等差數(shù)列的求和公式教學(xué)設(shè)計(jì)

1、等差數(shù)列前n項(xiàng)和教學(xué)案例： 一、教學(xué)設(shè)計(jì)思想 本堂課的設(shè)計(jì)是以個(gè)性化教學(xué)思想為指導(dǎo)進(jìn)行設(shè)計(jì)的。 本堂課的教學(xué)設(shè)計(jì)對(duì)教材部分內(nèi)容進(jìn)行了有意識(shí)的選擇和改組，為了體現(xiàn)個(gè)性化教學(xué)的教學(xué)理念，在教法上，采用了以學(xué)生為主體，以問(wèn)題為中心，以老師為引導(dǎo)，以小組的合作為主要學(xué)習(xí)方式。課堂結(jié)構(gòu)個(gè)性化，讓學(xué)生在探究中展現(xiàn)個(gè)性，在合作中促進(jìn)學(xué)生的個(gè)性發(fā)展。 在教學(xué)中通過(guò)生動(dòng)具體的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望，樹(shù)立學(xué)生求真的勇氣和自信心，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的心理體驗(yàn)，產(chǎn)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)的情感,體驗(yàn)在學(xué)習(xí)中獲得成功。二、學(xué)生情況與教材分析 1、學(xué)生通過(guò)上一節(jié)的學(xué)習(xí)，已經(jīng)了解了等差數(shù)列的定義，基本上掌握了通項(xiàng)公式，會(huì)運(yùn)用等

2、差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行解題，因此只要簡(jiǎn)單地回顧上一節(jié)課的知識(shí)就可引入新課；2、幾何能直觀地啟迪思路，幫助理解，特別是對(duì)于職中類(lèi)學(xué)生，他們對(duì)知識(shí)的理解還是處于模糊階段，因此，借助幾何直觀學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要方面。只有做到了直觀上的理解，才是真正的理解。因此在教學(xué)中，要鼓勵(lì)學(xué)生借助幾何直觀進(jìn)行思考，揭示研究對(duì)象的性質(zhì)和關(guān)系，從而滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。3、學(xué)習(xí)應(yīng)該是學(xué)生積極主動(dòng)的建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程，應(yīng)該與學(xué)生熟悉的背景相聯(lián)系。本課要求學(xué)生通過(guò)自主地觀察、討論、歸納、反思來(lái)參與學(xué)習(xí)，認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并嘗試解決問(wèn)題，在學(xué)習(xí)活動(dòng)中進(jìn)一步提升自己的能力。三、教學(xué)目標(biāo) 1、知識(shí)目標(biāo)

3、（1）掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式,理解公式的推導(dǎo)方法；（2）能較熟練應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和。2、能力目標(biāo)經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過(guò)程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法，學(xué)會(huì)觀察、歸納、反思和邏輯推理的能力。 3、情感目標(biāo)通過(guò)生動(dòng)具體的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望，樹(shù)立學(xué)生求真的勇氣和自信心，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)心理體驗(yàn)，產(chǎn)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)的情感,體驗(yàn)在學(xué)習(xí)中獲得成功。四、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 1、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式是重點(diǎn)。2、獲得等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)的思路是難點(diǎn)。教學(xué)過(guò)程：1、引入新課（1）復(fù)習(xí)師：上一節(jié)課中，我們學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，知道了“公差d=，通項(xiàng)公式an=”（見(jiàn)黑

4、板）生：（回答黑板上的問(wèn)題） （2）故事引入師：那等差數(shù)列的前n項(xiàng)和怎樣求？今天，我們主要探討等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。古算書(shū)張邱建算經(jīng)中卷有一道題：今有與人錢(qián)，初一人與一錢(qián)，次一人與二錢(qián)，次一人與三錢(qián)，以次與之，轉(zhuǎn)多一錢(qián)，共有百人，問(wèn)共與幾錢(qián)？師生共同讀題師：題目當(dāng)中我們可以得到哪些信息？要解決的問(wèn)題是什么？ 生1：第一人給1錢(qián)，第二人給2錢(qián)，第三人給3錢(qián)，以后每個(gè)人都比前一個(gè)人多給一錢(qián)，共有100人，問(wèn)共給了多少錢(qián)？師：很好，問(wèn)題已經(jīng)呈現(xiàn)出來(lái)了，你能用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表示嗎？生2：用表示第n個(gè)人所得的錢(qián)數(shù)，則由題意得： ，只要求出1+2+3+100=？師：你能求出這個(gè)式子的值嗎？ 生2：（猶豫片

5、刻） 1+100=101，2+99=101，3+98=10150+51=101，所求的和為101×=5050 .師：對(duì)于這個(gè)算法，著名的數(shù)學(xué)家高斯10歲時(shí)曾很快就想出來(lái)了.高斯的算法是：首項(xiàng)與末項(xiàng)的和：1+100=101， 第2項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的和：2+99=101， 第3項(xiàng)與倒數(shù)第3項(xiàng)的和：3+98=101， 第50項(xiàng)與倒數(shù)第50項(xiàng)的和：50+51=101，于是所求的和是101×=5050上面的問(wèn)題可以看成是求等差數(shù)列1，2，3，n, 的前100項(xiàng)的和.在上面解決問(wèn)題的過(guò)程中,我們發(fā)現(xiàn)所求的和可用首項(xiàng)、末項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)n來(lái)表示，且任意的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和都等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和，

6、從中你有何啟發(fā)？我們?nèi)绾稳デ笠话愕炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)情景引入活動(dòng)、任務(wù)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用得過(guò)程，其作用就在于提升學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，使之連續(xù)地向形式的、抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)的轉(zhuǎn)變.構(gòu)筑在學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)與生命體驗(yàn)基礎(chǔ)之上的數(shù)學(xué)課程大大激發(fā)了學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的熱情，數(shù)學(xué)課變得更生動(dòng)、更活潑，更能引發(fā)學(xué)生的興趣.新教材中增添了一些數(shù)學(xué)史的知識(shí)，從課改的一些舉措上我感到在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)適時(shí)掀起數(shù)學(xué)史的教學(xué)蓋頭。向同學(xué)們介紹了張邱建算經(jīng)和高斯及他的算法，講課的過(guò)程中適當(dāng)插入數(shù)學(xué)史，為數(shù)學(xué)教學(xué)輸入了新鮮血液.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)文化，營(yíng)造濃郁的“人文”氛圍.師：設(shè)等差數(shù)

7、列的前n項(xiàng)和為，則生3：（直接給出公式）由剛才問(wèn)題的結(jié)果可知師：非常好，由具體的推廣到一般，這也是研究數(shù)學(xué)的一種思想方法由特殊到一般，但是這種方法是猜想、推測(cè)，是不完全歸納.數(shù)學(xué)公式的得出需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^(guò)程和相關(guān)的理論依據(jù).你能否推導(dǎo)這個(gè)公式？生4：+？（遇到困惑，最后一組怎樣表示？是剩一項(xiàng)還是兩項(xiàng)？）師：我們?cè)倩仡櫼幌聞偛沤鉀Q的問(wèn)題，共有100項(xiàng)，兩兩分組正好分為50組，如果1+2+3+101=？n項(xiàng)時(shí)又應(yīng)如何分組？最后一組應(yīng)怎樣表示？生4（繼續(xù)回答）：1+101=102，2+100=102，3+99=10250+52=102，51= 共有50組多出第51項(xiàng)n分奇偶性討論，n為偶數(shù)時(shí)正好分成

8、組，n為奇數(shù)時(shí)分成組還多一項(xiàng)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， =當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， = 師：好通過(guò)分類(lèi)討論我們得出了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，從所得的結(jié)果看無(wú)論n是奇數(shù)還是偶數(shù)的公式一樣.那么我們是否可以避開(kāi)討論n的奇偶性去推導(dǎo)呢？怎樣出現(xiàn)首末兩項(xiàng)的和？ 師：下面我們從一個(gè)稍稍簡(jiǎn)單一點(diǎn)的等差數(shù)列來(lái)推導(dǎo)探討（學(xué)生觀察幻燈片上以等差數(shù)列逐層排列的一堆鋼管。） 師：如何求？ （課件演示：引導(dǎo)學(xué)生設(shè)想，如果將鋼管倒置，能得到什么啟示） 生：每一層都和上一層是一樣多的。一共有8層，所以為8×（4+11），但一共有兩堆，所以為師：那如果如下圖所示共有n層，第一層為a1，第n層為an，請(qǐng)大家來(lái)猜想一下這個(gè)呈等差數(shù)列排列的

9、鋼管的總和sn等于多少？ 生：師：所以我們還可以如何求等差數(shù)列通項(xiàng)公式？生5：將上面兩式左右兩邊分別相加得 =師：此種方法簡(jiǎn)潔明了，且避開(kāi)討論n的奇偶性，我們將這種方法稱(chēng)為“逆序相加法”，在以后解決數(shù)列問(wèn)題是也經(jīng)常運(yùn)用“逆序相加法”，主要運(yùn)用了等差數(shù)列下標(biāo)等距性質(zhì).（有學(xué)生舉手）生6：我用另外一種方法得出的結(jié)果不一樣 = =師：這個(gè)結(jié)果對(duì)否？為何會(huì)有兩個(gè)公式？它們之間有聯(lián)系嗎？大家一起發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：師(總結(jié)) ：我們得到了兩個(gè)計(jì)算等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式.由公式可知，只要知道 這四個(gè)量中的三個(gè)就可以求出等差數(shù)列前n項(xiàng)和.設(shè)計(jì)意圖：新課標(biāo)指出“學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程就是在教師指導(dǎo)下的再創(chuàng)造的過(guò)

10、程”在教學(xué)的過(guò)程中，教師要指導(dǎo)學(xué)法，把教與學(xué)的過(guò)程很好地統(tǒng)一起來(lái)，想方法鼓勵(lì)學(xué)生積極參與，大膽設(shè)疑、質(zhì)疑、釋疑、辨錯(cuò)、修正，突出過(guò)程教學(xué).教師同通過(guò)問(wèn)題情境或?qū)W習(xí)情境以誘發(fā)他們進(jìn)行探索與問(wèn)題的解決活動(dòng).應(yīng)用舉例例1等差數(shù)列10,6,2, 2前多少項(xiàng)的和是54?解：設(shè)題中的等差數(shù)列為，前n項(xiàng)和為，則， 由題意得 解得（舍）前9項(xiàng)的和為54.師(總結(jié))：已知量，求n，合理選用公式. 思想方法：方程思想.設(shè)計(jì)意圖：學(xué)以致用,直接運(yùn)用公式加深對(duì)公式的認(rèn)識(shí)和理解.主要通過(guò)方程的思想進(jìn)行基本量的運(yùn)算.注意解題格式和規(guī)范.例2求集合中元素的個(gè)數(shù)，并求這些元素的和.解：由得即 由于滿足不等式的正整數(shù)n共有14

11、個(gè)，所以集合M中的元素共有14個(gè)，將他們從小到大列出，得7，7×2，7×3，7×14， 這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，記為，其中 答：集合M中的元素共有14個(gè)元素，它們的和等于735.變式1：分析：n<100,M中有99個(gè)元素，分別為7，7×2，7×3，7×99，變式2：在1到100中被7除余1的正整數(shù)共有多少個(gè)？它們的和是多少？分析：設(shè)m是滿足條件的數(shù)，則m=7n+1,且m<100, 或m=7n-6,且m<100,設(shè)計(jì)意圖：高中數(shù)學(xué)課程倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，這要求我們轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，豐富教學(xué)形式，改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，加大課堂教學(xué)的研究性、開(kāi)放性和自主性，在開(kāi)展探究活動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生的基本技能，將變式訓(xùn)練與引導(dǎo)學(xué)