲線分別交于點(diǎn)A，C和點(diǎn)B，D(均不重合)若P為橢圓上任意一點(diǎn)，記點(diǎn)P到兩直線的距離分別為d1，d2，

10、求dd的最大值；若3·4·，求直線l1與l2的方程解：(1)由題意知，b1，c2b2a2，解得a2，b1，c，故橢圓的方程為y21，圓O的方程為x2y21.(2)設(shè)P(x0，y0)因?yàn)閘1l2，則ddPM2x(y01)2，因?yàn)閥1.所以dd44y(y01)232.因?yàn)?y01，所以當(dāng)y0時(shí)，dd取得最大值，此時(shí)點(diǎn)P.設(shè)直線l1的方程為ykx1，由解得A；由解得C.將A，C中的k置換成可得B，D，所以，.由3·4·，得，解得k±，所以直線l1的方程為yx1，l2的方程為yx1或直線l1的方程為yx1，l2的方程為yx1.設(shè)橢圓（）的右焦點(diǎn)為，右頂

11、點(diǎn)為，已知，其中 為原點(diǎn)，為橢圓的離心率.（）求橢圓的方程；（）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)（不在軸上），垂直于的直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，若，且，求直線的斜率的取值范圍.【解析】（2）（）解：設(shè)直線的斜率為（），則直線的方程為.設(shè)，由方程組，消去，整理得.解得，或，由題意得，從而.由（）知，設(shè)，有，.由，得，所以，解得.因此直線的方程為.設(shè)，由方程組消去，解得.在中，即，化簡得，即，解得或.所以，直線的斜率的取值范圍為.例5.橢圓的中心在原點(diǎn)O，短軸長為，左焦點(diǎn)為，直線與軸交于點(diǎn)A，且，過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程.（2）若，求直線PQ的方程. 解：（1）設(shè)，則，解得4，c1，所以橢圓方程為。4分（2）設(shè)PQ的方程為因?yàn)镻FQF，所以，即，8分聯(lián)立得消去y，得，10分由，得11分所以.12分代入（*）式化簡，得8k21，所以則直線PQ的方程為.14分已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)與橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線相互垂直