空氣中聲音傳播方程的推導

1、 空氣中聲音傳播方程的推導 數(shù)學與應用數(shù)學2011級 作者： 王鍇豐，王保山，王冬羽1. 問題提出：由物理性質可知聲音的本質是介質的機械震動，由波動方程與震動現(xiàn)象的聯(lián)系，物理屬性的時空分布可以由波動方程導出，弦的波動方程也是聲音發(fā)生的一種情況之一，現(xiàn)討論聲音在空氣中的傳播，由聲學基礎可知聲場的的物理特征可由密度，壓強，速度刻畫，根據(jù)模型所滿足的基本假設和遵循的物理規(guī)律，從而導出聲波方程，并求解出普通聲源產(chǎn)生聲波在均勻空間中的傳播的狀態(tài)方程。2.理想假設： 1.空氣在壓強為101.325kPa、溫度為20的條件下，空氣動力粘度和運動粘度為： 空氣 ， 可以近似為理想流體，所謂理想流體介質，就是介

2、質在運動過程中沒有能量的損耗，即介質是無粘的不考慮切向力。 2.還必須假設介質是連續(xù)、靜態(tài)和均勻的流體因此媒質中質點速度為零，靜態(tài)壓強 ，靜態(tài)密度 都是常數(shù)。 3.由理想氣體的狀態(tài)方程溫度變化會影響壓強，未排除這種干擾，將聲音在空氣中傳播的過程視為等熵絕熱過程，介質之間不會產(chǎn)生熱交換。 4.討論的都是小振幅聲波即各類聲學變量都是一級微量，（ 4 ）媒質中傳播的是小振幅聲波，各聲學參量都是一級微量，聲壓甚小于媒質中靜態(tài)壓強 ；質點速度 甚小于聲速 ；質點位移 甚小于聲波波長 ；媒質密度增量甚小于靜態(tài)密度；或密度的相對增量 小于 1。 5.聲源相對于傳播空間來說很小，可視為一個半徑非常小的球體，故

3、由對稱性聲音在空間中的各點的特征（聲壓，質點速度，以及密度）相對于聲源來說球對稱，.只與半徑r有關。3.模型建立即方程推導理想介質中聲波傳播的基本規(guī)律可以通過三個方程表示，即：連續(xù)性方程、運動方程和狀態(tài)方程。下面給出所用到的物理參數(shù)，連續(xù)性方程：聲場中任意一點 ，以 點為中心選取一邊長分別為的體積元，則體積元的體積為。假設某一瞬時，介質質點流過 點的速度向量為 ， 點的密度為 ，則單位時間內從各方向流入體積元的質量為， (1.1)式中 為 點的速度向量 在三個坐標軸上的投影。流入體積元的質量必然引起體積元內密度的增加，單位時間內體積元內介質密度的增量為 ，則， (1.2)根據(jù)質量守恒定律，得到

4、， (1.3)即為： (1)狀態(tài)方程：在聲波作用下介質的狀態(tài)發(fā)生了變化。由假設2，根據(jù)熱力學關系，一定質量的氣體介質的壓強是密度和熵的函數(shù)，即 ，這里 表示熵。由于壓力和密度變化很小，因此由泰勒級數(shù)展開得到， (2.1)式中下標 代表等熵絕熱過程。系數(shù) ， 就是氣體介質中小振幅聲波的傳播速度，故理想介質的 狀態(tài)方程為， (2)運動方程:假設微小質團中心坐標為 ，體積為 ，介質原處于靜止狀態(tài) ，當聲波通過時，由假設一，不考慮切向力，只考慮壓力，質團在各個方向上的受力都不均衡，假設壓力分布為 ，則作用在 和 面上的總壓力分別為， (3.1) (3.2)因而沿軸正方向的合力為， (3.3）同樣可以得

5、到質團沿軸和軸正方向的合力，介質受到的總的合力為， (3.4)由于靜壓強 為常數(shù)，因此壓強的微小變化也就是聲壓的微小變化，即 ，所以上式可以改寫為， (3.5)根據(jù)牛頓運動定律，得到， (3.6)由以上兩式可以得到歐拉方程， (3.7)式中 是質點 的加速度，它包括本地加速度和遷移加速度兩部分， (3.8)由假設4振動速度遠小于聲傳播的速度，所以 項可以忽略，結合以上兩式，得到小振幅聲場中的 運動方程為， (3)最后，將（1）式對t求偏導，再用（2）（3）式中的變量替換就可以獲得理想流體介質中小振幅波傳播的 聲波方程如下， （4）通過以上推導終于得出聲壓滿足波動方程，這是該問題的核心。4. 定

6、解條件提出由假設5相對于較大的空間，聲波以球面波形式傳播時，可看作半徑非常小的球體，半徑為，聲源，聲壓 只與球面坐標 有關，而與角度無關，因此球面波的波動方程可以簡化為， (4.1)初始條件為：，其中 時其中在即問題為柯西問題求解5. 問題求解由三維問題的柯西問題的解法用到球平均法，這里不多贅述，用泊松公式可以得到原問題的解： （5） 其中 故壓強場為： （6）由公式（2）可知密度場為： （7）由牛頓運動定理可知質點振動速度場為： （8）6. 結論：本小組通過流體力學知識，推導證明出了聲波在空氣中傳播滿足波動方程，并且對聲波在空間中一點擴散模型的解析解進行了求解，在求解過程中由數(shù)學物理方程可知，三維問題的柯西問題，用到泊松積分公式，求出了空間中的壓強場，密度場，與速度場。參考文獻：數(shù)學物理方程，谷超豪，李大潛，