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1、高等數(shù)學(xué)練習(xí)題 第十章 曲線積分與曲面積分 系 專業(yè) 班 姓名 學(xué)號 第一節(jié) 對弧長的曲線積分一 選擇題 1設(shè)是連接,的折線,則 B (A)0 (B) (C) (D)2 2設(shè)為橢圓,并且其周長為S,則= D (A)S (B)6S (C)12S (D)24S二 填空題 1設(shè)平面曲線為下半圓周,則曲線積分 2設(shè)是由點(diǎn)O(0,0)經(jīng)過點(diǎn)A(1,0) 到點(diǎn)B(0,1)的折線,則曲線積分 三 計算題1,其中為圓周,(). 解:原式 2,其中為圓周,直線及軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個邊界. 解:設(shè)圓周與軸和直線的交點(diǎn)分別為和, 于是原式 在直線上得 在圓周上令得 在直線上得 所以原式3,其中
2、為擺線的一拱,(). 解:原式高等數(shù)學(xué)練習(xí)題 第十章 曲線積分與曲面積分 系 專業(yè) 班 姓名 學(xué)號 第二節(jié) 對坐標(biāo)的曲線積分一 選擇題 1設(shè)以,為頂點(diǎn)的正方形周邊,為逆時針方向,則 D (A)1 (B)2 (C)4 (D)0 2設(shè)是拋物線,增加的方向?yàn)檎颍瑒t和 A (A) (B) (C) (D)二 填空題 1設(shè)設(shè)是由原點(diǎn)O沿到點(diǎn)A,則曲線積分 2設(shè)是由點(diǎn)到的線段,則= .,則曲線積分,。三 計算題1設(shè)為取正向圓周,求曲線積分. 解:將圓周寫成參數(shù)形式,于是原式 2設(shè)是由原點(diǎn)O沿到點(diǎn)A,再由點(diǎn)A沿直線到原點(diǎn)的閉曲線,求 解: 所以原式 3計算,其中是:(1)拋物線上從點(diǎn)(1,1)到點(diǎn)(4,2)
3、的一段弧;(2)從點(diǎn)(1,1)到點(diǎn)(4,2)的直線段;(3)先沿直線從點(diǎn)(1,1)到點(diǎn)(1,2),然后再沿直線到點(diǎn)(4,2)的折線.解:(1)原式 (2)過(1,1),(4,2)的直線方程為所以原式 (3)過(1,1),(1,2)的直線方程為所以 過(1,2),(4,2)的直線方程為所以 于是原式4求其中為曲線按參數(shù)增加的方向進(jìn)行. 解:由題意,原式高等數(shù)學(xué)練習(xí)題 第十章 曲線積分與曲面積分 系 專業(yè) 班 姓名 學(xué)號 第三節(jié) 格林公式及其應(yīng)用一選擇題 1設(shè)曲線積分與路徑無關(guān),則 C (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 2已知為某函數(shù)的全微分,則 D (A) (B)0 (C)1 (D)2 3設(shè)為從沿曲線到點(diǎn)的弧段,則曲線積分= D (A) (B) (C)3 (D)0二填空題1 設(shè)是由點(diǎn)到點(diǎn)的任意一段 光滑曲線,則曲線積分 2 設(shè)曲線為圓周,順時針方向,則 三計算題 1 ,其中為在拋物線上從點(diǎn)到的一段弧。解:設(shè)并且把,兩點(diǎn)分別記為 于是 因?yàn)?,所以由格林公式?于是 所以 2 證明與路徑無關(guān)并計算其積分值 證明:設(shè) 因?yàn)?,并且連續(xù),所以該積分與路徑無關(guān)。 分別記, 為 因?yàn)榉e分與路徑無關(guān),所以原積分等于沿線段的積分加沿線段的積分。 即,原式 。 3設(shè)是
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